BADIOUMATHEMATICS

Πέραν του υποσυνόλου Singleton: Οι Δημοκρατικοί και ο Santoroum

2012-03-04T21:33:00.000-08:00

Τον Οκτώβριο του 11 διεξάχθηκαν οι εσωτερικές εκλογές στο Σοσιαλιστικό κόμμα με ανοικτή ψηφοφορία. Το πολύ ενδιαφέρον αριστεροφιλελεύθερο μικρό μόρφωμα Gauche Liberale ( Προυντονικής κατεύθυνσης) καλεί ανοικτά να υπερψηφιστεί ο Manuel Valls (1).Τυπικά Επρόκειτο για μια προφανή επέμβαση στα εσωτερικά ενός άλλου κόμματος που δεν πήρε και μεγάλη δημοσιότητα κυρίως εξ´ αιτίας του μικρού nano μεγέθους της Gauche Liberale.

Μερικούς μήνες μετά στις ΗΠΑ γίνεται κάτι παρόμοιο, αλλά με αντίθετη στόχευση. ψηφοφόροι του Δημοκρατικού κόμματος εκμεταλλεύονται την ανοικτή ψηφοφορία εγγράφονται για μια μέρα στους καταλόγους και ψηφίζουν Σαντόρουμ ως πιο βολικό αντίπαλο του Ομπάμα . Σε αντίθεση με την GL επιλέγουν τον χειρότερο τους αντίπαλο για να προκαλέσουν την κοινή γνώμη εναντίον του.

Και τα δυο περιστατικά εκφράζουν αυθεντικά τα τυπικά όρια της σύγχρονης δημοκρατίας ,και ίσως ανοίγουν δρόμους μιας πιο σύγχρονης οργάνωσης της αντιπροσώπευσης.

Το ζήτημα προκύπτει από το γεγονός ότι ενώ στις σύγχρονες δημοκρατίες αναφύονται πολλαπλά παράλληλα ερωτήματα τελικά στην κάλπη αποτυπώνεται ένα .Κι' όμως οι έρευνες δείχνουν πως άλλοι ψηφίζουν για να βρουν κυβέρνηση άλλοι για να επιλέξουν αντιπολίτευση αλλά πολλοί θα ήθελαν να ψηφίζουν και για τα δυο. Αποτέλεσμα τελικά τα τρία τέταρτα είναι κοψοχέρηδες.

Μια πιο ελκυστική παραλλαγή , θα ήταν να έχουμε δυο κάλπες μια για κυβέρνηση μια για αντιπολίτευση και ανόθευτη αναλογική. Ακόμη παραλλαγές του συστήματος μονοεδρικών , με διπλή ανεξάρτητη ψήφο κόμμα - βουλευτή , εξυπηρετούν την ίδια ιδέα. Κύριοι ,θέλω κυβέρνηση Λαος με αξιωματική αντιπολίτευση ΚΚΕ, ή κυβέρνηση Ανταρσυα με αντιπολίτευση Καμένο ,θα ήταν μερικές από τις πιο εκκεντρικές επιλογές.

Εδώ θα είχε ενδιαφέρον να προσεγγίσει το ζήτημα των ψηφοφοριών μέσω της μπαντιουικής προσέγγισης , όπου τα πάντα σχηματοποιούνται μέσω της Θεωρίας των συνόλων.

Γράφει ο ΑΒ

Το άτομο αντιμετωπίζεται ως υποσύνολο ως singleton , δηλαδή σύνολο με ένα μόνο στοιχείο. πχ Το κράτος δεν αντιμετωπίζει τον Antoine Domblase εννοούμενο ως όνομα ενός συνόλου αλλά τον [Antoine Domblase] μια αδιαφοροποίητη μορφή μιας μονάδας, η οποία συγκροτείται από την από την μετατροπή σε ένα του ονόματος.

Ο ψηφοφόρος , δεν είναι το υποκείμενο John Doe, είναι μάλλον μόνο ένα μέρος από ότι το Κράτος, ως χωριστή δομή, αναπαριστά δηλαδή επιμετρά και διαχειρίζεται ως «ένα» . Αυτό το μέρος είναι ένα σύνολο του οποίου το μοναδικό στοιχείο είναι ο John Doe, δεν είναι ένα πολλαπλό του οποίου το αδιαμεσολάβητο ένα είναι ο “John Doe». Το άτομο υπόκειται , υπομονετικά ή ανυπόμονα, στον θεμελιακό εξαναγκασμό , σε αυτό το άτομο του περιορισμού που περιλαμβάνει και τον θάνατο. Αυτός ο εξαναγκασμός δεν αφορά κάποιον ο οποίος ανήκει στην κοινωνία αλλά σε κάποιον ο οποίος συμπεριλαμβάνεται στην κοινωνία. Το Κράτος είναι αδιάφορο στο «ανήκειν» αλλά συστηματικά ανησυχεί με το «συμπεριλαμβάνεσθαι». Το Κράτος επιμετρά και λαμβάνει υπ’ όψιν κάθε συνεπές υποσύνολο , για το καλό και κακό, γιατί είναι το ζήτημα της αντιπροσώπευσης. Από την άλλη , παρά τις διαμαρτυρίες και δηλώσεις , είναι εμφανές ότι όσο αφορά τις ζωές των ανθρώπων , εννοουμένων ως σύνολα, το Κράτος δεν ασχολείται με αυτά τα σύνολα. Αυτό είναι ο απόλυτο και αναπόφευκτο βάθος του χωρισμού του Κράτους.

ΒΕ 107-108

Για την κατανόηση του αποσπάσματος μερικά στοιχειώδη από τη θεωρία συνόλων :

Τα στοιχεία ανήκουν στα σύνολα , ενώ τα υποσύνολα εμπεριέχονται σε αυτά.

Ο αριθμός των υποσυνόλων είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό των στοιχείων σε κάθε σύνολο.

Το να επιμετρήσεις ένα αντικείμενο ως στοιχείο ή ως υποσύνολο είναι θεμελιώδης διαφορά τρόπου αντιμετώπισης , χειρισμού. (ΒΕ p83)

Αν το κράτος κατανοηθεί ως σύνολο το οποίο περιέχει τους πολίτες ως στοιχεία ( σχέση ανήκειν) ή ως μοναδιαία υποσύνολα singleton (σχέση συμπεριλαμβάνεσθαι) τότε η διαδικασία ψηφοφορίας είναι ένας χειρισμός ο οποίος ακριβώς εμποδίζει να αναδυθεί η δεδομένη ιδιότητα των συνόλων να δημιουργούνται περισσότερα υποσύνολα από τα στοιχεία. Η αντιπροσωπευτική δημοκρατία μέσω καθολικής γενικής ψηφοφορίας είναι η συστηματική «καθήλωση» , ο «εξαναγκασμός» των υποσυνόλων στην κατάσταση μοναδιαίου συνόλου Singleton.

Είναι πέραν μιας μικρής ανάρτησης να αναλυθεί ότι ο συστηματικός «αντι- αντιπροσωπευτισμός» του Badiou, είναι ελκυστικός από δυνάμεις της ριζοσπαστικής αριστεράς αλλά δυστυχώς για αυτές η θεμελίωση του δεν είναι πολιτική ιδεολογική αλλά μαθηματική - λογική. Η ίδια μαθηματική λογική διάσταση εξοπλίζει τον ΑΒ για να είναι ριζικά αντίθετος στις γενικές εκλογές, την μαρξιστική πολιτική οικονομία κλπ.(*)

Το κράτος ,λοιπόν, δεν επιμετρά τους ψηφοφόρους ως στοιχεία αλλά ως υποσύνολα με ένα στοιχείο. Δηλαδή ο ψηφοφόρος Κώστας δεν είναι ο Κώστας αλλά το υποσύνολο Κώστας με μοναδικό στοιχείο τον Κώστα.

Το σύγχρονο αντιπροσωπευτικό κράτος, λοιπόν, δεν θεμελιώνεται σε μια λογική κοινωνικού δεσμού την οποία εκφράζει αλλά σε μια λογική απαγόρευσης άλλων υποσυνόλων την οποία απαγορεύει. Αν το κράτος δεν επιμετρήσει τους ψηφοφόρους ως πολίτες ψηφοφόρους , τότε επειδή αυτοί είναι υποσύνολα και όχι απλά στοιχεία, ως δυναμοσύνολο έχουν μεγαλύτερο πληθάριθμο από τον πληθάριθμο των στοιχείων.

Η κρατική ψηφοφορία ουσιαστικά δεν αντιπροσωπεύει αλλά ουσιαστικά περιορίζει τους πιθανούς δεσμούς των ψηφοφόρων μεταξύ τους. Ο αριθμός των υποσυνόλων είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό των στοιχείων.

Με την έννοια αυτή , και στεκούμενοι στο αυστηρό μαθηματικό λογικό επίπεδο η συνειδητή συμμετοχή σε ψηφοφορίες άλλων κομμάτων για οποιοδήποτε λόγο, συνιστά μαθηματικολογικά την δημιουργία υποσυνόλων την οποία το κράτος δεν επιθυμεί αλλά και αδυνατεί να ελέγξει

Αν η αποχή είναι, μαθηματικολογικά ,η συνειδητή «καθήλωση» του πολίτη στην μαθηματική μορφή «στοιχείο συνόλου» και όχι «υποσύνολο Singleton» που επιθυμεί το κράτος, η συμμετοχή σε κομματικές ψηφοφορίες είτε ως άσκηση επιρροής , παράδειγμα Gauch Liberal, είτε ως προβοκάτσια ,παράδειγμα Δημοκρατικοί Σαντόρουμ , αποτελεί μια άλλη «αντι αντιπροσωπευτική» στρατηγική. Από μαθηματικολογική άποψη είναι η αποδέσμευση από την θέση Singleton και η δημιουργία ενός νέου συνόλου.Το σύνολο αυτό εμπεριέχει δύο στοιχεία : τον ψηφοφόρο Κώστα για εκλογές και τον ψηφοφόρο Κώστα για εκλογές του αντιπάλου.

Αν λοιπόν οποιοσδήποτε προσπαθεί θετικά ή αρνητικά, παραγωγικά ή προβοκατόρικα, από αίσθηση του κοινού «καλού» ή από χαβαλέ να επηρεάσει ψηφοφορίες άλλου κόμματος , τυπικά παραπλανά το κράτος, και μαθηματικά ασκεί το δικαίωμα του να αποφύγει την κατάσταση Singleton.

(*) Αποτελεί ολίγον εκ του πονηρού η παρατεταμένη αποσιώπηση της μαθηματικής λογικής ανάλυσης του έργου του ΑΒ, η οποία αποτελεί και το ισχυρό θεμέλιο της, γιατί αυτή ακριβώς αναδεικνύει το ριζοσπαστικό αντιοικονομισμό τον οποίο έχει ανάγκη η σημερινή συγκυρία.

Συνδέσεις:

H gauche liberale "ψηφίζει" Valls

Οι δημοκρατικοί ψηφίζουν Santoroum

Εικόνα Georg Cantor (1845-1918) Ιδρυτής της Θεωρίας Συνόλων

Βιβλιοκριτικη: The concept of Model

2012-03-02T23:30:00.000-08:00

Math Matters – On Alain Badiou’s “The Concept of Model”

Following Ray Brassier’s (2005) short paper on Angelaki[1], let us assess how Badiou’s (1966) The Concept of Model advances towards a materialist epistemology of mathematics.
As is well known, Badiou’s work attributes to mathematics something of a paradigmatic position in determining “scientificity”. Already before the well known ‘mathematical turn’ in his thought, leading to the equation between mathematics and ontology in Being and Event, Badiou conceived of mathematics, since the very start of his philosophical oeuvre, as providing something of a standard for the rest of the scientific practices[2]. The closer a theory/discipline is to inscription in the language of mathematics; the more scientific it can be esteemed to be. Mathematics is not subordinated to the scientific interests of the natural sciences, but in a certain way envelops their activity, giving them form and mobilizing their productivity: ‘‘[U]ltimately, in physics, fundamental biology, etc., mathematics is not subordinated and expressive, but primary and productive.’’ This means that mathematics is not a mere means for scientific production; but that its own development is what provides a standard and material support for scientific productivity as such.

We can anticipate here that Badiou’s conception of mathematics concerns challenging its purported status as a mere ‘formal’ discipline, somehow separated from the ‘empirical’ domains otherwise assigned to the natural sciences. By denouncing the ideological separation of science from the empiricist split between formal-empirical/scheme-content, and integrating scientific experimental practice into the experimental interplay within mathematics, Badiou thus seeks to provide a legitimate philosophical estimation of mathematics’ primordial productive function.

If after all, as Badiou came to think, the axiomatic of set-theory can provide the all-enveloping means such that it is equipped to describe a general theory of presentation (and thus of becoming the science which describes conditions of access to any presentable reality), then it is in and through mathematics that Badiou’s materialism must found itself in its theoretical and practical deployment. Thus while the Zermelo-Fraenkel axiomatization of set theory provides an all-encompassing domain for the operation of mathematics at large, all accessible reality must remain within the confines of mathematical susceptibility in its capacity to be underwritten by ontology’s generality, i.e. set-theory as the science of the pure multiple, without qualitative determinations. By the same token, to stand outside mathematics separates thought from the possibility to stratify differences, and so outside the material scientific domain of dynamic production and demonstration. Because of this, Badiou tends to favor physics over biology; insofar as the former mathematically provides the objectified strata of what it structures under its domain.

Ontology, on the other hand, conditions this possible reification insofar as it intrinsically forbids any objectification of the multiple; where the latter is revealed as the result of transitory operations; hence ontology’s capacity to embrace the multiple indistinctly of its domain of operation: it stratifies being by de-objectifying them insofar as it founds itself on denying a primal appearance, i.e. the existential negation of belonging by the axiom of void-set qua the non-being of the One.

Therefore, it seems natural for Badiou to say that the scientific esteem of science must be rooted in its mathematical inscription, since it must be ultimately subject to the sole ‘science of the real’ enveloped by mathematical set-theory, to use Lacan’s well-known phrase. Since, in general, the form of presentation is that of the One (as opposed to ontology), it is the scientific capacity to objectify and axiomatically deploy differences which assigns it to mathematical production.

The most general objection to this approach, Brassier notes, would be to accuse it of an archaic formalism, peculiar to Badiou’s own intransigent variety of discursive Platonism. Only under such a lens could Badiou’s idea that s mathematics could ‘found’ the rest of the sciences, since it is to imperatively disavow the empirical / material (experiential) side, subordinating their practice to the ideal/formal or ‘a priori’ dimensions. However, as we indicated in the beginning, Badiou is precisely looking to undermine the (empiricist, and idealist) distinction between the formal and empirical, to be in turn revealed in their ideologically unquestioned illegitimacy.

Badiou begins by challenging two dominant conceptions of mathematics, as:

1) A formalist game – An arbitrary manipulation of meaningless symbols.

2) A scientific practice – Granting access to a domain of transcendent objects.
Mathematics is described rather as a productive activity, which consists in the stratification and differentiation of its notional material. Or as Brassier puts it: “Science is the production of stratified differences.” So mathematics is not a formal a priori discipline guaranteeing access to empirical reality; but itself an experimental productive practice inseparable from reality, as in the purported duality of ‘bourgeois epistemology’ between form and content. This latter duality is thereby designated as an ideological notion. To this purpose, Badiou distinguishes between three registers:

1) Philosophical categories.

2) Ideological notions.

3) Scientific concepts.

Badiou thereby proposes to assess the scientific status of the concept of model to purify it from its notional (ideological) baggage. One can attribute this ideological notional coating of the concept of model present in bourgeois epistemology by diagnosing the latter as being structured around an unexplained differentiation – based on an unquestioned assumption and perfectly incapable of examining their underlying principle. In the case of bourgeois epistemology, this is the distinction between:

a) Theoretical form – The formal theory (mathematics) which has a function.

b) Empirical reality - Which lies independently of formalizations.

The articulation between the two has in turn (at least) two variants: the representationalist idea of theory mirroring pre-given / presented objective reality, or the structuralist thesis governing the idea of an anteriority of a formal apparatus where the theory provides the form of representation for access to reality (no reality without theory). But, as we diagnosed above, these are ideological notions insofar as the differentiation of their terms is presupposed and not transparently accounted for:

‘‘[E]mpiricism and formalism have no other function here besides that of being the terms of the couple they form. What constitutes bourgeois epistemology is neither empiricism, nor formalism, but rather the set of notions through which one designates first their difference, then their correlation.’’

So we must unveil this ideological envelopment in the case of bourgeois epistemology more thoroughly.

Carnap and Quine / Analycity and Synthesis, Form and Content

Brassier takes a brief detour through the history of logical empiricism to pave the way into Badiou’s critique of bourgeois epistemology. He begins by targeting Carnap’s project for a reductionist physicalism in order to neatly separate the physical empirical sciences corresponding to synthetic statements, and the artificial formal sciences corresponding to analytic statements.

But Quine (1951) famously subverts this possibility by attacking the distinction between synthetic/analytic statements, given the latter’s reliance on the notion of synonymy, which presupposes that meaning as intensionally transparent in propositionally/sentential form rather than extensionally defined. The latter is subject to logical transparency, the former presupposes that an entity attaches itself to a sign; in this case propositions are the correlates of sentential statements. But there is nothing ‘self-evident’ about the putative analytic statements such that their meaning could be rendered transparent by their correspondence to signs, so Quine concludes that these purported intensional propositions are noematic entities tethered to linguistic intentionality, which is “what [Aristotelian] essence becomes when it is divorced from the object of reference and wedded to the word.”

Quine doubts this dubious idea can found the notion of Analycity, just like the dogma of reductionism relies on the presupposition that one can neatly divide conceptual schemes between their formal and empirical aspects. With regards to this last dogma, Quine reminds us that theories are intrinsically holistic and so this separation is actually impossible: falsification in theory does not entail always particular statements of the theory to empirical data; considerations of revision evaluate the system as a whole, and there is no clearly demarcable procedure for this besides the evaluation of the pragmatic import of the theory at large, and of its specific premises. Quine thus recognizes that theories are underwritten by empirical evidence, since it is finally evidence which gives theory to revision. In this sense Quine refuses to let go of the last dogma of empiricism, as described by Davidson: the dualism of conceptual scheme and empirical content.

This way Quine refuses to distinguish between ontological speculation and scientific hypothesizing, which in addition to the indeterminacy of translation (the notion of reference is non-intensional, but always relative to a holistically articulated semantic structure) and ontological relativity (to be is to be the value of a variable) leads his subscription to the form/content dualism into an epistemological relativism. Brassier´s formulation is excellent: “the difference between Homeric gods and protons is merely one of degree rather than kind… Whatever superiority the myth of physical objects enjoys over that of the Homeric gods comes down to a question of usefulness.” So the empirical remains by necessity incommensurable to resources extrinsic to a properly defined semantics holistically sustained by the system as a whole: one cannot appeal to the intensional connection between meaning and sign to distinguish between analytic and empirical statements anymore than one can distinguish ontology from science by virtue of the latter’s reliance on the empirical and the former’s a prioricity. This way pragmatism reveals itself as the underlying doctrine behind Quine’s empiricism.

Because of this ultimate neutrality of the empirical, Quine cannot find room for philosophy to investigate how the theoretical ‘cultural posits’ relate to ‘empirical usefulness’, since there would be strictly no such mechanism for verification. This signals blindness to the underlying ideological distinction between form and fact which underwrites the logical empiricism commonly to Carnap and Quine, and the latter can thereby leave empiricism’s underlying condition unquestioned. Badiou says that for Quine it is finally indiscernible to say that the formal is a dimension of the empirical or the reverse. So it follows that philosophical inquiry into science would have to proceed from science’s intrinsic categories: since there is no higher ground of a prioricity discernible from its concrete semantic coordinate system such that it would be commensurable by a ‘transcendental enquiry’ of some sort: science is a cultural posit which presents its enquiry in terms immanent to itself. Only ‘empirical usefulness’ remains transcendent to the immanent interplay of the terms in the theory.
To accomplish this, logicist empiricism will replace the traditional representationalist account where formal theory models the world via representation, to a theory where the empirical models the formal. We will see this in detail as we progress. This allows Quine to relinquish the two dogmas while preserving empiricism. For this, naturalized epistemology it is scientific practice itself which models the epistemological theory of science: it constructs a scientific-model of science’s capacity to model. Mind you, having granted that the choice of theory is empirically pragmatic, epistemology is not set to inquire into the putative reasons for adopting the theory. It merely stipulates that the domain for interpretation of theory (its empirical aspect) already has chosen a domain of objects to be tested with respect to the theory. This way the empirical structure which models a theory of representation is the very realm of scientific theorization as such: a set of unspecified entities/objects. Note that this non-specificity is guaranteed by ontological relativity and, as we will see, delivers the epistemologically construction of the empirical domain in terms of sets. In particular, naturalized epistemology accomplishes this virtuous circularity by designating the domain of neurocomputational processes as the empirical model for scientific representation, while these processes are already a part of science:

“Thus in a surprising empiricist mimesis of the serpent of absolute knowledge swallowing its own tail, naturalized epistemology seeks to construct a virtuous circle wherein the congruence between fact and form is explained through the loop whereby representation is grounded in fact and fact is accounted for by representation [a theory of how science records ‘facts’].” [Pg. 139]

Badiou claims in this regard that ‘‘If science is an imitative artifice [artisanat], the artificial imitation of this artifice is, in effect, Absolute Knowledge.’’ So, Brassier claims, the ideologically coated notion of model, moving from positivism to a pragmatist version of absolute idealism. But for Badiou this anchors Quine’s empiricism in the dogmatic irreflexivity obstructing materialism from properly putting science to the service of revolutionary motifs. The key lies in the concept of representation tout court, which idealizes science as an imitative theory instead of thinking the form of its production. This means we shouldn’t construct a dichotomy between formal theory and a pre-existing empirical reality (here, the pragmatist motivations behind naturalistic epistemology and its construction of scientific practice as a domain of interpretation empirically modeling theory). Rather, we must analyze the interplay of developing demonstrations and proofs which determine a precise historical material reality, whose structural specificity is the object of science [Pg: 139]. This way epistemology can be saved from the historicist variant of empiricism, according to Badiou. This pragmatist naturalization passes over the crucial difference between what Brassier distinguishes thus:

1) Cognitive production – Emergence of new theoretical practice through experimentation which likewise transforms the domain of interpretation. Domain interplay with axiomatic syntactic logical axioms transforming each other in an ongoing experimental practice which transforms the very reality it simultaneously describes.

2) Technical regulation – The use of models are subservient to strict conditions: Badiou offers the example of economics where the models are always in order to think the existing conditions of production rather than attempting to modify the very formal conditions for the conditions of production themselves. In this sense they merely regulate an existing practice through modelling rather than produce by way of an interplay between a domain of interpretation and a formal system (we will analyze this distinction in fuller detail on the next section).

So in distinction to vulgar empiricism’s blatant representational framework: Quine’s pragmatist version circulates around the closure of the gap between fact and form, both realms are reciprocally presupposed and are thus isomorphic in relation: “No longer inert and passive, the structure of the empirical itself generates the form of representation that will account for it. Here, evolutionary epistemology and ultimately natural history provide the explanatory fulcrum for explaining the relation between empirical fact and theoretical form.” [Pg: 140] We will then see how Badiou proposes to distance himself from naturalism while endorsing the rejection of any foundational ambitions by philosophy’s appeal to a realm of a prioricity. Badiou will reject integrating the sciences into the cognitivist evolutionary guise in which the neurocomputational processes model all scientific representation, and will insist on affirming the irreducible plurality of scientific practices and their discontinuous historicities. Subtracted from the guise of evolutionary history, Brassier nonetheless considers that this aversion to biology appears to overstep the properly Darwinian subversion of cleavage between natural and cultural history which Badiou seems resistant in accepting. But this shall not occupy us for now (we in fact know this is part of what motivates Brassier’s to challenge Badiou’s own subtractive ontology at the point where it lays credence to thought’s disruptive exclusive rights to evental change (arbitrarily allowing subjective decision to mediate between the grounded ontological presentation from the forced non-ontological presentation).

The Concept of Model

Let us proceed to examine Badiou’s reconstruction of the concept of model. For brevity’s sake, we will reconstruct the concept of model in its three essential components:

1) Formal system (syntactical aspect):

- Finite set of symbols

- Logical operators (negation and implication)

- Individual constants (a, b, c)

- Predicates (P, Q, R)

- Variables (x, y, z…)

- Quantifiers: (Universal, Existential)

- Rules of formation

- Rules of deduction (generalization, separation)

- A list of axioms

2) Structure

- Domain for interpretation (non-empty set V)

- Marks (true/demonstrable, false/non-demonstrable)

3) Rules of correspondence (semantic aspect)

- Correspondence function F mapping individual constants to some element of V, and predicative constants, to some subset of V.

From the syntactical giveness of axioms and rules of deduction one can derive theorems, but it is a requirement that there be at least one expression in the system which is not a theorem (directly deducible from the axioms), to avoid the redundancy of the rules of deduction and ensure the consistency of the system. Next, to establish that the formal system gives a specific deductive structure the rules of correspondence map expressions of the system to expressions which belong to the well defined domain for interpretation. Because semantics deals with these rules, it is defined extensionally. With this in place, the basic requirement for the construction of the concept of model can be given: a model is a formal system for which every deducible expression (theorem) corresponds to a ‘true’ statement in the domain of interpretation. Recall that the label ‘true’ is intended to merely mean ‘demonstrable’, and so it doesn’t carry any additional baggage: it is a mere functional operation of the system. Thus, if all deducible expressions in the system correspond to a true statement on the domain of interpretation the latter is a model for the system. [Pg: 141]

Scientific theory demands consistency, its experimental aspect demands the examination and building of concrete models. So scientific apparatuses are tools for such model building, the formal system is constrained by the model it uses to test the rules of correspondence (on which furthermore the consistency of the system depends) and the syntactical rules, and their interplay is the scientific practice as such. On the tripartite structure of formal systems, Brassier makes three remarks:

1) The specificity of the domain of objects must be defined in a concrete set of objects, which establishes it within mathematics, and thus renders possible the scientific eligibility of semantics.

2) The requirement that the number of symbols be finite means they are denumerable using whole numbers. Every well formed expression needs to have a denumerable number of indecomposable terms. Here the reclusiveness is not to set-theory, but to arithmetic: ’One establishes oneself in science from the start. One does not reconstitute it from scratch. One does not found it.’’

3) There is a crucial distinction between:

-Logical axioms – depending uniquely on the logical connectives and unaffected by the substitution of fixes constants in it.

-Mathematical axioms – Singularizes at least one of the fixed constants by separating it from at least one other. It is thus sensitive to substitution.

We can thus explain the construction of a model as follows: by the set-theoretical of the structure/domain of interpretation and the correspondence function F, one defines the validity and invalidity of a well formed expression of the system relative to the structure. Next, one specifies under what conditions a structure is a model for the system by establishing a correspondence between syntactic deducibility (an expression A is a theorem of the system) and semantic validity (that A is valid for a, the, or every structure). Then we can define a closed instance of expression A when all of its free variables have been replaced by fixed constants: A (a/x), (b/y), (c/z). [Pg: 142-143]

In turn, Validity is defined thus: expression A is valid for a structure if for every closed instance A’ of A, one gets A’ = True[3]. If the axioms of the system are valid for a structure, it will follow the theorems are likewise valid. So via the correspondence function F we can go from deducible theorem to the idea of validity for structure. Finally the concept of model is defined as follows: “A structure is a model for a formal theory if all the axioms of that theory are valid for that structure.” [Pg: 143]

Logical axioms are valid for every structure, mathematical axioms only for particular ones. Logic is thus equivalent for the structural operational consistency, and mathematics differentiates between types of structure. Logic itself is doubly articulated between the syntactic and semantic elements of the system: the axioms are modified for structures and the opposite as well in the experimental construction of logical systems. It follows that a purely logical system has no semantic indication of its models, since it can singularize any as validating it in distinction from other structures and becomes thus equivalent to structure as such. Therefore, mathematical axioms provide the differentiating power in a formal theory for individuation wherein the concept of model becomes relevant or indeed possible, since it is only when a structure is a model but another isn’t that a gap between the syntactic logical machinery and the structural domain can be cashed out in terms of which axioms are logical (purely syntactic) and which are on the other hand mathematical (sensitive to substitution); the former index the unity of the system and structure, the latter their difference. Models are thus centrally constructed around the “…differentiating power of logico-mathematical system.”

“Thus the concept of logic neither transcends nor subsumes mathematics; it remains inseparable from the couple which it forms with the latter. The contrast between the logical and the mathematical is a syntactical redoubling of the semantic distinction between structure and model.” [Ibid]

Experimentation and demonstration

Because the nature of the scientific activity finds itself split within mathematics between experimentation (building systems and models) and demonstration (testing structural validity for systems) in the dual interplay between set-theory and recursive arithmetic, it is misleading to think that the concept of model implies a relation between thought and its empirical exteriority. Structures are only domains for interpretation for systems in accordance to the syntactical axiomatic (syntactic) and the set-theoretical definition of rules for correspondence (semantics) which remain intrinsic to mathematics; arithmetic and set-theory in an endless interplay which is experimentation.

The arithmetic inscription into natural whole numbers stratifies the differences for the experimental practice, allows order and inductive numbering within the parameters for validity established within the system’s syntactic stricture. The concept of structure on the other hand regulates the usage of the experimental operations as produced by set-theory, concretely classifying the mathematical material according to rules of correspondence. It is thus the unified interplay between arithmetic and set theory which regulates the interplay of syntactic and semantic strictly within the mathematical discourse. From this, Badiou concludes the double illegitimacy of logical empiricism [Pg: 144]:

1) The notional distinction between formal syntactic and formal semantics ideologically coats the fundamental interplay of arithmetic and set-theoretical material which is strictly intra-mathematical.

2) The notion encoding the relation model to system as that between empirical fact and formal theory fails to register how the interplay between the modelling of structure serves also as an experimental basis to test/revise the formal system itself. It is thus incapable of distinguishing, as we saw, between the dual interplay which leads to cognitive production from merely technical regulation, where models must ‘conform’ to the underlying principles of the theory. This is especially true in cases where the domain of interpretation serving as structure is not yet entirely formalized in mathematics and so not prone to semantic correspondence by a syntactical system, which leads to transformations within the system.

Thus, against its standard ideological envelopment of scientific modelling, science does not proceed from theory to model or system to structure, at least not necessarily. The directionality is reversible and constitutes the constant interplay of scientific experimentation and production. The historical becoming of production in mathematics is thus not the testing of a theory for a model, but the specification of theories to account for the existing plurality of structures by devising an appropriate formal/syntactic means of inscription. The conceptual demonstrations in a given structure are thus to be inscribed formally into an appropriate syntax; which renders the idea that the model is a mere means for confirmation of the theory obsolete:
‘‘It is precisely because it is itself a materialized theory, a mathematical result, that the formal apparatus is capable of entering into the process of the production of mathematical knowledge; a process in which the concept of model does not indicate an exterior to be formalized but a mathematical material to be tested.” [Pg: 144]

So the system is formalized by the syntactical inscription of the model: semantics does not concern the modelling of the empirical by the formal, but the productive inscription of structural conceptuality into the axiomatic of a formal system, a procedure which amounts to experimental verification of the demonstrative model:
“[T]he philosophical category of effective procedure, of what is explicitly calculable through a series of unambiguous scriptural manipulations, lies at the heart of all mathematical epistemology. This is because this category distils the properly experimental aspect of mathematics, that is to say, the materiality of its inscriptions, the montage of notations. Mathematical demonstration is tested [s’e´prouve] through the rule-governed transparency of inscriptions. In mathematics, inscription represents the moment of verification.” [Ibid]

Verification is a means of formalization: demonstration and formalization are knit in their mutual implication.

The Historicity of Mathematical Production

Badiou seeks to construct a category of model which can describe within a dialectical-materialist framework the historicity of scientific practice. Materialism, Brassier underlines, is not to be understood in the vulgar sense of an appeal to substantial ‘matter’, but simply as an index of differential stratification of the pure multiple in objectified domains within a formal system. This is what, for Badiou, amounts to a sort of ‘discursive materiality’ or ‘scriptural materiality’, as Brassier calls it. These are thus irreducible to one scriptural domain, or to the order of a signifying operation; it attests to the formal differentiating capacity of logico-mathematical scripture which transforms itself within mathematical productivity, thereby eradicating the primacy of the object or the world proper to empiricism:

“[T]here is no subject of science. Infinitely stratified, adjusting its transitions, science is a pure space, without a reverse or mark or place of what it excludes. It is foreclosure, but foreclosure of nothing, and so can be called the psychosis of no subject, hence of all; fully universal, shared delirium, one only has to install oneself within it to become no-one, anonymously dispersed in the hierarchy of orders. Science is an Outside without a blind-spot.”

So science can stand outside the domain of ideology not because its subject penetrates into the hard core of reality or a realm of transcendent objects, but simply because of the axiomatic differential stricture of mathematics which proceeds without concern for its object, which stratifies pure multiplicities and for which the procedure of experimentation is precisely mobilized insofar as it subverts the very formal stricture in which conceptually determined structures are modeled and inscribed. There are no formal systems without recursive arithmetic and no rigor for experimental protocols without set-theory. This productivity renders science an essentially differential, rather than primordially representational activity, in the dialectic of demonstration and experimentation. A great example here is Gödel’s proof of the consistency of a model for axiomatic set-theory along the coherent integration Axiom of Choice and the Continuum Hypothesis, which does not transform the theory as much as the status of the theory in scientific historical production. So the constant sublation of a system presenting it retroactively as a model for a new experimental production organizes the dialectical movement of science:

“In the history of a science, the experimental transformation of practice via a determinate formal apparatus retrospectively assigns the status of model to those antecedent instances of practice. Conversely, conceptual historicity, which is to say the ‘‘productive’’ value of formalism, derives both from its theoretical dependency as an instrument and from the fact that it possesses models, i.e., that it is integrated into the conditions of the production and reproduction of knowledge.” [Ibid: Pg, 144]

So finally, we can say that Badiou thinks of the materialist category of model as designating the retrospective causality in formalism, in the connection between an object (model) and a usage (system). It modifies its internal systemic conditions to then be capable of registering a structure as being a model for the system. This perpetual movement of science along with its structural breaks and discontinuities can be rendered transparent without recourse to para-theoretical notions of ‘paradigm-shifts’ or anything of that sort: ‘‘Science is precisely that which is ceaselessly cutting itself loose from its own indication in re-presentational space [i.e., ideology]…. ‘‘[T]here are no crises within science, nor can there be, for science is the pure affirmation of difference.’’’’.

[1] BRASSIER, Ray, Badiou’s Materialist Epistemology of Mathematics, Angelaki Volume 10, Number 2, 2005, Pg135-152,

[2] Namely, in his article The Dialectical (Re)Commencement of mathematics (1966), and in his work on The Concept of Model (1969).

[3] I am here unsure about why A must be valid for every closed instance and not just some instance for the structure (for example the expression ‘all monkeys eat bananas’ may be verifiable for some terms in a structure which includes some monkeys and other animals too, so the statement seems valid for those closed instances in which the substitution is by those fixed constants which are monkeys, i.e. True for the structure).

2 comentarios:

Anónimo dijo...: Great write up. Certainly reinforced that I have to read "The concept of Model" as well as Brassier's review.With respect to footnote three, logical validity means true for every interpretation. That is, the truth of a valid formula is formal and thus we can substitute any constant for its variables and it remains true. For example, letting (x) denote "for all x", (x)(f(x) -> f(x)) will be valid since there is no possible model in which it would be false."All monkeys eat bannanas" would not be logically valid, assuming its logical form to be (x)(Monkey(x) -> EatsBannanas(x)). This formula would be false in a model with domain {a,b,c,d} where Monkey = {a,b} and EatsBannanas = {c,d}.

John Kadvany : Κριτική παρουσιάση του Number and Numbers

2012-02-23T10:31:00.000-08:00

Πηγή:Notre Dame Philosophical Reviews

Like many philosophers, Alain Badiou relies on technical systems of mathematical logic as a foundation for philosophical exploration. Donald Davidson used Tarski's theory of truth for formal languages to ground his approach to natural language semantics. Modal logic is frequently used to discuss problems of necessity, time, or belief. W. V. O. Quine made the reduction of mathematics to set theory a paradigm of "ontological commitment," such that an idealized formalization of physical science identified the entities needed to ensure the theory as fundamentally "real." Indeed, Badiou's project is exactly in this Quinean mode, with set theory his preferred tool. While Badiou's set-theoretic interpretations are not typical of those found in Berkeley or Princeton, the overall strategy is nonetheless "analytic." Hence one's response to Number and Numbers, and a similar earlier book, Being and Event, will depend on a) the philosophical narrative laid over the mathematics, and b) the treatment of the mathematics vis à vis the interpretation.

This review follows those two themes. But first a word on intellectual context. Badiou is one of several French philosophers pilloried by Alan Sokal and Jean Bricmont in Fashionable Nonsense: Postmodern Intellectuals' Abuse of Science (1998). Sokal, of course, authored the sham 1996 Social Text article, concocted as a meaningless essay in high lit-crit-theoretic style, and buttressed by facile, often bogus or inconsistent, appeals to quantum physics or relativity, all undetected by the editors. The hoax was widely reported in the popular press and Sokal has since continued his manic crusade, though with much less panache and success. One of Sokal's "tests" for intellectual value is whether one can detect a difference in meaning if key words are interchanged, say "being" and "other," or "mediation" and "reification," or whatever -- sort of a Turing test for intellectual quality. For Badiou in Fashionable Nonsense, Sokal and Bricmont, as they so often do, just selectively quote him, rhetorically ask the reader if it makes sense (of course not, devoid of context), and then go on. The second trick could be applied to Number and Numbers, perhaps with some honesty, but I think ultimately unfairly, as explained below. Badiou's ontological narrative is allusive, poetic, and deeply metaphorically inspired by his understanding of modern set theory. And Sokal's "reversal" test also fails. Badiou's vision is a wholly consistent one, built indeed from a stimulating historical account of the treatment of number by Gottlob Frege, Guiseppe Peano, Richard Dedekind, and Georg Cantor.

Badiou's vision in brief: he despairs the lack of objectivity and relativism implicit in the "linguistic turn" -- whether of Lacan, Foucault, and Derrida, but probably equally much Rorty or Searle -- and so seeks a directly ontological alternative, somehow avoiding constructivist methods. Badiou, probably not noticed by Sokal, is in this way a conservative French philosopher, accepting modernist heterogeneity, but believing it to be mere appearance. The structure of Being, for Badiou, enables us to cognize it in excessively, possibly disastrously, manifold ways, exploring paths of innumerable options, scenarios, frames, and templates, with the whole an inconsistent multiplicity made up of Being's constituent elements. Our world, any world, is a tiny fragment selected from Being's "multiples of multiples." It's not that being is mathematical, but that mathematical discourse "pronounces" what is expressible of "being qua being." Theories of anything, but mostly the natural and social world as described using numeric methods, are re-presentations of this ontology. Consistent with the primacy of natural science, numbers and numeric structure have to be "immanent" (76, 101, 177), and especially, not "constructed" via syntax, grammar or other inductive procedures, of which Badiou is completely disdainful: "if it is true that mathematics, the highest expression of pure thought, in the final analysis consists of nothing but syntactical apparatuses, grammars of signs, then a fortiori all thought falls under the constitutive rule of language" (48). No Sapir-Whorf hypothesis for this fellow. The need is for an immanent structure of number and numbers, overwhelmingly efflorescent in its structure, persistently unbounded, always already beyond completion in every detail.

Enter modern set theory, particularly Zermelo-Fraenkel (ZF) set theory, already essential to Being and Event. ZF is a mainstream focus of modern set theory and principally used to study varieties of the mathematical infinite. Additionally, most "ordinary" mathematics (calculus, algebra, probability, number theory, geometry, etc.) can be thought of as codified as sets, sets of sets, and so on. In this way, ZF (defined formally in standard predicate logic) may be thought of as a foundation for all types of mathematical representation. Intuitively, ZF starts with nothing, the empty set, ∅. From that, you can form a new set consisting of all of the subsets of ∅; since the only subset of ∅ is ∅ itself, this new set of subsets is just {∅}. Then you can take that set's subsets (i.e. {∅, {∅}}), and so inductively generate partial universes of sets V_n, each mini-universe V_n defined as all subsets of V_n_-1. That only leads to finite sets, so a further axiom is needed to guarantee the existence of infinite sets. With that, additional ZF axioms for collecting and redefining sets allow construction of transfinite ordinal numbers α which continue the natural, or counting, numbers into the infinite, and hence the process of set formation in further collections V_α. The set theoretic "universe" V includes all the V_α, and this universe (as called in set theory) initially contains Badiou's desired pure "multiples." Zermelo importantly saw how to maximize set creation while (hopefully) preventing paradox formation à la Russell by not allowing total collections like V to be treated as sets. Each V_αis "small" enough to be a set, but the entire universe, V, is a "proper class," not created by a set axiom and not a member of any set. There are lots of proper classes, including the class of all transfinite ordinals α. The ordinals are the "backbone" of V: they take us as far as we want into the higher infinite, with more sets defined "horizontally" as subsets or members of the V_α. Much set theory is about how far those ordinals may continue, pretty much to the brink of inconsistency. Kurt Gödel believed correctly that proceeding far into the infinite was a way of learning more about ordinary real numbers, meaning all those expressible using infinite decimal representations 3.141592654 … , -1.0, 0.161616 … , etc.

The real numbers return us to Badiou. We use real numbers, or at least arbitrarily precise approximations to them, all the time in natural or social science, engineering, finance, accounting, even carpentry. Prima facie, we need some infinitary set theory, or similar apparatus, for the intelligibility of such practices. Badiou never mentions Quine, but he similarly assumes Quine's reductionist need for numeric representation, and modern set theory as the right setting for ontological justification. The validity of this assumption is discussed below. For now, to get from Quine to the Badiou of Number and Numbers, one just needs the latter's further goal of an overwhelmingly productive set universe. The V_αs, which are Gödel's conception of a cumulative set hierarchy, start to do that, especially with ordinary mathematics represented by sets at very low levels in the vast set universe V. But for Badiou this is insufficient.

To motivate his project, Badiou's book begins with a history of number concepts in the late 19th century, a critical time in the foundations of mathematics. Frege, Peano, and especially Dedekind all had important theories of number incorporated in part by later axiomatic treatments. Frege famously tried to construct numbers from logical principles and came close to succeeding. Peano devised postulates (including a powerful conception of mathematical induction, similar to recursion), which are today codified in first-order logic and the formalism known as Peano Arithmetic -- an avatar of Badiou's "constructive" procedures. Dedekind devised a remarkable conception of real numbers allowing them to be defined in terms of infinite sets of the simpler rational numbers (i.e. "fractions" p/q giving only repeating decimals). And Cantor initiated the modern theory of the infinite. Badiou provides a provocative discussion of the successes and failures of these pioneers in keeping the number concept front-and-center amidst competing foundational goals and philosophical motives. His main point is that the real numbers have been diminished to a "mere" set construct, ultimately becoming just another set with no special ontological status. Set theory also does little to unify the familiar counting, rational, and real number systems as sets. It's not enough to easily define real numbers, calculus, and whatever else you need in set theory. Somehow numbers should be more directly manifested, not constructed, since they are supposed to constitute Being in its elemental design.
For Badiou, vanilla sets alone, starting from the empty set and built by transfinite recursion along the ordinals, don't present the important number families as sufficiently identical. The arithmetical operations possible on Cantor's transfinite numbers (i.e. ordinals) are too limiting because they only generalize counting operations (+ and ×), not the full algebra possible with real numbers (+,-, ×, ÷), nor the reals' rich continuity. The set theoretic universe just doesn't look much like the ordinary real number line, and this Badiou dislikes. In particular, Cantor's transfinite ordinals are discrete, unlike the real numbers. The symbol "ω" is for the first transfinite ordinal, and in set theory it is defined as the set {0, 1, 2, …}. You can add 1 to ω to get ω + 1, which is just the set {0, 1, 2, … , ω}, i.e. ω + 1 = ω ∩ {ω}. But there's no ordinal a between ω and ω + 1, just as there is no counting number n between 2 and 3, or 100 and 101, even though there are lots of such real numbers, like 2.002 or 100.101100111 … . There is some algebra for calculating with transfinite ordinals, but not like the algebra for rational and real numbers. For Badiou, Cantor's great insight, to generalize just the discrete counting numbers into the transfinite, is ultimately an ontological flaw.

The theory of surreal numbers is Badiou's means for making the universe of sets more number-like. Surreal numbers were invented by the Princeton mathematician John Conway in the 1970s, and named by Donald Knuth in his whimsical novelette, Surreal Numbers (1974). Conway's interest was the study of finite, but combinatorially complex, games, like Nim or chess, but his work also applies to cryptography or similarly computationally intricate domains. Conway devised various mathematical games, defined as alternating moves by two players acting on, say, colored lines or tokens, following simple rules. The games can be ordered, like numbers, and associated with numeric values, depending on, say, which player is guaranteed to win. Conway could not only quickly define counting numbers, much as occurs when numbers are defined as sets, but also negative numbers, rational numbers, and the real numbers, the last of these imitating a generalized Dedekind "cut"; hence the key role for Dedekind in Badiou's historical background. It is likewise easy to define all the usual algebraic operations (+,-,×, ÷) for Conway's games. By allowing the games to include an infinite number of choices for players (for which you somewhere need axioms, they aren't free), you quickly get versions of Cantor's transfinite ordinals. The surreal algebra then works for these transfinite ordinals.
So one can define surreal numbers ω/2 or √ω -- infinity divided by 2, the square root of infinity -- and it all works; e.g. ω/2 + ω/2 = ω, ω/3 < ω/2, etc., all of which are meaningless for Cantor. (These surreals are not ordinals, but are defined from ordinals.) Hence there are all manner of ordered surreal numbers "between" the discrete transfinite ordinals, just as with ordinary real numbers. You can now form, for any ordinal α, surreal numbers like 1/α, something infinitely tiny, so to speak, along with 1/α², 1/α³, and whatever else you want in analogy with the reals. Now the coup de grâce. The standard transfinite ordinals α also form a proper class, a huge entity, "as big as" the universe of sets V. So, imagine adding any and all of the vastly tiny surreal numbers, like 1/α, 1/α², 1/α³, or whatever, to hum-drum ω. You get a vast universe, an innumerable proper class, between ω and ω + 1, just as between 2 and 3 there are uncountably many real numbers, 2.1, 2.11, … 2.98, 2.99, etc. Similar vast proper classes, versions of V, even exist between surreal 2 and 3, or 100 and 101. For Badiou, that's how you get innumerable number worlds back into the otherwise pallid set theoretic universe, insinuating themselves all around, like a set-theoretic version of fractal geometry. In this way, "the numbers that we manipulate are only a tiny deduction from the infinite profusion of Being in [surreal] Numbers" (211).

Much of Number and Numbers consists of prose and math-lite explications of surreal number properties which Badiou takes as ontologically significant. I find it mostly unconvincing since no connections are made to the ordinary physical, biological, historical, political, and aesthetic ontologies expressed through the habitus of modern life. Instead there are Badiou's remarkable interpretations of set theory and the surreals. Here's an example, indicative of Badiou's Cantorian poiesis. The numbers 0, 1, 2, … themselves are sets, being ∅, {∅}, , … , with these nestings defined via Conway's games if you like, or in ordinary ZF. Recall the plain first infinite ordinal ω, equal to the set {0, 1, 2, …}. Then ω + 1, the next ordinal, is defined as ω ∪ {ω}, or {0, 1, 2, … , ω}. So, like all ordinals, ω + 1 has the property that all its members are also subsets (i.e. is "transitive"). Then:

This property [transitivity] is characteristically natural: the internal homogeneity of an ordinal [α] is such that dissemination, breaking open that which it composes [set element x ∈ α], never produces anything other than a part [subset x ⊂ α] of itself. Dissemination, when it is applied to a natural multiple, delivers only a 'shard' of that multiple. Nature, stable and homogenous, can never 'escape' its proper constituents through dissemination. Or: in nature there is no non-natural ground (80).

Badiou then contrasts successor ordinals, built from addition like ω + 1, from limit ordinals, like ω = {0, 1, 2, …} which have no "last element," as does ω + 1 = {0, 1, 2, … , ω}:

In my view, this contrast is of the greatest philosophical importance. The prevailing idea is that what happens 'at the limit' is more complex, and also more obscure, than that which is in play in a succession, or in a simple 'one more step'. For a long time philosophical speculation has fostered a sacralisation of the limit. What I have called elsewhere [Manifeste pour la philosophie, 1989] the 'suture' of philosophy to the poem rests largely upon this sacralisation… . Every true test for thought originates in the localisable necessity of an additional step, of an unbroachable beginning, which is neither fused through the infinite replenishment of that which precedes it, nor identical to its dissemination … The empty space of the successor is more redoubtable, it is truly profound. There is nothing more to think in the limit than in that which precedes it [e.g. ω has no last element]. But in the successor [e.g. ω + 1] there is a crossing. The audacity of thought is not to repeat 'to the limit' that which is already entirely retained within the situation which the limit limits; the audacity of thought consists in crossing a space where nothing is given.

Badiou's thinking on such matters is entirely consistent, marvelously, sometimes fascinatingly, so. You can't pull a Sokal on him by exchanging key terms. The interpretations do mirror the math, and in terms of audience, a good course in set theory is likely needed to follow it through. Badiou's readings are also provocative. For example, he is right, one rarely considers the successor operation "+ 1" to be problematic, compared to taking a limit. But there are also good reasons for the conventional wisdom: it's not obvious how to define limits to avoid inconsistency, and taking limits can require non-trivial increases in consistency strength in the underlying axioms (e.g. from "all sets are finite" to "an infinite set exists"). In any case, most of Number and Numbers consists of exegesis and commentary of the type just given, with a key role played by transitive sets, especially ordinals, also as just displayed. So it's not a hodge-podge, it's a real vision, but quite gnomic, almost a private language of Being.
On balance, Number and Numbers is a highly creative interpretation, but I think Badiou has the roles of informal mathematical narrative and proof exactly reversed. He believes, like set theorists of old, in mathematical realism. But that's not what counts in mathematics, Gödel's platonism notwithstanding. Believe what you want. What matters are new systems, logics, heuristics, conjectures, counterexamples, theorems, proofs. However you explain these is fine, but don't take mathematical metaphors too seriously, even as these are essential to understanding, communication, and teaching. In particular, the idea that ZF, or other set theories, provide "foundations" is itself a metaphor, true in part, but today far from having the ultimate status envisioned by Frege, Russell, or Gödel.
Let's conclude with a few key points. Badiou ultimately does not create his desired "immanent" ontology of number, because he does not conquer linguistic constructivism. Set theory relies on first-order logic; it isn't expressed through its own ontological language or other angelic media. Set theory is presented using recursive rules, and the "backbone" of ordinals, as well as the cumulative hierarchy of V_as, are also inductively defined through the formalism. So constructions are ubiquitous. Badiou would like to think that Conway's surreal numbers, being "constitutive" of ordinals, real numbers, and their wild arithmetic, avoids that constructivist stain. According to Badiou,

It is particularly reassuring to remark that, in the definition of reals as [surreal] Numbers, everything remains immanent … The characterization of a type of pure multiple has been substituted for [constructive] operational fictions … We have overcome the modern resistance to a unification of the concept of Number. (177)

But surreal numbers don't arise from dust, they rely on combinatorial rules via Conway's game-theoretic constructs, and these are axioms manqué. Computation and symbolic manipulation cannot be ignored because every formalism relies on them.
Anti-constructivist bias distorts Badiou's history of mathematics, in which virtually nothing happens vis à vis number after around 1900. In particular, he ignores Alan Turing and related theories of symbolic processing (Post, Church, Chomsky, et al.), from which came modern computing and its world historical consequences. Of course, Badiou detests such "constructive" thought, so he ignores its milestones, including equivalencies of many mathematical theories and computational procedures. For example, if you remove the axiom "an infinite set exists" from ZF, you essentially are left with Peano arithmetic; the two theories are interinterpretable, in fact via the "hereditarily finite" sets, the V_ns, all of which are easily coded as finite sequences of natural numbers. There is also fabulous complexity, of just the kind Badiou is enamored, found right in the Peano axioms, whose computational power can be associated exactly with "exponential" ordinals ω, ω^ω, … , through all such finite "towers." Badiou, to his credit, begins Number and Numbers with the ancient and persistent conflict between arithmetic/computational and geometrical/ontological conceptions of number (Chapter 1), but his attempt to so marginalize the former in favor of the latter founders on what's been learned since the late 19th century.

Now recall Badiou's fundamental premise, namely the primacy of real numbers and their algebra for representing nature or other expressions of Being. It used to be assumed, as Badiou does, that to do much applied science, you needed the full real number line and its basic operations (integrals, derivatives, functional operators, etc.) as found in college physics. Hence it was thought that some infinitary set theory was needed to justify all that, in the spirit of Quine's ontological commitment. But that turns out to be false. Hermann Weyl already saw in the 1920s that much abstract mathematics could be developed using weak set-theoretical methods, sometimes called "predicative," in contrast to "impredicative", definitions implicit in many real number concepts (e.g. the "least upper bound" of infinite sets of real numbers). The question then is whether modern science really can be codified using such weak assumptions, thus greatly reducing any supposed ontological burden implied by a Quine or Badiou. Solomon Feferman, the proof theorist most critical of much modern set theory, and editor-in-chief of Gödel's Collected Works argues persuasively in In the Light of Logic (1998) that Weyl was essentially correct: very little set theory, and perhaps none of the "completed" infinite, is needed for natural science. You can study the higher infinite all you like for aesthetic or intellectual reasons, but it can't be justified by an ideology of natural scientific need. So unless Badiou has other grounds for his starting premise, the project is unstable from the start, built on the sand Weyl saw beneath the Cantorian infinite.
Finally a note on the political pretensions of this book, intended to say something about the dominance of numbers in contemporary life, themselves a polluted incarnation of Badiou's surreal Number. The topic is discussed in passing, and not convincingly. We live under "the reign of [ordinary, calculating] number" (213), which "informs our souls," "governs cultural representations" (3), and "imposes a fallacious idea of a bond between numericality and value, or truth" (213). True, numbers are an intellectual technology used for good or bad ends. But, if I want to estimate populations most impacted by AIDS and the best ways for allocating limited resources, is that domination? Or knowing the amount of concrete needed to keep schools from collapsing in earthquakes, as occurred recently in China? Just where do the problems with numbers begin? Other approaches are possible, including Ian Hacking's The Taming of Chance (1990), about the development of statistical methods during the 19th century and their institutional settings. Perhaps uncoincidentally, Hacking was strongly influenced by Foucault, as in Hacking's emphasis on how people get categorized by being counted in various ways -- as criminals, the poor, orphans, immigrants, homosexuals, etc. -- hence constructing and controlling them. Alternatively, Stephen J. Gould's The Mismeasure of Man (1981) is an earlier severe indictment of statistical methods in the context of intelligence testing and racial classification. These critical histories have nothing to do with set theory. But concerning the modern avalanche of numbers, they have fidelity to its reality and true being.

Διάλεξη:Questions Concerning The Infinite, 2011

2012-02-19T05:31:00.002-08:00

Διάλεξη :Infinity and Set Theory: How To Begin With The Void. 2011

2012-02-16T06:47:00.000-08:00

Διάλεξη : The ontology of multiplicity

2012-02-10T12:48:00.000-08:00

Οι μειψηφίες ως κατασκευάσιμα ή γενολογικά σύνολα

2012-02-10T12:00:00.000-08:00

Ενδιαφέροντα τα 10 πρώτα λεπτά ,όπου ο Βεργίτσης χρησιμοποιεί τα Badioumathematics με απτό κατανοητό τρόπο.

Παρουσιάζει ως διαφορά μεταξύ κατασκευάσιμων (Godel) και γενολογικών συνόλων (Cohen) την διαφορά μεταξύ μειοψηφιών που κερδίζουν επαναστάσεις και εγκαθιστούν τυραννίες, και μειοψηφιών που πυροδοτούν εξελίξεις αλλά εμπεριέχουν ως υποσύνολα όλες τις πληθυντικές οντότητες.

Ενδιαφέρουσα και η διαφωνία που ακολουθεί

Πηγή : Νοσοστρος, ΕΟΣ

A.Badiou:Number and Numbers (courtesy Google books)

2012-01-31T08:13:00.000-08:00

Σύνδεση με εκτεταμένα αποσπάσματα εδώ

Η θεωρία συνόλων στον Α.Badiou: Εισαγωγή στο Infinite Thought

2012-01-18T00:22:00.000-08:00

Σύνδεση εδώ

Mathematics and the Theory of Multiplicities: Badiou Deleuze Revisited

2012-01-01T02:37:00.000-08:00

Mathematics and the Theory
of
Multiplicities: Badiou and Deleuze
Revisited
Daniel
W. SmithPurdue University

Πλήρες εδω.Αντίγραφο PDF διαθέσιμο στον διαχειριστή (αν το λινκ δε "δουλεύει")

Badiou : Για τον Ευκλείδη και τους "πρώτους" αριθμούς (via Q Meillassoux)

2011-12-26T00:33:00.000-08:00

Πηγή:Quentin Meillassoux, Histoire et événement chez Alain Badiou

Let us take the mathematical example, a very seminal procedure of thought for Badiou. That is to say the arithmetic theorem which states, in contemporary terms, that there are an infinity of prime numbers. It is known that Euclid had already demonstrated this theorem in the Elements, and one could thus deduce from this the restlessness of an eternal truth, intangible and unchanged by history, as true for a Greek as for a contemporary, and concealing the same kernel of significance for one as for the other. But the partisan of historical relativism, as self-styled "anthropologist of cultures" will underline our naivety, making apparent that the equivalence of two statements, present in two different cultural worlds, do not have a common truth - which already revealed by a difference in their formulation. Euclid, indeed, could not demonstrate the infinity of the prime numbers, since infinite arithmetic did not have any meaning for a Greek. It simply demonstrated that prime numbers were always higher in quantity than a given (finite) quantity of prime numbers. Other differences in formulation will end up convincing our relativist that the two statements support an incommensurable truth.

Badiou retorts that this naive illusion is on the side of the anthropologist, and not of the mathematician. Because the Greeks had discovered, via this theorem, a truth essential for number. The demonstration of Euclide, in effect, proceeds as a demonstration that any whole number is decomposable into prime factors. But Badiou insists that this truth always governs contemporary mathematics, in particular modern abstract algebra. This covers, in a given operational domain, the definition of operations similar to those of addition or multiplication, but also proceeds to break up its "objects" into primitive objects, in the same way that a number is always decomposable into prime numbers. There is thus, across the centuries and cultural and anthropological worlds, these truths which, though eternal, are not fixed but produce the sole authentic history: that of fertile theoretical gestures, always recommencing in diverse contexts, with the same fidelity, and yet at the same time the results of innovators.

Όλο το κείμενο εδώ

Constructible sets

2011-12-04T11:48:00.000-08:00

Πηγή : Scribd Badiou-Alain-Politics-A-nonexpressive-dialectics

There is a very clear mathematical example of this relation between desire and law, between different forms of existence, which is really interesting. Don’t be afraid, it’s very simple. I think mathematics is very often something which is linked to ter- ror. And I am always speaking from a non-terrorist conception of mathematics…

Suppose that we are in the theory of sets – we have a theory of the pure multiplicity – and suppose we consider one set, no matter what set; a multiplicity absolutely ordinary. The interesting thing is that with some technical means we can for- malise the idea of a subset of this set which has a clear name. So the question of the relation between existence and clear name has a possible formalisation in the field of the mathematical theory of sets. Precisely, to have a clear name is to be defined by one clear formula. It was an invention of the greatest logician of the last century, Kurt Gödel. He named that sort of subset a con- structible subset; a constructible subset of a set is a set which has a clear description. And generally speaking we name con- structible set a set which is a constructible subset of another set.

So, we have here the possibility of what I name a great law. What is a great law? A great law is a aw of laws, if you want: the law of what is really the possibility of a law. And we have a sort of math- ematical example of what is that sort of law, which is not only a law of things or subjects, but a law for laws. The great law takes the form of an axiom, the name of which is the axiom of con- structibility and which is very simple. This axiom is: all sets are constructible. You know that is a decision about existence: you decide that exist only sets that are constructible, and you have as a simple formula a simple decision about existence. All sets are constructible, that is the law of laws. And this is really a possibil- ity. You can decide that all sets are constructible. Why

Because all mathematical theorems which can be demonstrated in the general theory of sets can also be demonstrated in the field of con- structible sets. So all that is true of sets in general is in fact true for only constructible sets. So – and it’s very interesting about the question, the general question of the law – we can decide that all sets are constructible, or if you like that all multiplicity is under the law, and we lose nothing: all that is true in general is true with the restriction to constructible sets. If you lose nothing, if the field of truth is the same under the axiom of constructibility, we can say something like: the law is not a restriction of life and thinking; under the law, the liberty of living and thinking is the same. And the mathematical model of that is that we don’t lose anything when we have the affirmation that all sets are constructible, that is to say all parts of sets are constructible, that is to say finally all parts have a clear definition. And as we have a general classifica- tion of parts, a rational classification of parts; classification of society if you want – without any loss of truth. At this point there is a very interesting fact, a pure fact. Practically no mathematician admits the axiom of constructibili- ty. It’s a beautiful order, in fact, it’s a beautiful world: all is con- structible. But this beautiful order does not stimulate the desire of a mathematician, as conservative as he might be. And why? Because the desire of the mathematician is to go beyond the clear order of nomination and constructibility. The desire of the mathematician is also the desire for a mathematical monster. They want a law, certainly – difficult to do mathematics without laws – they want a law but the desire to find some new mathematical monster is beyond this law.

The mathematical example is very striking. After Gödel, the def- inition of constructible sets, and the refusal of the axiom of con- structibility by the majority of mathematicians, the question of the mathematician’s desire becomes: how can I find a non-con- structible set? And you see the difficulty, which is of great politi- cal consequence. The difficulty is, how can we find some mathe- matical object without clear description of it, without name, with- out place in the classification: how to find an object the character- istic of which is to have no name, to not be constructible, and so on. And the very complex and elegant solution was found in the sixties by Paul Cohen. He found an elegant solution to name, to identify, a set which is not constructible, which has no name, which has no place in the great classification of predicates, a set which is without specific predicate. It was a great victory of desire against law, in the field of law itself, the mathematical field. And like many things, many victories of this type, it was in the sixties. And Paul Cohen gives the nonconstructible sets a very beautiful name: generic sets. And the invention of generic sets is something in the revolutionary actions of the sixties.

A.Badiou: Topoi

2011-11-25T09:01:00.000-08:00

Α.Βadiou: Οn a finally objectless subject :topoi

Ντοκουμέντα από την κριτική κατά του Alain Badiou στο περιοδικό Critical Inquiry

2011-11-16T09:00:00.000-08:00

Αναδημοσίευση από Lenin Reloaded

Ο καθηγητής David Nirenberg --ειδικός επί της μεσαιωνικής ιστορίας και μέλος της Επιτροπής για την Κοινωνική Σκέψη στο Πανεπιστήμιο του Σικάγο-- και ο πατέρας του, Ricardo Nirenberg --συνταξιούχος μαθηματικός-- γνωστοί και για το επιστημονικό και πολιτικό τους ενδιαφέρον για τον αντισημιτισμό, δημοσίευσαν στο Critical Inquiry, το διασημότερο περιοδικό για την λογοτεχνική και πολιτισμική θεωρία στις ΗΠΑ (εκδόσεις πανεπιστημίου του Σικάγο), μια σφοδρή κριτική της χρήσης των μαθηματικών στην οντολογία του Μπαντιού.

Η κριτική αυτή μπορεί να διαβαστεί εδώ.

Στην κριτική αυτή απάντησαν οι A.J. Bartlett και Justin Clemens, εδώ.

Ο Badiou απάντησε με έναν σύντομο πρόλογο στην απάντηση των Bartlett και Clemens, εδώ.

Τέλος, οι Nirenberg και Nirenberg απάντησαν στις απαντήσεις των προαναφερθέντων εδώ.

Αποσπάσματα από το Wittgenstein's Antiphilosophy (1)

2011-08-29T09:44:00.000-07:00

Η απλή ερώτηση «Είναι τα μαθηματικά ένας τρόπος σκέψης» υπόγεια οργανώνει την διαμάχη μεταξύ φιλοσοφίας και αντιφιλοσοφίας.

Γιατί;

Επειδή εάν οι μαθηματικές αναλογίες σκέπτονται , τότε αυτό σημαίνει ότι είναι δυνατός ένας λόγος χωρίς την εμπειρία του αντικειμένου, μια υποκειμενική και ρυθμισμένη πρόσβαση στο κατανοητό, ότι το είναι δεν είναι αποκλεισμένο από όλες τις αναλογίες, ότι τελικά η πράξη είναι ίσως μια θεωρητική υπόσταση.

Ο αντιφιλόσοφος τα αρνείται όλα αυτά

Από εκεί και πέρα η γενική γραμμή της αντιφιλοσοφίας είναι ότι τα μαθηματικά δεν είναι ένας τρόπος σκέψης αλλά ένας υπολογισμός. Μέσω αυτής της «υπολογιστικής» διάστασης ή ως ένας απλός μετασχηματισμός σημείων ,αναδύεται το αδιαφοροποίητο πρόταγμα:

Τα μαθηματικά είναι μια παραλλαγή της λογικής.

Ο Wittgenstein το ανακοινώνει μέσω της συνήθους ευθύτητας του : «Τα μαθηματικά είναι λογική μέθοδος»

σ.137

Η εργατική τάξη δεν είναι μαθηματικό άθροισμα

2011-03-14T03:20:00.000-07:00

O χονδροειδής Μαρξισμός όπως και ο αντίστοιχος Φρουδισμός δεν μπόρεσαν ποτέ να διαυγάσουν μια σημαντική παρανόηση. Ο πρώτος υποστήριξε ότι η αλήθεια είχε ιστορικά αναπτυχθεί στην βάση επαναστατικών γεγονότων της εργατικής τάξης. Αλλά αντιλήφθηκε αυτή τη διαδικασία μέσω της έννοιας της τάξης ως μαθηματικής κλάσης της πεπερασμένης συλλογής των εργατών. Όμως «οι εργάτες» εννοούμενοι ως απλά σύνολα-πολλαπλά σχηματίζουν μια άπειρη κλάση , δεν είναι το εμπειρικό άθροισμα όλων των εργατών ως μαθηματικό άθροισμα. Και αυτό οδήγησε τη γνώση ( και παραδόξως την ίδια τη Μαρξιστική γνώση) να θεωρήσει «τους εργάτες» ως στοιχεία κοινωνικών και οικονομικών προσδιορισμών. Το συμβάν όμως δεν έχει καμία σχέση με αυτό που ήδη έχει επιμετρηθεί , έχει καταμετρηθεί , και η αλήθεια δεν είναι επαλήθευση που τεκμηριώνεται εντός της υφιστάμενης γλώσσας μιας κατάστασης. Αλλά και η αλήθεια τελικά ακυρώνεται ( αυτό που λέμε «αυτό έχει ξαναγίνει» ή «είναι παλαιομοδίτικο» ) γιατί η εγκυκλοπαιδική γνώση είναι πάντα ασταθής. Αυτή η σύμπτωση στην εγκυκλοπαιδική γνώση , αυτή η αυτοναφορική υπόθεση που υιοθέτησε την αρχή ότι ο Μαρξισμός είναι ταυτόχρονα πολιτική αλήθεια, μαχητική και πιστή αλήθεια αλλά και εμπειρική γνώση της Ιστορίας και Κοινωνίας , τελικά τον οδήγησε σε θάνατο γιατί εγκλωβίστηκε στις διακυμάνσεις της εμπειρικής γνώσης μέσω των δοκιμασιών της σχέσης γλώσσας και κράτους.Being and Event p334

Τι είναι η ισότητα

2011-03-14T03:18:00.001-07:00

Είναι πολύ σημαντικό να σημειώσουμε ότι η «ισότητα» δεν αναφέρεται σε οτιδήποτε αντικειμενικό. Δεν είναι ένα ζήτημα μια ισότητας μιας κατάστασης, εισοδήματος, διαδικασίας, και ακόμα λιγότερο την υποτιθέμενη εξισωτική δυναμική των κοινωνικών συμβολαίων και μεταρρυθμίσεων. Η ισότητα είναι υποκειμενική .Είναι ισότητα της πολιτικής συνείδησης για τον Saint – Just ή της κινηματικής πολιτικής του Mao Tse-tung.Τέτοια ισότητα δεν είναι σε καμία περίπτωση ένα πολιτικό πρόγραμμα. Ακόμη δεν έχει σχέση με το «κοινωνικό». Είναι ένα πολιτικό πρόταγμα, μια πολιτική επιταγή. Η πολιτική ισότητα , δεν είναι αυτό που προσδοκάμε ή σχεδιάζουμε , είναι ότι διακηρύσσουμε μέσω στην θέρμη του «συμβάντος» , εδώ και τώρα, για αυτό που υπάρχει τώρα και όχι για ότι πρέπει να είναι. Με τον ίδιο τρόπο για την φιλοσοφία «δικαιοσύνη» δεν μπορεί να είναι ένα κρατικό πρόγραμμα : «δικαιοσύνη» είναι η πιστοποίηση ενός πολιτικού εξισωτικού προσανατολισμού σε δράση. Infinite Though p 54

Αριθμός και Αριθμοί:Απόσπασμα πρωτο

2011-02-09T01:39:00.000-08:00

Λίγα χρόνια μετά το Being & Event o Badiou εκδίδει το Numer and Numbers.Στο βιβλίο γίνεται ακόμα ένα ριζοσπαστικό βήμα. Μέ βάση τον στοχασμό για την φύση των αριθμών, αποδεικνύεται πως τελικά όλες οι επιστήμες και διαδικασίες που βασίζονται στην τρέχουσα έννοια του αριθμού, είναι ιδεολογικές κατασκευές. Αυτό γίνεται γιατί αυτή η ίδια η συμβατική έννοια του αριθμού είναι "ιδεολογική". Στο Number and Numbers αναπτύσεται με λογική όλη αυτή η μαθηματική διερεύνιση της φύσης των αριθμών, και αποδεικνύεται τελικά πόσο λανθασμένη είναι η αστόχαστη εμπιστοσύνη μας σε αυτούς. Απο το βιβλιο αυτό παρατίθενται μερικά αποσπάσματα.

Τότε λοιπόν μπορούμε να πούμε πως η σύγχρονη «κοινοτοπία» του αριθμού είναι εκτός της σκέψης μας. Η ισχύς του αριθμού ,o κακός οιωνός που αρχικά συζητήσαμε , είναι εμπόδιο για το μαθηματικό στοχασμό του Αριθμού. Επιβάλει την εσφαλμένη ιδέα ενός δεσμού μεταξύ της αριθμολογίας και της αξίας ή της αλήθειας. Αλλά ο Αριθμός είναι μια στιγμή του είναι , η οποία δεν μπορεί να υποστηρίξει την αλήθεια, και δεν μεταφέρει καμία αλήθεια παρά αυτή που είναι δεδομένη στη μαθηματική σκέψη ,και αυτή την στιγμή πραγματώνει την ιστορική παρουσία της σε εμάς.

Εάν η ισχύς του αριθμού – σε σφυγμομετρήσεις ,ψηφοφορίες, εθνικούς λογαριασμού ή ιδιωτικές επιχειρήσεις , στην χρηματική οικονομία σε μια α-υποκειμενική αξιολόγηση των υποκειμένων, δεν μπορεί να εξουσιοδοτηθεί από τον Αριθμό ή από τη σκέψη για τον Αριθμό, αυτό οφείλεται ότι αυτή η ισχύς είναι αποτέλεσμα του νόμου του κατεστημένου , ο οποίος είναι ο νόμος του Κεφαλαίου. Αυτός ο νόμος επιβεβαιώνει, όπως άλλωστε κάθε νόμος, ότι το μέτρημα με βάση το ένα οποιουδήποτε ευρίσκεται , διαμορφώνει την ιστορική μας πραγματικότητα, αλλά δεν μπορεί να αποκτήσει αξιώσεις αλήθειας: ούτε για την αλήθεια του Αριθμού αλλά ούτε για μια αλήθεια που θα υπογράμμιζε αυτό που ο Αριθμός ορίζει ως μορφή του είναι.

Στη σημερινή κατάσταση , αυτή του Κεφαλαίου, η ισχύς του αριθμού είναι η ισχύς της αστόχαστης σκλαβιάς μιας «αριθμολογίας» .Σε αυτήν την «αριθμολογία» ο Αριθμός υπογραμμίζει οτιδήποτε είναι αξία, και απαγορεύει οποιοδήποτε στοχασμό για τον ίδιο τον αριθμό. Ο αριθμός λειτουργεί ως το σκοταδιστικό σημείο όπου η κατάσταση συγκεντρώνει το νόμο της: σκοταδιστικό μέσω της ίδιας της ύπαρξης του και εξαιρούμενο από όλες τις αλήθειες, αλλά και εξαιρούμενο από κάθε διαπραγμάτευση για την αλήθεια.

Το αποτέλεσμα είναι όλη η σκέψη αναγκαστικά αναπτύσσεται σήμερα σε μια υποχώρηση σε σχέση με την ισχύ του αριθμού, συμπεριλαμβάνοντας κάθε σκέψη που κάνουμε για την αλήθεια του Αριθμού. Με αυτήν την έννοια πρέπει να ακούσουμε το σύνθημα του Μαλαρμέ ,ποιο αυθάδες από ποτέ : αυτό της συγκρατημένες δράσης.

Όλος ο στοχασμός για την έννοια του Αριθμού, που αποκαθιστά την ύπαρξη του, εξαναγκάζει την αναστροφή της σύγχρονης εκτίμησης όπως αυτή παρουσιάζεται κάτω από την ταμπέλα του αριθμού. Πρέπει να πούμε ,αντίθετα με την κοινή πεποίθηση ,ότι τίποτα από όσα έχουμε βάλει εντός του αριθμού της αριθμολογίας , έχει αξία. Τελικά οτιδήποτε ιχνηλατεί την αλήθεια , σηματοδοτείται από μια αδιαφορία για την «αριθμολογία». Αυτή η αδιαφορία δεν μετατρέπεται καν σε κριτήριο γιατί πολλά έργα χωρίς αριθμό, δεν έχουν και ίχνη αλήθειας. Αλλά και αυτή η αδιαφορία είναι μια απαραίτητη υποκειμενικότητα.

Η αντίθετη πλευρά της αφθονίας του κεφαλαίου είναι η σπανιότητα της αλήθειας η οποία βεβαιώνεται σε: επιστήμη , αλήθεια, πολιτική , έρωτα.

Ν&Ν σ 213,214

Πέμπτο Μάθημα Badioumathematics:Τι είναι "generic"

2011-01-31T03:12:00.000-08:00

Μια από τις έννοιες κλειδί στα Badioumathematics είναι η έννοια του generic. .Ο όρος δημιουργεί μερικά μεταφραστικά προβλήματα, καθώς από τους προερχόμενους από τις ανθρωπιστικές επιστήμες μεταφράζεται ως «γενολογικός» ενώ από δε τους μαθηματικούς ως «γένιος». Ο ίδιος όρος χρησιμοποιείται από την φαρμακολογία όπου έχει αποδοθεί με τον νεολογισμό «γενόσημο». Στην φαρμακολογία λοιπόν ,αφορά τα φάρμακα που παράγονται με μόνο χαρακτηριστικό την ενεργό ουσία τους, χωρίς αναφορά σε ιδιοκτησιακά δικαιώματα της πατέντας του φαρμάκου.

Σε όλες τις περιπτώσεις το generic είναι ένα επίθετο που προσδιορίζει κάτι και την σχέση του με το «γένος» του , η οποία, όμως , είναι η απλούστερη δυνατή, ίσα ίσα για να διατηρηθεί αυτή η σχέση γένους. Το φάρμακο είναι το πιο απλό παράδειγμα.

Ένα generic φάρμακο έχει μόνο τα χαρακτηριστικά που απαιτούνται για να είναι δραστικό, και αυτό προφανώς είναι η δραστική ουσία του. Αν η ασπιρίνη έχει ως δραστικό χαρακτηριστικό το ακετυλοσαλυκιλικό οξύ, τότε όποιο παυσίπονο έχει μόνο αυτήν την ουσία, χωρίς άλλες αναφορές στην εμπορική ονομασία, το πακέτο, τα πνευματικά δικαιώματα, κλπ της ασπιρίνης τότε αυτό είναι generic .

Είδαμε σε προηγούμενο μάθημα πώς τα μαθηματικά του Cohen και η έννοια του forcing (εκβιασμός , παραβίαση) γίνονται κατανοητά μέσω του παραδείγματος του κλειστού δωματίου και ποια είναι η συμβολή αυτού του μαθηματικού προβληματισμού στην θεωρία του ΑΒ.

Τα ίδια μαθηματικά του στηρίζονται στην έννοια του generic.

Το generic όμως ορίζεται με ένα διαφορετικό και πιο αυστηρό τρόπο από ότι με τα φάρμακα.

Έχοντας δει τα βασικά μαθήματα για τα σύνολα, τότε τα βήματα του Cohen είναι σχετικά απλά και κατανοητά.

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα σύνολο με άπειρα στοιχεία.Ταυτόχρονα έχουμε την δυνατότητα να δημιουργούμε υποσύνολα αυτού του συνόλου με βάση ένα απλό διατυπωμένο κριτήριο .

Αν πάρουμε το αρχικό παράδειγμα ενός άπειρου συνόλου που όμως περιέχει τα γνωστά σε εμάς στοιχεία Κώστας, Ελένη ,Ανδρέας. Τότε ας υποθέσουμε ότι έχουμε το κριτήριο ποια στοιχεία του συνόλου έχουν Ελληνικά Ονόματα. Τότε με βάση το κριτήριο αυτό το υποσύνολο αυτό είναι προσδιορίσιμο.

Το πείραμα είναι απλό.

Προσπαθούμε να δημιουργήσουμε υποσύνολα, με βάση ένα απλό κριτήριο , το οποίο είναι σαφές γλωσσικά και απαντάται με ένα ναι όχι

Στο παράδειγμα μας

Κριτήριο : Τα μέρη του υποσυνόλου έχουν Ελληνικά Ονόματα ναι ή όχι;

Απάντηση: Ναι το υποσύνολο (Κώστας, Ελένη,Αντρέας) έχουν ελληνικά ονόματα.

Αν πάρουμε ένα σύνολο με άπειρα στοιχεία τότε μπορούμε να φανταστούμε ότι αυτά μπορούν να προέρχονται από μια επιλογή μέσω ενός τέτοιου κριτηρίου. Δημιουργούμε άπειρα υποσύνολα με ένα τρόπο επιλογής.

Έρχεται τώρα ο mr.Cohen και αναρωτιέται.

-Υπάρχει περίπτωση να υπάρχουν υποσύνολα για τα οποία δεν μπορεί να έχει προυπάρξει κανένα γλωσσικό κριτήριο προεπιλογής; Με άλλα λόγια

-Υπάρχουν υποσύνολα για τα οποία η γλώσσα δεν μπορεί να διατυπώσει ένα νόμο, ένα τρόπο «συλλογής» των στοιχείων τους;

Τότε βασιζόμενος σε αυστηρά μαθηματικά και σεβόμενος όλους τους κανόνες της λογικής, μας αποκαλύπτει πως ναι τέτοια υποσύνολα υπάρχουν στο μαθηματικό σύμπαν. Αυτά τα υποσύνολα ονομάζονται generic.

Αν δούμε το παράδειγμα των φαρμάκων, τα υποσύνολα αυτά σύμφωνα με το κριτήριο του Cohen ΔΕΝ είναι generic γιατί έχουν την ελάχιστη σχέση με το αρχικό σύνολο τους, αλλά αυτή η σχέση έχει τουλάχιστον ένα γλωσσικό προσδιορισμό.

Στα μαθηματικά λοιπόν τα generics σύνολα υπάρχουν . Σύμφωνα όμως με την οντολογία του ΑΒ ότι υπάρχει στα μαθηματικά υπάρχει και στην πραγματικότητα.

Το συμπέρασμα είναι ότι η γλώσσα δεν είναι δυνατόν να προσδιορίσει κάτι που είναι υπαρκτό, και διέπεται από νόμους αυστηρούς νόμους λογικής. Η αδυναμία της γλώσσας δεν είναι αγνωστικισμός. Τα generic υποσύνολα υπάρχουν , για αυτό είμαστε σίγουροι !, η απόδειξη του Cohen είναι στέρεα , άρα έχουμε μια λογική συνεκτική απόδειξη ότι η γλώσσα δεν μπορεί να ορίσει εκ των προτέρων όλη την πραγματικότητα.

Τα generics σύνολα του Cohen είναι μια άλλη απόδειξη , ότι η Αλήθεια και το Συμβάν του ΑΒ, που προέρχονται αναδύονται από την απτή πραγματικότητα, δεν μπορούν να περιγραφούν εκ των προτέρων με την γλώσσα, αλλά αυτό δεν είναι παραδοξότητα, δεν είναι αδυναμία, δεν είναι αγνωστικισμός. Τα generics σύνολα υπάρχουν άρα γνωρίζουμε με τρόπο απλό λογικό, μαθηματικό, αποδεδειγμένο, τους περιορισμούς της γλώσσας. Ταυτόχρονα μέσω των generics, όπως και με την έννοια του forcing , δηλαδή μέσω μιας μαθηματικής γλώσσας και μέσω αυστηρών ορισμών μπορούμε να προσπελάσουμε κάτι που είναι εκτός μιας απλής μηχανιστικής ανάλυσης, να περιγράψουμε αυστηρά το αναπάντεχο, ριζικά νέο, ιστορικό Συμβάν και την Αλήθεια που αναδύεται μαζί του.

Κριτική για το Concept of Model

2011-01-26T03:05:00.000-08:00

Στο σύνδεσμο που ακολουθεί σύνδεση με κριτική για το πρώιμο (1966) Concept of Model
Περιέχει πολλά χρήσιμα στοιχεία για τα Badioumathematics

Math matters "on alain badious concept of model"

Badiou for idiots! στο Facebook

2011-01-17T03:41:00.000-08:00

Facebook group:Badiou for Idiots

Τα μαθήματα του Public School New York για το Being and Event

2011-01-17T03:31:00.000-08:00

Η σχετική ανακοίνωση με πλήθος παράπλευρες αναφορές εδώ

Τι είναι Generic Democracy

2011-01-17T03:24:00.000-08:00

Εδώ ένα σημείωμα για την έννοια της Generic Democracy

Μια εφαρμογή των Badioumathematics στην Αρχιτεκτονική

2011-01-17T03:18:00.000-08:00

Εδώ ένα σημείωμα για εφαρμογή της έννοιας του generic στην Aρχιτεκτονική

Τα Badioumathematics ως μοντέλα ανάλυσης της Φιλοσοφίας του Δικαίου

2011-01-17T03:04:00.000-08:00

Εδώ μια ερεθιστική απόπειρα μεταφοράς όλων των μαθηματικών μοντέλων και όρων των Badioumathematics στην φιλοσοφία του Δικαίου!!!

A.Badiou:Generic, Set Theory

2011-01-17T02:47:00.000-08:00

Εδώ μια συνέντευξη με διακριτές αναφορές στην έννοια του Generic

Generic Set

2011-01-17T02:40:00.000-08:00

O όρος generic είναι βασικός στα Badioumathematics
Ενα επεξηγηματικό κείμενο εδώ

Απλά μαθήματα Badioumathematics για αρχαρίους και μη μαθηματικούς.Μάθημα τέταρτο :P Cohen ,Forcing,Συμβαν

2011-01-14T08:43:00.000-08:00

Είδαμε στα προηγούμενα μαθήματα κατά σειρά

Απλά στοιχεία της θεωρίας συνόλων
Το πώς βασικές έννοιες της θεωρίας αυτής αξιοποιούνται από τον ΑΒ
Και πως ο ΑΒ διατυπώνει πολιτικές θέσεις με την βοήθεια της γλώσσας των μαθηματικών.

Τώρα μπορούμε κάτι πραγματικά πρωτότυπο, κάτι από ότι γνωρίζω δεν έχει ξαναγίνει ποτέ.

Μέχρι τώρα η φιλοσοφία, διατυπώνει και διερευνά θέσεις, δημιουργεί έννοιες και διατυπώνει προβλήματα. Ο ΑΒ όμως κάνει την εξής σύνθεση.

Διατυπώνει τα φιλοσοφικά του θέματα , τα μετατρέπει σε μαθηματική γλώσσα, και διαπιστώνει ότι αυτά τα ζητήματα έχουν λυθεί ως μαθηματικά προβλήματα. Με δεδομένη την μαθηματική λύση , «επανέρχεται» στην φιλοσοφία και αναδιατυπώνει τα ζητήματα.

Ας το πούμε απλά. Ξέρουμε ότι 1+1 = 2. Αν ένας έχει ένα φιλοσοφικό ζήτημα το οποίο θα μπορούσε να μετασχηματιστεί στην ερώτηση «πόσο κάνουν ένα και ένα;» .Θα μπορούσαμε λοιπόν αφού έχουμε δεδομένη την λύση το μαθηματικό πρόβλημα, να μετασχηματίσουμε το ζήτημα ανάποδα και να διατυπώσουμε την φιλοσοφική απάντηση. Η διαδικασία είναι χοντρικά η εξής

Διατύπωση του ζητήματος, μετασχηματισμός σε μαθηματικό πρόβλημα, λύση μέσω μαθηματικών, αντίστροφος μετασχηματισμός , και αναδιατύπωση του ζητήματος .

Βέβαια δεν είναι τόσο απλό, αλλά η βασική αρχή είναι αυτή.

Ο ιδιοφυής λοιπόν ΑΒ , βρίσκει μια προέκταση της θεωρίας των συνόλων, τις μελέτες του μαθηματικού P.Cohen , και ανακαλύπτει ότι σε αυτή την μαθηματική θεωρία, ουσιαστικά είναι μετασχηματισμένος όλος ο προβληματισμός του για δύο βασικά προβλήματα που τον απασχολούν. Το ζήτημα της Αληθείας και του Συμβάντος.

Ο ΑΒ ισχυρίζεται ότι ο μαθηματικός P.Cohen , εν αγνοία του, έχει λύσει ένα θεμελιακό φιλοσοφικό πρόβλημα στο μαθηματικό επίπεδο, μέσω μιας σειράς μαθηματικών αποδείξεων.

Φαίνεται ίσως πολύ φορμαλιστικό, αλλά δεν είναι. Αυτό γίνεται γιατί τα μαθηματικά του Cohen δεν είναι τα υπολογιστικά μαθηματικά που χρησιμοποιούν στην οικονομία και τις πολιτικές επεκτάσεις της, αλλά τα μαθηματικά του Cohen είναι πολύ ενδιαφέροντα μαθηματικά αφαίρεσης και λογικής.

Ωστόσο τα ζητήματα αυτά δεν είναι και τόσο δυσνόητα αρκεί να παρακολουθήσουμε μερικούς απλούς ορισμούς και συλλογισμούς. Ας δούμε τώρα πως γίνεται αυτή η τοποθέτηση ο μετασχηματισμός και η αναδιατύπωση.

Θα είναι πολύ πιο εύκολο αν προσπαθήσουμε να δούμε τα αρχικά τα μαθηματικά του Cohen με μερικά απλά παραδείγματα.

Ας υποθέσουμε ότι ευρίσκεσαι σε ένα θεόκλειστο δωμάτιο με διάφορα αντικείμενα .Έχεις πληροφορίες μόνο για τα αντικείμενα στο εσωτερικό του δωματίου τα οποία είναι αμέτρητα. Το πρόβλημα τίθεται κατά πόσο μπορείς να καταλάβεις ποια αντικείμενα ευρίσκονται εκτός δωματίου μόνο με την γνώση που έχεις για τα άπειρα αντικείμενα του δωματίου .Και προσπαθείς να καταλάβεις τι αντικείμενο υπάρχει εκτός. Προφανώς δεν μπορώ να το μάθεις ποτέ. Υπάρχει όμως ένα ζήτημα. Με ποιο τρόπο μπορώ να διατυπώσω τις ερωτήσεις μου έτσι ώστε , τουλάχιστον η αναζήτηση μου να έχει την μεγαλύτερη πιθανότητα να απαντηθεί. Τα μαθηματικά του Cohen ουσιαστικά περιορίζουν ,και συστηματοποιούν τις δυνατές ερωτήσεις που τίθενται στο λογικό αυτό πρόβλημα.

Ξαναπάμε στο παράδειγμα. Είμαι στο δωμάτιο άπειρα αμέτρητα αντικείμενα μεταξύ δε μια καρέκλα και ένα τραπέζι και μου ζητάνε να διατυπώσω ερωτήσεις για το ποια αντικείμενα είναι έξω από το δωμάτιο με τον πιο αποτελεσματικό τρόπο.

Ο οποιοδήποτε λογικός άνθρωπος θα άρχιζε να φαντάζεται και να ρωτάει

-Υπάρχει μια καρέκλα;

-Υπάρχει ένα τραπέζι;

Ο κατάλογος αυτός όμως είναι αμέτρητος και θα αρχίζεις να ρωτάς άπειρες φορές αναμένοντας μια απάντηση ναι όχι.

Τι γίνεται όμως με αντικείμενα που δεν γνωρίζω; Πως θα ρωτήσω;

Χμ, δύσκολο.

Μπορεί να κάνω όμως μια πονηρή ερώτηση ως εξής

Υπάρχει έξω ένα αντικείμενο που δεν γνωρίζω , για το οποίο υπάρχει μια ασφαλής μέθοδος να μου απαντήσετε ναι ή όχι;

Η ερώτηση είναι πολύ πονηρή, γιατί δεν ζητάω το αντικείμενο απ’ ευθείας , αλλά μετατρέπω την ερώτηση για ένα αντικείμενο σε ερώτηση για μια συνθήκη ύπαρξης του αντικειμένου.

Για να μη χάσουμε τον λογαριασμό, είπαμε ότι το ζήτημα μας είναι να κριθούμε κατά πόσο κάνουμε ερωτήσεις που θα μας δώσουν την καλύτερη προσέγγιση για κάτι που δεν μπορούμε να ξέρουμε.

Δες τώρα τι κάνει η πονηρή ερώτηση: Μεταθέτει το ζήτημα του άγνωστου αντικειμένου σε μια ερώτηση για μια προϋπόθεση , μια συνθήκη του αντικειμένου, η οποία μπορεί να απαντηθεί και να γίνει κατανοητή με βάση όσα ξέρω από τον εγκλεισμό μου στο δωμάτιο. Με απλά λόγια εκβιάζουμε την απάντηση ,μέσω μιας συνθήκης. Αυτό είναι το περίφημο forcing (εκβιασμός, παραβίαση )που δημιούργησε ο Cohen και υιοθέτησε ο ΑΒ.

Αν κοιτάξουμε προσεκτικά οι ερωτήσεις μέσω εκβιασμού είναι πολύ πιο αποτελεσματικές από τις αρχικές ,και σαφώς κερδίζουν στο μικρό κουίζ.

Εδώ όμως αρχίζει το τρομερό ενδιαφέρον.

Τα μαθηματικά του Cohen με τα άγνωστα αντικείμενα, τις περίεργες διατυπώσεις, και τους εκβιασμούς μας λένε τελικά πως αυτό που είναι τελείως άγνωστο, δεν είναι ασυνάρτητα άγνωστο, δεν είναι τελείως μη προσπελάσιμο. Επίσης μας λένε ότι υπάρχουν αποδεδειγμένα τρόποι που μπορούμε να έρθουμε σε επαφή με αυτό το άγνωστο.

Αυτά τα παιδικά κουιζ που κάναμε, αντιστοιχούν σε εκατοντάδες σελίδες μαθηματικές αποδείξεις , και δεν είναι τόσο απλοϊκά. Αλλά σύμφωνα με τον ΑΒ γεφυρώνουν ένα τεράστιο χάσμα μεταξύ σκέψης και γνώσης.

Ας ξαναθυμηθούμε με ένα απλό κουίζ καταλάβαμε πως το εκάστοτε άγνωστο δεν είναι στατικά άγνωστο αλλά μέσω ενός «εκβιασμού» μπορεί να γίνει λιγότερο άγνωστο. Επίσης όλα αυτά γίνονται αποδεικτέα μέσω των αυστηρών μαθηματικών του Cohen.

O AB ως πολιτικός φιλόσοφος κάνει την εξής αναλογία. Αν με τα μαθηματικά αποδεικνύω ότι τελικά υπάρχει πάντα μια λογική σύνδεση γνωστού αγνώστου, τότε η θεωρία για τα μεγάλα αναπάντεχα κοσμοιστορικά συμβάντα μπορεί να τοποθετηθεί αλλιώς. Κάθε πραγματικά αναπάντεχο, άγνωστο ,απρόβλεπτο , μη κατανοητό Συμβάν έχει μια βαθύτερη σχέση με την πραγματικότητα που το γέννησε ,αλλά προσοχή αυτή η σχέση δεν είναι μηχανική αιτίου αιτιατού.

Ας ξαναγυρίσουμε στο παράδειγμα μας.

Αν οι απλοϊκές πρώτες (υπάρχει τραπέζι , υπάρχει καρέκλα) ερωτήσεις ήταν ικανές να λύσουν το κουίζ , τότε η σχέση του αναπάντεχου Συμβάντος με την πραγματικότητα θα ήταν καθαρή απλή γραμμική. Το Συμβάν θα ήταν στατιστικά , μηχανικά προβλέψιμο.

Όμως είδαμε ότι η λογική σχέση γνωστού αγνώστου θεμελιώνεται μαθηματικά από μια «πονηρή ερώτηση» ένα συλλογισμό που μεταθέτει το ερώτημα υπάρχει δεν υπάρχει , σε ένα ερώτημα «επαληθεύεται ή όχι μια συνθήκη». Έτσι και το αναπάντεχο συμβάν είναι πάντα αναπάντεχο άγνωστο απροσπέλαστο, αλλά διατηρεί αυστηρά λογικές και δομημένες σχέσεις με την προ συμβάντος πραγματικότητα που μπορούν να περιγραφούν με τα μαθηματικά του P.Cohen.

Βλέπουμε λοιπόν πως το Συμβάν στον ΑΒ δεν είναι ένα θαύμα αλλά δεν είναι και ένα φυσικό φαινόμενο. Είναι μυστηριώδες αλλά και λογικά προσπελάσιμο.

Για τον Cohen όμως θα τα ξαναπούμε σε άλλο μάθημα.

Απλά μαθήματα Badioumathematics για αρχαρίους και μη μαθηματικούς.Μάθημα τρίτο,τι αντιπροσωπεύει μια μαθηματική-πολιτική εξίσωση

2011-01-13T02:24:00.000-08:00

Είδαμε λοιπόν ότι η διάκριση «ανήκω» και «εμπεριέχομαι» είναι πολύ μεγάλη αλλά ταυτόχρονα κρυμμένη συνεχώς. Στην γλώσσα της θεωρίας συνόλων το ανήκω και το περιέχομαι αναγράφονται με διαφορετικό σύμβολο .Πρέπει όμως κάθε φορά που έχουμε μια συλλογή να την βλέπουμε και ως στοιχεία που ανήκουν σε αυτή και ως υποσύνολα που περιέχονται.

Στον ΑΒ αυτή η διάκριση γενικεύεται και δημιουργεί ένα από τα θεμέλια της πολιτικής του σκέψης.

Η γενίκευση ίσως γίνεται κατανοητή με ένα απλό παράδειγμα

Έχουμε την συλλογή του προηγούμενου μαθήματος των τροφίμων του Σουπερ Μάρκετ. Τα τρόφιμα κατά την συλλογή τους είναι στοιχεία αλλά κατά την καταμέτρηση τους στο ταμείο είναι υποσύνολα. Τα τρόφιμα είναι τα ίδια ,δεν αλλάζουν εκείνο που αλλάζει είναι ο τρόπος που τα αντιμετωπίζουμε ως συλλογή. είναι μια συλλογή με γνωστά στοιχεία που ευρίσκεται μπροστά μας, άλλη είναι η ίδια συλλογή όταν την επεξεργαζόμαστε. Στην πρώτη περίπτωση βλέπουμε στοιχεία που της ανήκουν, στην δεύτερη επεξεργαζόμαστε υποσύνολα που επεξεργαζόμαστε.

Τότε μπορούμε να πούμε ότι τα τρόφιμα «παρουσιάζονται» ως στοιχεία και «αναπαρίστανται» ως υποσύνολα. Η καταμέτρηση στο ταμείο είναι μια διαχείριση αυτών των στοιχείων που «παρουσιάζονται» ως συλλογή δηλαδή «ανήκουν» σε μια συλλογή.

Σύμφωνα με τον ΑΒ το να «ανήκεις» σχετίζεται με την παρουσία, το να «εμπεριέχεσαι» σχετίζεται με την αναπαράσταση.

Η κλασσική περίπτωση όπου ο ΑΒ χρησιμοποιεί τις έννοιες αυτές είναι η ανάλυση του για το κράτος.

Για να δούμε αυτήν την ανάλυση ,ας επαναλάβουμε

Τα πάντα μπορούν μα ειδωθούν ως συλλογές, και όλες οι συλλογές είναι ταυτόχρονα συλλογές στοιχείων ( τα οποία ανήκουν) και συλλογές υποσυνόλων ( τα οποία περιέχονται).

Σύμφωνα με την γενική πεποίθηση το κράτος αναφέρεται σε άτομα και πολίτες και ρυθμίζει τις σχέσεις τους. Αν όμως σκεφτούμε τους πολίτες ως στοιχεία ενός συνόλου, τότε ξέρουμε από την θεωρία συνόλων ότι ταυτόχρονα αυτοί γίνονται πολλαπλάσια υποσύνολα , δηλαδή γίνονται περιεχόμενα που μπορούμε να διαχειριστούμε. Αν σε ένα κράτος πχ ανήκουν τρεις πολίτες όπως είδαμε και στο παράδειγμα του πρώτου μαθήματος τα υποσύνολα είναι πολλά περισσότερα.

Ο ΑΒ λοιπόν μας λέει ότι το κράτος λειτουργεί, διαχειρίζεται, επεξεργάζεται, αναφέρεται όχι σε στοιχεία αυτού του συνόλου, αλλά στα υποσύνολα. Όπως έχουμε πει και στο πρώτο ότι ο αριθμός των υποσυνόλων είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό των στοιχείων. Πχ σε κράτος με τρεις πολίτες (Κώστας , Ελένη, Ανδρέας) το κράτος διαχειρίζεται τους τρεις ατομικά (Κώστας, Ελένη, Ανδρέας) αλλά και τους συνδυασμούς τους πχ (Κώστας-Ελένη, Ελένη –Ανδρέας, Κώστας –Ανδρέας, τον τριπλό συνδυασμό Κώστας-Ελένη-Ανδρέας κλπ) .Το κράτος λοιπόν είναι «αναπαράσταση» και το κατανοούμε με όρους «περιεχομένου» και δεν είναι «παρουσίαση» την οποία κατανοούμε με όρους του «ανήκω». Επειδή το κράτος διαχειρίζεται υποσύνολα και όχι στοιχεία, τότε αυθαίρετα ομαδοποιεί, ταξινομεί . Αυτό που ο Μαρξ ανακάλυψε ότι το κράτος είναι το κράτος μιας τάξης, γίνεται τώρα κατανοητό (ελπίζω) από μια μαθηματική οπτική. Οι τάξεις του Μαρξ γίνονται κατανοητές ως υποσύνολα. Κράτος σημαίνει διαχείριση υποσυνόλων ,ομάδων , συσπειρώσεων, αλλά και ατόμων νοουμένων ως υποσύνολα. Κράτος δεν σημαίνει μόνο διαχείριση ατόμων ως στοιχείων.

Αν υποθέσουμε ότι αυτή η θεώρηση του ΑΒ είναι ορθή τότε καταλαβαίνουμε ότι μπορούμε να αναλύσουμε όλα τα ζητήματα της πολιτικής και του κράτους ,αφού πρώτα τα αποτυπώσουμε με τα μαθηματικά σύμβολα της θεωρίας των συνόλων.

Για να το κάνουμε το ζήτημα κάπως πιο παραστατικό και ανεκδοτολογικό παραθέτω μια «πολιτική» εξίσωση του ΑΒ σε μαθηματική γλώσσα.

π(π(ε))→1

Στην εξίσωση το Π σημαίνει πολιτική λειτουργία , ε σηματοδοτεί ως ένας ειδικός αριθμός (άπειρος πληθικός) την υπερβάλλουσα ισχύ του κράτους και το 1 την ισότητα. Το νόημα της εξίσωσης είναι ότι η πολιτική για να επιτύχει μια πολιτική ισότητας τότε αυτή πρέπει να γίνει σε δύο στάδια. Κατ’ αρχάς η πολιτική να ασκηθεί σε απόσταση από το κράτος π(ε) και αφού δημιουργηθεί αυτό το χάσμα τότε η πολιτική που περιλαμβάνει αυτό το χάσμα π(π(ε)) θα οδηγήσει στην ισότητα 1

Προφανώς είναι αδύνατο τώρα να εξηγήσουμε σε ανάλυση το ακριβές νόημα των συμβόλων και την αντιστοιχία τους , γιατί περιλαμβάνει μερικές πιο σύνθετες έννοιας της θεωρίας συνόλων, αλλά το παράδειγμα τίθεται για να δείξει το τι τελικά επιτυγχάνεται.

Το πλεονέκτημα αυτής της μεθοδολογίας είναι ότι βασίζεται σε μια πολύ αυστηρή μαθηματική θεωρία η οποία θεμελιώνεται σε αξιώματα ,και μπορεί να αναδείξει κοινωνικά φαινόμενα με ένα μαθηματικό τρόπο ακριβή και σαφή.

Μαθηματικές έννοιες και φυσικές επιστήμες

2011-01-13T02:14:00.000-08:00

Σημειώσεις για την κατανόηση των διατακτικών αριθμών (ordinal numbers)

Oι σημειώσεις εδώ

Αφελής συνολοθεωρία

2011-01-11T21:39:00.000-08:00

Ένα πολύ ενδιαφέρον βιβλίο που εισάγει με σχετική ευκολία σε αρχαρίους με έφεση στα μαθηματικά, τα βασικά στοιχεία της θεωρίας συνόλων είναι το

"Αφελής Συνολοθεωρία " του Paul Halmos
O μαθηματικός Γ.Κολέτσος το έχει μεταφράσει στα Ελληνικά

Τα τεσσερα πρώτα κεφάλαια του βιβλίου εδώ

Στοιχεία για την Ελληνική Μετάφραση εδώ

Απλά μαθήματα Badioumathematics για αρχάριους και μη μαθηματικούς.Μάθημα δεύτερο

2011-01-11T04:55:00.000-08:00

Η θεμελιώδης διάκριση του "ανήκω" και "εμπεριέχομαι"

Είδαμε στο προηγούμενο μάθημα πως είναι δυνατόν να αντιλαμβανόμαστε τον κόσμο ως «συλλογές». Αυτό αφορά τα πάντα , δηλαδή ότι μπορεί να διανοηθούμε και να σκεφτούμε και να έχουμε ως εμπειρία.

Είδαμε και το παράδειγμα της συλλογής με στοιχεία Κώστας Ελένη Ανδρέας

Είδαμε και την μαγική ιδιότητα των συλλογών να έχουν πάντα και παντού τον αριθμό των στοιχείων μικρότερο από τον αριθμό των υποσυνόλων και τέλος σημειώσαμε ότι αυτή η διαφορά έχει μια βαθύτερη σημασία. Γιατί είναι άλλη η σχέση των στοιχείων με το σύνολο και άλλη η σχέση των υποσυνόλων με το σύνολο.

Τα στοιχεία «ανήκουν» σε σύνολα τα υποσύνολα «εμπεριέχονται»

Αυτήν την διαφορά του «να ανήκεις» και «να εμπεριέχεσαι» πρέπει να δούμε καλύτερα, γιατί η κατανόηση της, μας οδηγεί σύμφωνα με τα BMCS σε μερικά ενδιαφέροντα πολιτικά αποτελέσματα. Αλλά ταυτόχρονα είναι μια θεμελιώδης διαφορά στην θεωρία των συνόλων.

Βέβαια στην γλώσσα της καθημερινότητας φαίνεται το να «ανήκω» κάπου και να «περιέχομαι» κάπου να είναι σχεδόν ταυτόσημα. Προσοχή όμως στα BMCS έχουν θεμελιακή διαφορά, τόση όση η διαφορά πρόσθεσης αφαίρεσης , ή πολλαπλασιασμού διαίρεσης. Φαίνεται τόσο παράξενο αλλά νομίζω ότι θα το ξεκαθαρίσουμε με ένα απλό παράδειγμα.

Σήμερα το πρωί λοιπόν πάς στο σούπερ μάρκετ

Παίρνεις ένα καλάθι και το γεμίζεις με τρόφιμα. Κάθε φορά που βάζεις ένα τρόφιμο στο καλάθι το μετράς από μέσα σου, το θυμάσαι . Στο τέλος της διαδρομής έχει μια συλλογή από τρόφιμα. Το κάθε τρόφιμο ανήκει στην συλλογή αυτή.

Όταν πας στο ταμείο τότε ο ταμίας παίρνει ένα ένα τρόφιμο ,ή δυο δύο, ανακατεμένα ανεξάρτητα από την σειρά που εσύ τα αγόρασες, και τα σκανάρει για να βγάλει τον λογαριασμό.

Τα τρόφιμα που είναι στοιχεία της συλλογής σου, που «ανήκουν» στην συλλογή για τον ταμία είναι κάτι παραπάνω. Ο ταμίας διαχειρίζεται την ίδια συλλογή , την καταγράφει, την κωδικοποιεί με ένα άλλο τρόπο από ότι εσύ. Για τον ταμία , για την συγκεκριμένη δουλειά τα τρόφιμα είναι «περιεχόμενα» της συλλογής.

Δηλαδή «περιεχόμενο» γίνεται ένα στοιχείο μιας συλλογής όταν το διαχειριζόμαστε ως μονάδα, αφού βέβαια από πριν, το έχουμε καταστήσει μέλος της συλλογής.

Όταν κάτι ανήκει σε μια συλλογή έχει ήδη μετρηθεί, αλλά όταν κάτι είναι περιεχόμενο μιας συλλογής γίνεται αντικείμενο μιας επιμέτρησης, μιας διαχείρισης της αρχικής μέτρησης.

Το περίεργο είναι ότι στα μάτια του ταμία, κατά την διάρκεια του σκαναρίσματος , δημιουργείται μια συλλογή με στοιχεία που «ανήκουν», δηλαδή γίνεται «η συλλογή των τροφίμων του πελάτη τάδε που σκανάρω τώρα» .Αυτό σημαίνει ότι κάθε συλλογή ανά πάσα στιγμή αποτελείται από στοιχεία και υποσύνολα, αλλά αυτό εξαρτάται από την διαδικασία που έχουμε.

Για να είναι κάπως καθαρό ας υποθέσουμε ότι να «ανήκεις» προηγείται του να είσαι «περιεχόμενο» χρονικά.

Στην καθημερινότητα όμως κυρίως διαχειριζόμαστε, επιμετρούμε, πράγματα ως περιεχόμενα συλλογών και μόνο θεωρητικά σκεφτόμαστε για την έννοια του «ανήκω» που προηγείται. Ε οι αυστηροί μαθηματικοί της θεωρίας των συνόλων έχουν αποδεχθεί ένα αξίωμα, δηλαδή μια αναπόδεικτη αλήθεια που μας χρειάζεται για να φτιάξουμε το μαθηματικό οικοδόμημα, και το αξίωμα αυτό μας λέει. Ότι ευρίσκεται στην εμπειρία σου ως περιεχόμενο μιας συλλογής , αναγκαστικά «ανήκει» στην συλλογή.

Ας το δούμε με ένα άλλο παράδειγμα

Κοιτάς στο παράθυρο και βλέπεις όσα αυτοκίνητα περνάνε από μπροστά σου για πέντε λεπτά. Τότε σχηματίζεις την συλλογή «τα αυτοκίνητα που βλέπω στο διάστημα 9:55-10::00 πμ» Τα αυτοκίνητα αυτά «ανήκουν» στην συλλογή σου

Δεν ξέρεις όμως ότι στην γωνία του σπιτιού σου υπάρχει η τροχαία που ελέγχει αυτοκίνητα ακριβώς την ίδια ώρα 9:55-10:00 .

Τα ίδια αυτοκίνητα που μέτραγες υφίστανται έλεγχο από την τροχαία.

Η τροχαία ελέγχοντας τα ίδια αυτοκίνητα κάνει και αυτή μια συλλογή αυτοκινήτων δηλαδή την συλλογή «αυτοκίνητα που ελέγχω μεταξύ 09:55-10:00» . Για την τροχαία τα αυτοκίνητα «ανήκουν» στην συλλογή της, αλλά τα ίδια αυτοκίνητα πλέον είναι και «περιεχόμενα» της συλλογής σου τα οποία διαχειρίζεται και ελέγχει η τροχαία.

Με ένα μαγικό τρόπο τα ίδια αυτοκίνητα «ανήκουν» σε δύο διαφορετικές ίσες συλλογές,(την δική σου και της αστυνομίας) αλλά αν σκεφτούμε την αλληλουχία, η τροχαία ελέγχει «τα περιεχόμενα» της συλλογής σου, και αν υποθέσουμε ότι κόβει κλήσεις σε όλους τότε διαχειρίζεται και τα «περιεχόμενα» της δικής της συλλογής.

Η κατάταξη του να «ανήκεις» και να είσαι «περιεχόμενο» αλλάζει διαρκώς για τα ίδια πράγματα, αλλά το να είσαι «περιεχόμενο» προϋποθέτει ότι «ανήκεις» και όταν κάποιος διαχειρίζεται επιμετρά στοιχεία συλλογών τότε μιλάμε για «περιεχόμενο»

Αν αυτό είναι καθαρό τότε μπορούμε να μιλήσουμε για μια ευρεσιτεχνία του ΑΒ. Ο τύπος αρχίζει να σκέφτεται για την κοινωνία και την πολιτική όχι όπως ένας τυπικός φιλόσοφος, αλλά χρησιμοποιώντας το περίεργο αλλά τελικά σαφές (ελπίζω…) κριτήριο του «να ανήκω» ή του «να είμαι περιεχόμενο»

Αλλά αυτά στο επόμενο μάθημα BMCS.

Το πρώτο από 37 + 3 απλά μαθήματα Badioumathematics για αρχαρίους και μη μαθηματικούς

2011-01-10T03:04:00.000-08:00

Αφού δημιουργήσαμε μια μικρή βιβλιοθήκη αναφορών για τα Βadioumathematics (BMCS), τώρα θα κάνουμε το επόμενο βήμα.

Θα μετατρέψουμε όλη αυτήν την πολύπλοκη και συμβολική γνώση σε απλές γνώσεις κατανοητές ακόμη και για κάποιον που δεν έχει σχέση με μαθηματικά. Η ελπίδα είναι να καταδειχθούν αφ’ ενός η ιδιοφυής σύνθεση φιλοσοφίας πολιτικής και μαθηματικών , αλλά και να αξιοποιηθούν αυτές οι μεθοδολογίες ευρύτερα.

Αναγκαστικά οι σημειώσεις θα είναι διδακτικές , ας πούμε απλοϊκές, σαν να απευθύνεται σε κάποιον με βασικές γνώσεις αριθμητικής. Οι σπασίκλες μαθηματικών και φιλοσοφίας ας μας αδειάσουν την γωνιά γιατί σήμερα «θα παίξουμε με τα κουβαδάκια μας»

Α.- Η θεωρία των συνόλων και η αξία τους στα BMCS

Ας υποθέσουμε ότι ένα πρωί ξυπνάς και αποκτάς ξαφνικά το χόμπι του συλλέκτη. Αλλά το παρακάνεις. Βλέπεις τα πάντα ως συλλογές. Αν ένας συλλέκτης πινάκων τέχνης συλλέγει ας πούμε μόνο πίνακες ζωγραφικής, εσύ βλέπεις τα πάντα ως συλλογές

Πας στην κουζίνα και βλέπεις την συλλογή των αντικειμένων του νεροχύτη ως «συλλογή». Παράδειγμα το σύνολο των άπλυτων πιάτων είναι μια συλλογή. Το σύνολο των πλυμένων πιάτων μια άλλη συλλογή. Βλέπεις από το παράθυρο τα παρκαρισμένα αυτοκίνητα στον δρόμο και αυτά αποτελούν μια συλλογή. Αλλά και τα αυτοκίνητα που περνούν τον δρόμο την ώρα που τα χαζεύεις είναι μια άλλη συλλογή. Τέλος βλέπεις τον υπολογιστή και τον αντιλαμβάνεσαι ως συλλογή εξαρτημάτων και όχι ως μηχάνημα. Βλέπεις ακόμα τον γείτονα σου και τον αντιλαμβάνεσαι ως συλλογή κυττάρων και όχι σαν άνθρωπο. Ακόμα φαντάζεσαι μια σειρά από βιβλία που δεν έχεις γράψει και παρότι δεν υπάρχουν παρά μόνο φευγαλέα στο μυαλό σου , εσύ τα καταλαβαίνεις ως συλλογή. Ο κατάλογος είναι δαιμονικά άπειρος γιατί έχεις προσβληθεί από αυτήν την περίεργη ασθένεια να τα βλέπεις όλα ως συλλέκτης.

Ο ιδρυτής της θεωρίας των συνόλων , ο Cantor,μας απενοχοποιεί πλήρως. Ότι περνάει από το μυαλό μας και μπορεί να κατανοηθεί ως συλλογή διακεκριμένων στοιχείων αποτελεί ένα σύνολο .Αρκεί να μιλάμε για διακεκριμένα πράγματα, αντικείμενα, ανεξάρτητα πως που πότε και αν υπάρχουν, ανεξάρτητα και αν η καθημερινή συμβατική γνώση δεν τα αντιλαμβάνεται ως συλλογές.

Παράδειγμα: Οι πρωταγωνιστές όλων των ταινιών επιστημονικής φαντασίας, που έχουν κινηματογραφηθεί το 1067 πχ στην έρημο Σαχάρα από την ιστορική φυλή των Βίκινγκ αποτελεί μια συλλογή, ένα σύνολο. Προφανώς το 1067 πχ δεν μπορεί να έχουν κινηματογραφηθεί , είναι πρακτικά αδύνατο, αλλά αυτό δεν έχει καμία σημασία. Αν εγώ γράψω ή φανταστώ μια τέτοια πραγματικότητα, και παρατάξω διακριτά στοιχεία (δηλαδή ονόματα πρωταγωνιστές όλων των ταινιών επιστημονικής φαντασίας, που έχουν κινηματογραφηθεί το 1067 πχ στην έρημο Σαχάρα από την ιστορική φυλή των Βίκινγκ) τότε έχω ένα σύνολο.

Δηλαδή μπορώ να αφήσω την φαντασία μου να οργιάσει και να βλέπω τα «Πάντα Όλα» ως σύνολα.

Το ενδιαφέρον είναι ότι ο μεν Cantor δημιούργησε μια ολόκληρη μαθηματική επιστήμη που έχει ως βάση όχι τους αριθμούς αλλά τα σύνολα, και ο ΑΒ χρησιμοποιεί αυτήν την επιστήμη για να στοχαστεί για την ζωή, την πολιτική και την κοινωνία.

Β.-Οι περίεργες ιδιότητες των συνόλων

Αφού προσβληθήκαμε από την περίεργη ασθένεια του «συλλέκτη» τότε καταλαβαίνουμε ότι αν σκεφτούμε τα «πάντα όλα» ως σύνολα, τότε τα σύνολα μόνα τους και σχετιζόμενα μεταξύ τους έχουν κάτι σχεδόν μαγικές ιδιότητες.

Ας πούμε πάω στην παιδική χαρά και βλέπω να παίζουν 10 παιδάκια. Επειδή εγώ είμαι άρρωστος επειδή έτσι μου αρέσει φτιάχνω αυθαίρετα το ένα σύνολο από τρία παιδάκια, ας πούμε του Κώστα, της Ελένης, και του Ανδρέα

Τότε το σύνολο μου αποτελείται από τρία στοιχεία : τον Κώστα , την Ελένη, τον Ανδρέα

Καθώς όμως λειτουργώ αυθαίρετα και σύμφωνα με την αρχή που περιέγραψα παραπάνω γουστάρω να σκεφτώ και τις εξής συλλογές

Την συλλογή Κώστα Ελένη,

Την συλλογή Ελένη Ανδρέα

Την συλλογή Ανδρέα Κώστα

Την συλλογή Κώστας ( με ένα μόνο στοιχείο)

Την συλλογή Ελένη ( με ένα μόνο στοιχείο)

Την συλλογή Ανδρέας ( με ένα μόνο στοιχείο)

Και τέλος επειδή ο Cantor με έχει απενοχοποιήσει και σκέφτομαι μια συλλογή με κανένα στοιχείο .Βέβαια αυτό το σύνολο με κανένα στοιχείο έχει μια μικρή ιστορία, αλλά για την ώρα ας το θεωρήσουμε προϊόν της «ασθένειας του συλλέκτη»

Τότε παρατηρώ ότι ενώ το αρχικό σύνολο έχει τρία στοιχεία, βλέποντας την πραγματικότητα ως σύνολα, τότε το αρχικό σύνολο περιλαμβάνει πολύ περισσότερα υποσύνολα .

Κάτι περίεργο συμβαίνει!! Ο κόσμος ,όταν τον βλέπεις ως σύνολα, έχει μια θεμελιώδη διαφορά που καθορίζεται πως βλέπεις τα στοιχεία του. Τα στοιχεία όταν τα αντιλαμβάνεσαι ως στοιχεία του συνόλου , είναι αριθμητικά μικρότερα από τα υποσύνολα που δικαιωματικά και αυθαίρετα μπορείς να δεις.

Αυτό το περίεργο φαινόμενο ο ΑΒ μας καλεί να το εμβαθύνουμε και να το καταλάβουμε. Μας λέει ότι ενώ οι αριθμοί μας δείχνουν μια διαφορά (ο αριθμός των στοιχείων είναι μικρότερος από τον αριθμό των υποσυνόλων) αυτό είναι μια επιφανειακή γνώση, γιατί αυτό που τελικά συμβαίνει δεν είναι μια απλή διαφορά αρίθμησης αλλά μια διαφορά σχέσης.

Τα στοιχεία ανήκουν στα σύνολα, αλλά τα υποσύνολα δεν ανήκουν αλλά περιέχονται στα σύνολά.

Όσο και να φαίνεται περίεργο , αυτή η διαφορά του «ανήκω» και του «περιέχομαι» αν κατανοηθεί αποτελεί μια θεμελιακή βάση στην πολιτειολογία του ΑΒ, και δείχνει μια πολύ ευρηματική πολιτική ανάλυση.

Για την διαφορά όμως «ανήκω» και «περιέχομαι» θα τα πούμε την άλλη φορά.

Peter Hallward : Badiou a subject of Thruth.Τα κεφαλαια 13,14 και Appendix

2011-01-07T22:34:00.000-08:00

Στο θεμελιακό βιβλίο του Peter Hallward "Badiou a subjetc to Truth" υπάρχει η πιο εκτεταμένη παρουσίαση των μαθηματικών του ΑΒ.
Το Google Books επιλέγει να δημοσιοποιεί τα λιγότερο "ελκυστικά" αποσπάσματα, και αυτή η τακτική προσέφερα κατι ενδιαφέρον
Από όλο το βιβλίο επέλεξαν να δημιοσιεύσουν αυτούσια τα κεφάλια 13 14 και Appendix που είναι η "ουσία" των Badioumathematics
Η θεωρία συνόλων, η θεωρία κατηγοριών, η αξία των generics του Cohen, παρουσιάζονται απλά και κατανοητά.

Ολο το απόσπασμα εδώ

Graham Hutton:Introduction to Category Theory

2011-01-05T23:20:00.000-08:00

http://www.cs.nott.ac.uk/~gmh/cat.html

Πολυ ενδιαφερον και εκλαικευτικό

Set Theory from Stanford Encyclopedia of Philosophy

2011-01-05T14:23:00.000-08:00

Η συνδεση εδω το κείμενο ακολουθει

Set Theory

First published Thu Jul 11, 2002

Set Theory is the mathematical science of the infinite. It studies properties of sets, abstract objects that pervade the whole of modern mathematics. The language of set theory, in its simplicity, is sufficiently universal to formalize all mathematical concepts and thus set theory, along with Predicate Calculus, constitutes the true Foundations of Mathematics. As a mathematical theory, Set Theory possesses a rich internal structure, and its methods serve as a powerful tool for applications in many other fields of Mathematics. Set Theory, with its emphasis on consistency and independence proofs, provides a gauge for measuring the consistency strength of various mathematical statements. There are four main directions of current research in set theory, all intertwined and all aiming at the ultimate goal of the theory: to describe the structure of the mathematical universe. They are: inner models, independence proofs, large cardinals, and descriptive set theory. See the relevant sections in what follows.

1. The Essence of Set Theory

The objects of study of Set Theory are sets. As sets are fundamental objects that can be used to define all other concepts in mathematics, they are not defined in terms of more fundamental concepts. Rather, sets are introduced either informally, and are understood as something self-evident, or, as is now standard in modern mathematics, axiomatically, and their properties are postulated by the appropriate formal axioms.
The language of set theory is based on a single fundamental relation, called membership. We say that A is a member of B (in symbols A ∈ B), or that the set B contains A as its element. The understanding is that a set is determined by its elements; in other words, two sets are deemed equal if they have exactly the same elements. In practice, one considers sets of numbers, sets of points, sets of functions, sets of some other sets and so on. In theory, it is not necessary to distinguish between objects that are members and objects that contain members -- the only objects one needs for the theory are sets. See the supplement

Basic Set Theory

for further discussion.
Using the membership relation one can derive other concepts usually associated with sets, such as unions and intersections of sets. For example, a set C is the union of two sets A and B if its members are exactly those objects that are either members of A or members of B. The set C is uniquely determined, because we have specified what its elements are. There are more complicated operations on sets that can be defined in the language of set theory (i.e. using only the relation ∈), and we shall not concern ourselves with those. Let us mention another operation: the (unordered) pair {A,B} has as its elements exactly the sets Aand B. (If it happens that A=B, then the “pair” has exactly one member, and is called a singleton {A}.) By combining the operations of union and pairing, one can produce from any finite list of sets the set that contains these sets as members: {A,B,C,D,...,K,L,M}. We also mention the empty set, the set that has no elements. (The empty set is uniquely determined by this property, as it is the only set that has no elements - this is a consequence of the understanding that sets are determined by their elements.)
When dealing with sets informally, such operations on sets are self-evident; with the axiomatic approach, it is postulated that such operations can be applied: for instance, one postulates that for any sets A and B, the set {A,B} exists. In order to endow set theory with sufficient expressive power one needs to postulate more general construction principles than those alluded to above. The guiding principle is that any objects that can be singled out by means of the language can be collected into a set. For instance, it is desirable to have the “set of all integers that are divisible by number 3,” the “set of all straight lines in the Euclidean plane that are parallel to a given line”, the “set of all continuous real functions of two real variables” etc. Thus one is tempted to postulate that given any property P, there exists a set whose members are exactly all the sets that have property P. As we shall see below, such an assumption is logically inconsistent, and the accepted construction principles are somewhat weaker than such a postulate.
One of the basic principles of set theory is the existence of an infinite set. The concept can be formulated precisely in the language of set theory, using only the membership relation, and the definition captures the accepted meaning of “infinite”. See the supplement on

Basic Set Theory

for further discussion. Using the basic construction principles, and assuming the existence of infinite sets, one can define numbers, including integers, real numbers and complex numbers, as well as functions, functionals, geometric and topological concepts, and all objects studied in mathematics. In this sense, set theory serves as Foundations of Mathematics. The significance of this is that all questions of provability (or unprovability) of mathematical statements can be in principle reduced to formal questions of formal derivability from the generally accepted axioms of Set Theory.
While the fact that all of mathematics can be reduced to a formal system of set theory is significant, it would hardly be a justification for the study of set theory. It is the internal structure of the theory that makes it worthwhile, and it turns out that this internal structure is enormously complex and interesting. Moreover, the study of this structure leads to significant questions about the nature of the mathematical universe.
The fundamental concept in the theory of infinite sets is the cardinality of a set. Two sets A and B have the same cardinality if there exists a mapping from the set A onto the set B which is one-to-one, that is, it assigns each element of A exactly one element of B. It is clear that when two sets are finite, then they have the same cardinality if and only if they have the same number of elements. One can extend the concept of the “number of elements” to arbitrary, even infinite, sets. It is not apparent at first that there might be infinite sets of different cardinalities, but once this becomes clear, it follows quickly that the structure so described is rich indeed.

2. Origins of Set Theory

The birth of Set Theory dates to 1873 when Georg Cantor proved the uncountability of the real line. (One could even argue that the exact birthdate is December 7, 1873, the date of Cantor's letter to Dedekind informing him of his discovery.) Until then, no one envisioned the possibility that infinities come in different sizes, and moreover, mathematicians had no use for “actual infinity.” The arguments using infinity, including the Differential Calculus of Newton and Leibniz, do not require the use of infinite sets, and infinity appears only as “a manner of speaking”, to paraphrase Friedrich Gauss. The fact that the set of all positive integers has a proper subset, like the set of squares {1, 4, 9, 16, 25,...} of the same cardinality (using modern terminology) was considered somewhat paradoxical (this had been discussed at length by Galileo among others). Such apparent paradoxes prevented Bernhard Bolzano in 1840s from developing set theory, even though some of his ideas are precursors of Cantor's work. (It should be mentioned that Bolzano, an accomplished mathematician himself, coined the word Menge (= set) that Cantor used for objects of his theory.)
Motivation for Cantor's discovery of Set Theory came from his work on Fourier series (which led him to introduce ordinal numbers) and on trancendental numbers. Real numbers that are solutions of polynomial equations with integer coefficients are called algebraic, and the search was on for numbers that are not algebraic. A handful of these, called transcendental numbers, was discovered around that time, and a question arose how rare such numbers are. What Cantor did was to settle this question in an unexpected way, showing in one fell swoop that transcendental numbers are plentiful indeed. His famous proof went as follows: Let us call an infinite set A countable, if its elements can be enumerated; in other words, arranged in a sequence indexed by positive integers: a(1), a(2), a(3), … , a(n), … . Cantor observed that many infinite sets of numbers are countable: the set of all integers, the set of all rational numbers, and also the set of all algebraic numbers. Then he gave his ingeneous diagonal argument that proves, by contradiction, that the set of all real numbers is not countable. A consequence of this is that there exists a multitude of transcendental numbers, even though the proof, by contradiction, does not produce a single specific example. See the supplement on

Basic Set Theory

for further discussion.
Cantor's discovery of uncountable sets led him to the subsequent development of ordinal and cardinal numbers, with their underlying order and arithmetic, as well as to a plethora of fundamental questions that begged to be answered (such as the Continuum Hypothesis). After Cantor, mathematics has never been the same.

3. The Continuum Hypothesis

As the Continuum Hypothesis has been the most famous problem in Set Theory, let me explain what it says. The smallest infinite cardinal is the cardinality of a countable set. The set of all integers is countable, and so is the set of all rational numbers. On the other hand, the set of all real numbers is uncountable, and its cardinal is greater than the least infinite cardinal. A natural question arises: is this cardinal (the continuum) the very next cardinal. In other words, is it the case that there are no cardinals between the countable and the continuum? As Cantor was unable to find any set of real numbers whose cardinal lies strictly between the countable and the continuum, he conjectured that the continuum is the next cardinal: the Continuum Hypothesis. Cantor himself spent most of the rest of his life trying to prove the Continuum Hypothesis and many other mathematicians have tried too. One of these was David Hilbert, the leading mathematician of the last decades of the 19th century. At the World Congress of Mathematicians in Paris in 1900 Hilbert presented a list of major unsolved problems of the time, and the Continuum Hypothesis was the very first problem on Hilbert's list.
Despite the effort of a number of mathematicians, the problem remained unsolved until 1963, and it can be argued that in some sense the problem is still unsolved. See Section 7 on Independence Proofs.

4. Axiomatic Set Theory

In the years following Cantor's discoveries, development of Set Theory proceeded with no particular concern about how exactly sets should be defined. Cantor's informal “definition” was sufficient for proofs in the new theory, and the understanding was that the theory can be formalized by rephrasing the informal definition as a system of axioms. In the early 1900s it became clear that one has to state precisely what basic assumptions are made in Set Theory; in other words, the need has arisen to axiomatize Set Theory. This was done by Ernst Zermelo, and the immediate reasons for his axioms were twofold. The first one was the discovery of a paradox in Set Theory. This paradox is referred to as Russell's Paradox. Consider the “set” S of all sets that are not an element of itself. If one accepts the principle that all such sets can be collected into a set, then S should be a set. It is easy to see however that this leads to a contradiction (is the set S an element of itself?)
Russell's Paradox can be avoided by a careful choice of construction principles, so that one has the expressive power needed for usual mathematical arguments while preventing the existence of paradoxical sets. See the supplement on

Zermelo-Fraenkel Set Theory

for further discussion. The price one has to pay for avoiding inconsistency is that some “sets” do not exist. For instance, there exists no “universal” set (the set of all sets), no set of all cardinal numbers, etc.
The other reason for axioms was more subtle. In the course of development of Cantor's theory of cardinal and ordinal numbers a question was raised whether every set can be provided with a certain structure, called well-ordering of the set. Zermelo proved that indeed every set can be well-ordered, but only after he introduced a new axiom that did not seem to follow from the other, more self-evident, principles. His Axiom of Choice has become a standard tool of modern mathematics, but not without numerous objections of some mathematicians and discussions in both mathematical and philosophical literature. The history of the Axiom of Choice bears strong resemblance to that of the other notorious axiom, Euclid's Fifth Postulate.

5. The Axiom of Choice

The Axiom of Choice states that for every set of mutually disjoint nonempty sets there exists a set that has exactly one member common with each of these sets. For instance, let S be a set whose members are mutually disjoint finite sets of real numbers. We can choose in each X ∈ S the smallest number, and thus form a set that has exactly one member in common with each X ∈ S. What is not self-evident is whether we can make a choice every time, simultaneously for infinitely many sets X, regardless what these abstract sets are. The Axiom of Choice, which postulates the existence of a certain set (the choice set) without giving specific instructions how to construct such a set, is of different nature than the other axioms, which all formulate certain construction principles for sets. It was this nonconstructive nature of the Axiom of Choice that fed the controversy for years to come.
An interesting application of the Axiom of Choice is the Banach-Tarski Paradox that states that the unit ball can be partitioned into a finite number of disjoint sets which then can be rearranged to form two unit balls. This is of course a paradox only when we insist on visualizing abstract sets as something that exists in the physical world. The sets used in the Banach-Tarski Paradox are not physical objects, even though they do exist in the sense that their existence is proved from the axioms of mathematics (including the Axiom of Choice).
The legitimate question is whether the Axiom of Choice is consistent, that is whether it cannot be refuted from the other axioms. (Notice the similarity with the non Euclidean geometry.) This question was answered by Gödel, and eventually the role of the Axiom of Choice has been completely clarified. See Section 7 on Independence Proofs.

6. Inner Models

In the 1930s, Gödel stunned the mathematical world by discovering that mathematics is incomplete. His Incompleteness Theorem states that every axiomatic system that purports to describe mathematics as we know it must be incomplete, in the sense that one can find a true statement expressible in the system that cannot be formally proved from the axioms. In view of this result one must consider the possibility that a mathematical conjecture that resists a proof might be an example of such an unprovable statement, and Gödel immediately embarked on the project of showing that the Continuum Hypothesis might be undecidable in the axiomatic set theory.
Several years after proving the Incompleteness Theorem, Gödel proved another groundbreaking result: he showed that both the Axiom of Choice and the Continuum Hypothesis are consistent with the axioms of set theory, that is that neither can be refuted by using those axioms. This he achieved by discovering a model of set theory in which both the Axiom of Choice and the Continuum Hypothesis are true.
Gödel's model L of “constructible sets” has since served as a blueprint for building so-called inner models. These models form a hierarchy, corresponding to the hierarchy of large cardinals (see Section 8), and provide a glimpse into the as yet hidden structure of the mathematical universe. The advances in Inner Model Theory that have been made in the recent past owe much to the work of Ronald Jensen who introduced the study of the fine structure of constructible sets.

7. Independence Proofs

In 1963, Paul Cohen proved independence of the Axiom of Choice and of the Continuum Hypothesis. This he did by applying the method of forcing that he invented and constructing first a model of set theory (with the axiom of choice) in which the Continuum Hypothesis fails, and then a model of set theory in which the Axiom of Choice fails. Together with Gödel's models, these models show that the Axiom of Choice can neither be proved nor refuted from the other axioms, and that the Continuum Hypothesis can neither be proved nor refuted from the axioms of set theory (including the Axiom of Choice).
Cohen's method proved extremely fruitful and led first to the solution of a number of outstanding problems (Suslin's Problem, the Lebesgue measurability Problem, Borel's Conjecture, Kaplansky's Conjecture, Whitehead's Problem and so on) and soon has become one of the cornerstones of modern set theory. The technique of forcing has to date been applied by hundreds of authors of numerous articles and has enormously advanced our knowledge of Foundations of Mathematics. Along with the theory of large cardinals it is used to gauge the consistency strength of mathematical statements.

8. Large Cardinals

In 1930, while working on the Measure Problem, Stanislaw Ulam discovered an important phenomenon: Assuming that a certain mathematical statement about “small sets” (such as sets of real numbers) is true, one can prove the existence of sets of enormous size (inaccessible). This phenomenon has become more apparent after Dana Scott's celebrated result (1961) that measurable cardinals do not exist in L. Suddenly, large cardinals such as inaccessible, measurable, supercompact etc. have become the main focus of attention of set theorists. What emerged is a hierarchy of properties of infinite sets, the Large Cardinal Theory, that appears to be the basis for the structure of the set theoretical universe. Large cardinal axioms (also referred to as axioms of strong infinity) form a hierarchy whereby a stronger axiom not only implies a weaker axiom but also proves its consistency. To date there are scores of examples of mathematical statements whose consistency strength can be precisely calculated in terms of the hierarchy of large cardinals. (For instance, a negative solution of the Singular Cardinal Problem corresponds to a large cardinal axiom between measurabily and supercompactness.)
Since the pioneering work of Ronald Jensen, Large Cardinal Theory has been closely tied with Inner Model Theory. It turns out that for each large cardinal axiom at lower levels of the hierarchy one can find an appropriate inner model. These inner models shed additional light on the structure of the universe by employing methods of Descriptive Set Theory.

9. Descriptive Set Theory

Descriptive Set Theory traces its origins to the theory of integration by Henri Lebesgue at the beginning of 20th century. Investigations into Borel sets of real numbers led to the theory of projective sets, and more generally, the theory of definable sets of real numbers. Following Gödel's work, it became apparent that many natural questions in Descriptive Set Theory are undecidable in axiomatic set theory. This was further confirmed by a proliferation of independence results following Cohen's invention of the forcing method.
Modern Descriptive Set Theory revolves mostly around the powerful method using infinite games. The branch of Descriptive Set Theory known as Determinateness, developed by D. A. Martin, Robert Solovay and others, brought together methods of, among others, Recursion Theory and Large Cardinal Theory and has been very successful in describing the structure of definable sets. More importantly, Descriptive Set Theory provides strong evidence for the large cardinal axioms.

Bibliography

Cantor, G., 1932, Gesammelte Abhandlungen, Berlin: Springer-Verlag.
Ulam, S., 1930, ‘Zur Masstheorie in der allgemeinen Mengenlehre’, Fund. Math., 16, 140-150.
Gödel, K., 1940, ‘The consistency of the axiom of choice and the generalized continuum hypothesis’, Ann. Math. Studies, 3.
Scott, D., 1961, ‘Measurable cardinals and constructible sets’, Bull. Acad. Pol. Sci., 9, 521-524.
Cohen, P., 1966, Set theory and the continuum hypothesis, New York: Benjamin.
Jensen, R., 1972, ‘The fine structure of the constructible hierarchy’, Ann. Math. Logic, 4, 229-308.
Martin, D. and Steel, J., 1989, ‘A proof of projective determinacy’, J. Amer. Math. Soc., 2, 71-125.
Hrbacek, K. and Jech, T., 1999, Introduction to Set Theory, New York: Marcel Dekker, Inc.

Other Internet Resources

Set Theory, maintained by Jean Larson (Mathematics, University of Florida)
Articles by J.J. O'Connor and E.F. Robertson, in The MacTutor History of Mathematics archive, (Mathematics, University of St. Andrews):
A Homepage for the Axiom of Choice, maintained by Eric Schechter (Mathematics, Vanderbilt University)
Gödel's Incompleteness Theorem, maintained by Dale Myers (Mathematics, University of Hawaii)

[Please contact the author with suggestions.]

Τα σύμβολα της θεωρίας συνόλων

2011-01-05T14:19:00.000-08:00

Set Theory Symbols

List of set symbols of set theory and probability.

Table of set theory symbols

Symbol	Symbol Name	Meaning / definition	Example
{ }	set	a collection of elements	A={3,7,9,14}, B={9,14,28}
A ∩ B	intersection	objects that belong to set A and set B	A ∩ B = {9,14}
A ∪ B	union	objects that belong to set A or set B	A ∪ B = {3,7,9,14,28}
A ⊆ B	subset	subset has less elements or equal to the set	{9,14,28} ⊆ {9,14,28}
A ⊂ B	proper subset / strict subset	subset has less elements than the set	{9,14} ⊂ {9,14,28}
A ⊄ B	not subset	left set not a subset of right set	{9,66} ⊄ {9,14,28}
A ⊇ B	superset	set A has more elements or equal to the set B	{9,14,28} ⊇ {9,14,28}
A ⊃ B	proper superset / strict superset	set A has more elements than set B	{9,14,28} ⊃ {9,14}
A ⊅ B	not superset	set A is not a superset of set B	{9,14,28} ⊅ {9,66}
2^A	power set	all subsets of A
Ƥ (A)	power set	all subsets of A
A = B	equality	both sets have the same members	A={3,9,14}, B={3,9,14}, A=B
A^c	complement	all the objects that do not belong to set A
A \ B	relative complement	objects that belong to A and not to B	A={3,9,14}, B={1,2,3}, A-B={9,14}
A - B	relative complement	objects that belong to A and not to B	A={3,9,14}, B={1,2,3}, A-B={9,14}
A ∆ B	symmetric difference	objects that belong to A or B but not to their intersection	A={3,9,14}, B={1,2,3}, A ∆ B={1,2,9,14}
A ⊖ B	symmetric difference	objects that belong to A or B but not to their intersection	A={3,9,14}, B={1,2,3}, A ⊖ B={1,2,9,14}
a∈A	element of	set membership	A={3,9,14}, 3 ∈ A
x∉A	not element of	no set membership	A={3,9,14}, 1 ∉ A
(a,b)	ordered pair	collection of 2 elements
A×B	cartesian product	set of all ordered pairs from A and B
\|A\|	cardinality	the number of elements of set A	A={3,9,14}, \|A\|=3
#A	cardinality	the number of elements of set A	A={3,9,14}, #A=3
א	aleph	infinite cardinality
Ø	empty set	Ø = { }	C = {Ø}
U	universal set	set of all possible values
ℕ	natural numbers set	ℕ = {1,2,3,4,...}	6 ∈ ℕ
ℤ	integer numbers set	ℤ = {...-3,-2,-1,0,1,2,3,...}	-6 ∈ ℤ
ℚ	rational numbers set	ℚ = {x \| x=a/b, a,b∈ℕ}	2/6 ∈ ℚ
ℝ	real numbers set	ℝ = {x \| -∞ < x <∞}	6.343434 ∈ ℝ
ℂ	complex numbers set	ℂ = {z \| z=a+bi, -∞<a<∞, -∞<b<∞}	6+2i ∈ ℂ

Statistical symbols ►

Θεωρια Συνολων: Οι σημειώσεις του Γ.Κολετσου

2011-01-05T14:17:00.000-08:00

Οι σημειώσεις σε μορφη PDF ευρίσκονται εδώ

Το Being and Event σε 18 μαθηματα με εμφαση στον μαθηματικό φορμαλισμό

2011-01-05T14:14:00.000-08:00

Αυτό είναι το πρωτο από 18 μαθήματα με κύριο ενδιαφέρον στον μαθηματικό φορμαλισμό του Being & Event

Μετά το πρωτο μαθημα στο Youtube αναφαίνονται κια τα υπολοιπα

Θεωρία Κατηγοριών: Σημειώσεις του Χ.Σκιαδά

2011-01-04T06:12:00.000-08:00

Η Θεωρία Κατηγοριών και η θέση της στα σύγχρονα Μαθηματικά

Η Θεωρία Κατηγοριών είναι μια σύγχρονη μαθηματική θεωρία που αναπτύχθηκε τα τελευταία πενήντα χρόνια με σκοπό να λύσει προβλήματα άλλων θεωριών ή να θέσει κάποια συμπεράσματά τους σε ένα γενικότερο πλαίσιο. Ξεκίνησε λίγο πολύ σαν μια γλώσσα για τα Μαθηματικά, αλλά σύντομα πήρε το δρόμο της σαν μια Μαθηματική θεωρία.
Αλλά τι είναι τελικά η Θεωρία Κατηγοριών; Με απλά λόγια είναι η θεωρία που ασχολείται με ιδιότητες των μορφισμών (των “καλών” απεικονίσεων) κάθε άλλης μαθηματικής θεωρίας. Ας προσπαθήσουμε να γίνουμε πιο συγκεκριμένοι. Καταρχήν έχουμε τα σύνολα και τις απεικονίσεις μεταξύ τους. Αν όμως θεωρήσουμε σύνολα με κάποια συγκεκριμένη δομή (για παράδειγμα διανυσματικοί χώροι ή τοπολογικοί χώροι), τότε δεν μας ενδιαφέρουν όλες οι απεικονίσεις μεταξύ των συνόλων, αλλά μόνο αυτές που “σεβονται”, που διατηρούν τη δεδομένη δομή (για παράδειγμα οι γραμμικές απεικονίσεις ή οι συνεχείς απεικονίσεις αντίστοιχα). Η Θεωρία Κατηγοριών μελετά ακριβώς αυτή τη συλλογή όλων των αντικειμένων με μια συγκεκριμένη δομή και των απεικονίσεων που διατηρούν τη δομή αυτή, των λεγόμενων μορφισμών. Όλη αυτή η συλλογή (μαζί με την οριζόμενη φυσιολογικά πράξη σύνθεσης) καλείται μια κατηγορία. Έτσι για παράδειγμα έχουμε την κατηγορία των ομάδων με τους αντίστοιχους μορφισμούς ομάδων, την κατηγορία των διανυσματικών χώρων με τους αντίστοιχους μορφισμούς τους, τις γραμμικές απεικονίσεις, και ούτω καθεξής.
Στην πραγματικότητα η θεωρία κατηγοριών (τουλάχιστον σε πρώτη φάση) δε λαμβάνει υπ’ όψη της το γεγονός ότι σε κάθε αντικείμενο βρίσκεται υποκείμενο ένα σύνολο. Αντιθέτως μια κατηγορία ονομάζεται μια συλλογή από αντικείμενα μαζί με κάποια “βελάκια” μεταξύ τους, ονομαζόμενα μορφισμοί, έτσι ώστε κάθε μορφισμός να έχει ένα “πεδίο ορισμού” και ένα “πεδίο τιμών” (απλώς δύο αντικείμενα της συλλογής μας) και να έχει ορισθεί μια πράξη σύνθεσης μορφισμών, έτσι ώστε ένας μορφισμός από το Α στο Β και ένας από το Β στο Γ να μας δίνουν ένα μορφισμό από το Α στο Γ, ενώ για κάθε αντικείμενο Α της κατηγορίας υπάρχει ένας μορφισμός 1_Α από το Α στο Α, ο οποίος συντιθέμενος με οποιονδήποτε άλλο μορφισμό β μας δίνει τον ίδιο το β και λέγεται ταυτοτικός. Αυτά είναι τα μόνα εφόδια που έχει (αρχικά) κανείς.
Κατόπιν η θεωρία αρχίζει να πλουτίζεται, καθώς προσπαθεί κανείς να βάλει επιπλέον ιδιότητες στους μορφισμούς. Το πρόβλημα είναι ότι η ιδιότητα αυτή δεν θα πρέπει να έχει να κάνει με κάποια στοιχεία που θα “ανήκουν” στο αντικείμενο, αφού το αντικείμενο δεν είναι απαραίτητα σύνολο. Εύλογα λοιπόν αναρωτιέται κανείς, πώς θα μπορούσε να εκφράσει σε αυτό το πλαίσιο έναν ορισμό όπως της 1-1 απεικόνισης μεταξύ συνόλων. Το εντυπωσιακό είναι πως μπορεί (!) και μάλιστα με δύο (!!) διαφορετικούς τρόπους.
Αυτό οφείλεται στην ακόλουθη πρόταση που αποδεικνύεται στη θεωρία συνόλων:
Έστω f:X® Y συνάρτηση μεταξύ των συνόλων Χ και Υ. Τότε τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα:
α)Η f είναι 1-1
β)Υπάρχει μία g:Y® X με gf=1_X(Δηλαδή η f έχει αριστερό αντίστροφο)
γ)Για κάθε ζεύγος συναρτήσεων α,β:Υ® Ζ (Ζ τυχαίο) με αf=βf, έχουμε ότι α=β (Δηλαδή η f είναι όπως λέμε από δεξιά διαγράψιμη)
Παρατηρεί κανείς άμεσα ότι στις ισοδυναμίες β και γ εμφανίζεται μόνο η έννοια του μορφισμού συνόλων (της απλής απεικόνισης). Έτσι οι δύο αυτές προτάσεις μπορούν να χρησιμοποιηθούν στο πλαίσιο της θεωρίας Κατηγοριών. Έτσι σε μια κατηγορία ένας μορφισμός λέγεται μονομορφισμός, αν είναι από δεξιά διαγράψιμος, ενώ λέγεται διασπώμενος μονομορφισμός, αν έχει αριστερό αντίστροφο. Οι δύο αυτοί ορισμοί δεν είναι εν γένει ισοδύναμοι, αν και στην κατηγορία των συνόλων συμπίπτουν. (Στην κατηγορία των ομάδων διασπώμενοι μονομορφιμοί είναι αυτοί που όταν το πεδίο ορισμού τους θεωρηθεί σαν υποομάδα του πεδίου τιμών τους, αυτή είναι κανονική, η ισοδύναμα πυρήνας ενός μορφισμού)
Με παρόμοιο τρόπο μεταφέρονται οι έννοιες της ένωσης και τομής συνόλων, της εικόνας και της αντίστροφης εικόνας μιας απεικόνισης, του πυρήνα ενός μονομορφισμού, του καρτεσιανού γινομένου συνόλων καθώς και του ευθέως αθροίσματος ομάδων ή του καρτεσιανού γινομένου διανυσματικών χώρων. Παράλληλα όμως δημιουργούνται και καινούργιοι, συγκεκριμένα οι δυϊκοί τους. Ας δούμε τι σημαίνει αυτό.
Αν ξεκινήσουμε από μια κατηγορία, μπορούμε να φτιάξουμε μια καινούργια κατηγορία με το ακόλουθο “τρικ”: Η καινούργια κατηγορία έχει τα ίδια αντικείμενα με την αρχική, μόνο που τώρα οι μορφισμοί έχουν αλλάξει φορά. Δηλαδή αν στην αρχική κατηγορία υπήρχε ένας μορφισμός α:Α® Β, τότε η καινούργια κατηγορία έχει ένα μορφισμό α:Β® Α. Η πράξη της σύνθεσης ρυθμίζεται ανάλογα. Αυτή η κατηγορία λέγεται δυϊκή της πρώτης. Με τον τρόπο αυτό μπορούμε από κάθε ορισμό σε μια κατηγορία να φτιάξουμε ένα καινούργιο ορισμό, αντιστρέφοντας στην ουσία τη φορά των μορφισμών-βελών (Θεωρώντας δηλαδή τον αντίστοιχο ορισμό στην δυϊκή της κατηγορίας). Έτσι για παράδειγμα ένας μορφισμός λέγεται επιμορφισμός, αν είναι μονομορφισμός στη δυϊκή κατηγορία, δηλαδή αν είναι από δεξιά διαγράψιμος στην δυϊκή κατηγορία, ή ισοδύναμα (από τον ορισμό της σύνθεσης στη δυϊκή κατηγορία) αν είναι από αριστερά διαγράψιμος στην αρχική κατηγορία. Έτσι για κάθε έννοια της θεωρίας κατηγοριών υπάρχει η δυϊκή της, και κάθε πρόταση έχει μια αντίστοιχη δυϊκή, που στην ουσία προκύπτουν αν αντιστρέψουμε τη φορά των βελών. Έτσι κάθε απόδειξη μιας πρότασης από κάποιες υποθέσεις μας δίνει μια απόδειξη της δυϊκής της πρότασης από τις δυϊκές των υποθέσεων. Στην ουσία κάθε φορά αποδεικνύουμε δύο προτάσεις μαζί (!).
Μέχρι τώρα είδαμε τα αντικείμενα της θεωρίας Κατηγοριών, τις κατηγορίες. Όμως η θεωρία Κατηγοριών είναι μια μαθηματική θεωρία, άρα εκτός από αντικείμενα έχει και μορφισμούς μεταξύ τους, δηλαδή απεικονίσεις μεταξύ κατηγοριών που σέβονται τη δομή των κατηγοριών. Πιο συγκεκριμένα ένας συναρτητής μεταξύ των κατηγοριών Α και Β είναι μία απεικόνιση που αντιστοιχεί σε κάθε αντικείμενο της Α ένα αντικείμενο της Β και σε κάθε μορφισμό μεταξύ δύο αντικειμένων της Α έναν μορφισμό μεταξύ των αντίστοιχων αντικειμένων της Β. Η αντιστοίχιση γίνεται με τέτοιο τρόπο ώστε η εικόνα της σύνθεσης δύο μορφισμών να είναι η σύνθεση των εικόνων τους και η εικόνα του ταυτοτικού μορφισμού ενός αντικειμένου να είναι ο ταυτοτικός της εικόνας του αντικειμένου.
Σημαντικότατο παράδειγμα συναρτητών είναι οι λεγόμενοι “ξεχασιάρηδες” συναρτητές, που “ξεχνάνε” την επιπλέον δομή κάποιων συνόλων. Έτσι για παράδειγμα υπάρχει ένας συναρτητής που αντιστοιχεί σε κάθε διανυσματικό χώρο (ή τοπολογικό χώρο κλπ) το υποκείμενο σύνολό του (“ξεχνώντας” την επιπλέον δομή διανυσματικού χώρου που έχειτο σύνολο) και σε κάθε μορφισμό ομάδων την αντίστοιχη απεικόνιση μεταξύ των υποκείμενων συνόλων. Μια άλλη κλάση συναρτητών είναι οι λεγόμενοι συναρτητές ομολογίας, που (για κάθε φυσικό ν) σε κάθε τοπολογικό χώρο αντιστοιχούν τη λεγόμενη ν-οστή ομάδα ομολογίας του χώρου και σε κάθε συνεχή απεικόνιση μεταξύ δύο τοπολογικών χώρων έναν επαγόμενο μορφισμό μεταξύ των αντίστοιχων ομάδων. Με τη βοήθεια αυτών των συναρτητών αποδεικνύεται το περίφημο θεώρημα του Brouwer, που λέει ότι κάθε συνεχής συνάρτηση f από τη σφαίρα Dⁿ={x Rn ||x||<1ή||x||=1} στον εαυτό της έχει τουλάχιστον ένα σταθερό σημείο, δηλαδή υπάρχει x με f(x)=x.
Τι σημασία έχουν λοιπόν αυτοί οι συναρτητές; Καταρχάς μας επιτρέπουν να μεταφέρουμε προβλήματα μιας θεωρίας σε προβλήματα μιας άλλης, όπου ελπίζουμε ότι θα είναι πιο εύκολα στη λύση τους, μας προσφέρουν δηλαδή μια σύνδεση μεταξύ των μαθηματικών θεωριών. Έτσι για παράδειγμα ας υποθέσουμε ότι έχουμε δύο τοπολογικούς χώρους Χ και Υ και θέλουμε να αποφανθούμε αν είναι ομοιομορφικοί, δηλαδή ισόμορφοι στην κατηγορία των τοπολογικών χώρων. Ας υποθέσουμε ακόμα ότι έχουμε τον “ξεχασιάρη” συναρτητή, έστω U, από την κατηγορία των τοπολογικών χώρων στην κατηγορία των συνόλων. Τότε, αν οι Χ και Υ είναι ομοιομορφικοί μέσω ενός α:Χ® Υ, τότε ο U(α):U(X)® U(Y) είναι ισομορφισμός στην κατηγορία των συνόλων, δηλαδή τα υποκείμενα σύνολα των Χ και Υ είναι ισοπληθικά. Οπότε αν τα υποκείμενα σύνολα των Χ και Υ δεν είναι ισοπληθικά, προκύπτει ότι οι χώροι Χ και Υ δεν είναι ομοιομορφικοί. Βέβαια δεν χρειαζόμαστε τη Θεωρία Κατηγοριών για να μας το πει αυτό, όμως η Θεωρία Κατηγοριών μας επιτρέπει να δούμε το συμπέρασμα σε ένα γενικότερο πλαίσιο, ότι δηλαδή αν οι εικόνες μεταξύ ενός συναρτητή δύο αντικειμένων είναι μη ισόμορφες, τότε και τα αντικείμενα είναι μη ισόμορφα. Αν οι εικόνες είναι ισόμορφες, δεν μπορούμε εν γένει να πούμε τίποτα.
Χρησιμοποιώντας τους συναρτητές ομολογίας που αναφέραμε παραπάνω, μπορούμε να πούμε πολύ περισσότερα πράγματα για το αν δύο τοπολογικοί χώροι είναι ομοιομορφικοί. Έτσι αν δύο τοπολογικοί χώροι είναι ομοιομορφικοί, τότε οι ν-οστές ομάδες ομολογίας τους είναι ισόμορφες (για κάθε ν). Υπολογίζοντας αυτές τις ομάδες μπορούμε συχνά να αποφανθούμε αν δύο χώροι είναι ομοιομορφικοί. Έτσι για παράδειγμα μπορούμε να αποδείξουμε ότι R^mRⁿαν και μόνο αν m=n (όπου R^m ο συνήθης m-διάστατος ευκλείδειος χώρος). Και πάλι θα μπορούσαμε να αποδείξουμε το παραπάνω θεώρημα χωρίς ρητή αναφορά σε κατηγορίες και συναρτητές, αλλά αυτό θα ήταν το ίδιο σαν να χρησιμοποιούσαμε στην απόδειξη ενός θεωρήματος τις γραμμικές πράξεις που τυγχάνει να έχει ένα σύνολο, χωρίς να αναφερόμαστε ρητώς στο γεγονός ότι το σύνολο έχει τη δομή διανυσματικού χώρου. Δεν είναι πιο κομψό (ίσως πιο σωστό, αν μπορούσαμε να πούμε ότι κάτι είναι σωστό ή όχι) να αναφέρουμε ότι το σύνολο υπό μελέτη είναι ένας διανυσματικός χώρος;
Ενώ λοιπόν, ενώ μπορεί κανείς να ισχυριστεί ότι η Θεωρία Κατηγοριών είναι απλώς μια γλώσσα και μπορούμε να κάνουμε Μαθηματικά χωρίς αυτήν, εντούτοις τα πράγματα δεν είναι έτσι. Υπάρχουν θεωρήματα τα οποία ισχύουν στη Θεωρία Κατηγοριών και μας βοηθούν στην καθημερινή ενασχόλησή μας με τα Μαθηματικά. Ας κάνουμε έναν παραλληλισμό. Ας υποθέσουμε ότι δεν έχουμε δημιουργήσει τη θεωρία ομάδων. Ας υποθέσουμε ακόμα ότι στη δουλειά μας συναντάμε ένα σύνολο στο οποίο έχουμε μια πράξη που ικανοποιεί τα αξιώματα μιας ομάδας. Αν πάρουμε ένα υποσύνολό του που είναι κλειστό ως προς την πράξη, μπορούμε να αποδείξουμε ότι η τάξη του (το πλήθος των στοιχείων του) διαιρεί την τάξη του δεδομένου συνόλου (θυμηθείτε ότι δεν έχουμε το θεώρημα του Lagrange, αφού δεν έχουμε θεωρία ομάδων). Αν πάρουμε ένα άλλο υποσύνολο του αρχικού, μπορούμε πάλι να αποδείξουμε ότι η τάξη του διαιρεί την τάξη του αρχικού, είναι όμως κάτι το οποίο πρέπει να αποδείξουμε. Μπορούμε να πούμε ότι αποδεικνύεται παρόμοια, όμως αυτό είναι το ίδιο με το να ορίσουμε ότι λέμε ένα σύνολο ομάδα, αν έχει μια πράξη που ικανοποιεί τα γνωστά αξιώματα της ομάδας, να δείξουμε τι ιδιότητες έχει μια τυχούσα ομάδα, και μετά απλώς να παρατηρήσουμε ότι τα άλλα σύνολα που προκύπτουν στη δουλειά μας είναι ομάδες, να θεμελιώσουμε με λίγα λόγια τη Θεωρία Ομάδων. Το ίδιο συμβαίνει και με τη Θεωρία Κατηγοριών.
Η Θεωρία Κατηγοριών εμφανίζεται πλέον σε πάρα πολλές περιπτώσεις, ειδικά όταν προσπαθούμε να συνδέσουμε διάφορους κλάδους των Μαθηματικών. Είναι μέρος της καθημερινής μας πρακτικής (στην πραγματικότητα τα περισσότερα πράγματα που έχουμε ορίσει μπορούν να εκφραστούν με τη γλώσσα της Θεωρίας Κατηγοριών, απλώς δεν το γνωρίζουμε ή δεν μας ενδιαφέρει). Μας βοηθάει να λύσουμε κάποια προβλήματα, ή να τα δούμε σε άλλο πλαίσιο, αλλά από την άλλη έχει και αυτή τα προβλήματά της, όπως για παράδειγμα πότε δύο κατηγορίες είναι κατ’ ουσία ίδιες (όχι έναν ορισμό, αλλά σε συγκεκριμένα παραδείγματα), ή πότε μια κατηγορία μπορεί να θεωρηθεί ως κατηγορία που τα αντικείμενά της είναι σύνολα (με κάποια ενδεχομένως δομή). Η απάντηση σε αυτά τα ερωτήματα, από ότι ξέρω τουλάχιστον, είναι πολύ μακριά.

Σκιαδάς Χαρίλαος

Βιβλιογραφία:

Νασόπουλος: “Στοιχεία Θεωρίας Κατηγοριών”, Σημειώσεις Παραδόσεων, Πανεπιστήμιο Αθηνών, 1986
Mitchell: “Theory of Categories” Academic Press, 1965

Cantor,Zermelo,Frankel στο Logicomix

2011-01-04T06:09:00.000-08:00

(Σημειωματάριο του Logicomix)

Η μελέτη συλλογών αντικειμένων που τις ορίζει κάποια κοινή ιδιότητα - σε κάποιες περιπτώσεις, η ιδιότητα αυτή μπορεί να μην είναι άλλη από το ότι ανήκουν στο ίδιο σύνολο, όπως π.χ. στο αυθαίρετα ορισμένο σύνολο (ξ, χ, ½, 8, 134). Οι οντότητες αυτές μελετήθηκαν για πρώτη φορά από τον Τσέχο μαθηματικό Μπέρναρντ Μπολτσάνο (1781-1848), που εισήγαγε τη χρήση του όρου Menge--τη γερμανική λέξη για το σύνολο, η οποία υιοθετήθηκε στη συνέχεια και από τον Κάντορ--και όρισε την έννοια του πληθαρίθμου, ή «μεγέθους» ενός συνόλου. Όμως, ο φόβος κάποιων παραδόξων, που προέκυπτε από παρατηρήσεις όπως ότι το σύνολο των ακεραίων μπορεί να μπει σε ένα προς ένα αντιστοιχία με το «μισό του», δηλαδή το σύνολο των ζυγών (απλώς πολλαπλασιάζοντας κάθε ακέραιο επί 2, ή διαιρώντας κάθε ζυγό διά 2), οπότε ένα σύνολο να έχει «ίδιο αριθμό στοιχείων» με ένα υποσύνολό του, απέτρεψαν τον Μπολτσάνο από το να ασχοληθεί περισσότερο με το θέμα. Ο Κάντορ όμως προχώρησε, και η γέννηση της θεωρίας ως σημαντικού κλάδου των μαθηματικών σημαίνεται από τις δικές του ιδιοφυείς αποδείξεις. Τοποθετείται, συγκεκριμένα, στις 7 Δεκεμβρίου του 1873, όταν ο Κάντορ έγραψε στον δάσκαλό του, Ρίχαρντ Ντέντεκιντ, περιγράφοντάς του την απόδειξη της μη αριθμησιμότητας των πραγματικών αριθμών, σε αντίθεση με την αριθμησιμότητα των ρητών - όπου αριθμησιμότητα ενός συνόλου είναι, ακριβώς, η ιδιότητα να μπορούν να μπουν τα στοιχεία του σε ένα προς ένα αντιστοιχία με τους φυσικούς αριθμούς, δηλαδή το 1, 2, 3, ... κ.ο.κ. Τα δύο αυτά θεωρήματα οδήγησαν τον Κάντορ στην απορία για την πιθανή ύπαρξη ενός τρίτου είδους απείρου, σε κάποια υποσύνολα των πραγματικών μεταξύ ρητών και πραγματικών, και στη λεγόμενη «Υπόθεση του Συνεχούς» που εικάζει ότι τέτοιο, τρίτο είδος δεν υπάρχει. Η θεωρία συνόλων θεωρήθηκε (και θεωρείται ακόμη) από πολλούς ο πιο θεμελιώδης κλάδος των μαθηματικών, έχοντας εξορίζει από αυτή τη θέση τον παραδοσιακό κάτοχο του τίτλο, την αριθμητική. Μάλιστα, ένα από τα πιο φιλόδοξα μαθηματικά εγχειρήματα του 20ού αιώνα, της ομάδας σπουδαίων γάλλων μαθηματικών που δημοσίευσε με το όνομα «Νικολά Μπουρμπακί», ήταν η προσπάθεια για τη θεμελίωση των μαθηματικών πάνω στα σύνολα. Η έννοια του συνόλου είναι τόσο διαισθητικά απλή που είναι δύσκολο να ορισθεί χωρίς τη χρήση κάποιου συνωνύμου της--εδώ χρησιμοποιήσαμε το «συλλογή». Και ίσως, ακριβώς γι' αυτό το λόγο, η μη αυστηρή (που πάει να πει: μη αξιωματικά θεμελιωμένη) υιοθέτησή της από τον Μπολτσάνο και τον Κάντορ οδήγησε τόσο σύντομα σε προβλήματα, με σημαντικότερο το Παράδοξο του Ράσελ. Για να ξεπεραστεί το παράδοξο αυτό, καθώς και η μη επιτρεπτή -στη σύγχρονη θεωρία συνόλων- έννοια του «συνόλου όλων των συνόλων», χρειάσθηκε να θεμελιωθεί η θεωρία με αυστηρά αξιωματικό τρόπο, απόπειρα που έγινε αρχικά στα Πρινκίπια Ματεμάτικα. Το, μεταγενέστερο αξιωματικό σύστημα που επικρατεί μέχρι σήμερα είναι γνωστό με το ακρωνύμιο ZFC, από τα αρχικά των δύο επινοητών του, του Ζερμέλο (Zermelo) και του Φράνκελ (Frankel), και το C που δηλώνει το πρόσθετο «αξίωμα της επιλογής» (Axiom of Choice), που είναι απαραίτητο για τα απειροσύνολ

Πηγή Logicomix

MATHEMATICS OF NOVELTY (P 11-13)

2011-01-04T06:05:00.000-08:00

Για να απλοποιήσουμε τα ζητήματα υπάρχουν δύο κύριες θέσεις σε όλο το Being & Event οι οποίες συνακόλουθα ισχύουν για το συνολικό έργο του Badiou , οι οποίες μπορούν να συνοψισθούν ως εξής:

Τα Μαθηματικά είναι Οντολογία:

Αυτό είναι ένα επιχείρημα που ο ΑΒ προσφέρει από την αρχή του έργου του.Ειδικά η θεωρία συνόλων , σχηματοποιεί την έννοια του « πολλαπλού» με ένα τρόπο ο οποίος διαχωρίζει ριζικά το ερώτημα του «είναι ως είναι» από οποιαδήποτε κριτήρια εξωτερικής εμπειρίας

Η Αλήθεια είναι θεμελιακά ατεκμηρίωτη από την πλευρά οποιασδήποτε συνεκτικής παρούσας κατάστασης:

Ως διαδικασία ,εκκινεί από ένα συμβάν, μέσω της πράξης ενός υποκειμένου – μαχητή , και τελικά ανοίγει μια οπή στην γνώση της κατάστασης. Σε αυτό το σημείο θα μπορούσαμε να μιλήσουμε για την πράξη ενός υποκειμένου ως συγκρότηση μιας γένιας (generic) διαδικασίας. Ακόμα και αν μια διαδικασία αληθείας παράγει υποσύνολα τα οποία περιέχουν στοιχεία ,τα οποία από την πλευρά της κατάστασης είναι απλά δυσδιάκριτα , το υποκείμενο τελικά παράγει μια έρευνα (ή γενικότερα μια αναζήτηση) σε αυτό το δυσδιάκριτο υποσύνολο, έτσι ώστε η κατάσταση εκβιάζεται να αναμετρηθεί με την ίδια της την υπόσταση και έτσι τελικά να αναδιοργανωθεί αφ’ εαυτής.

Για να προσεγγίσουμε την οντολογία ( μέσω των αξιωμάτων Zermelo Fraenkel) και την αλήθεια ( μέσω των γένιων (generic) διαδικασιών του Cohen) χρησιμοποιούμε την θεωρία συνόλων ,της οποίας τα πλεονεκτήματα προσδιορίζονται από αυτό που ευρίσκεται στα θεμέλια της: την αστάθεια. Αυτό που η ομοιόμορφη παρουσίαση μιας οντολογικής κατάστασης προϋποθέτει είναι η καθαρή η βαθύτερη πολλαπλότητα η οποία προηγείται κάθε πράξη της παρουσίασης. Το όνομα αυτής της αστάθειας είναι το κενό. «Σε μια κατάσταση όπου, η παρουσία μας δίνει μια μη καθαρή πρόσβαση ή ούτε καν πρόσβαση , και μάλιστα με τέτοιο τρόπο ώστε ,ότι δεν είναι μονάδα ή δεν αποτελείται από μονάδες , είναι αξιολογήσιμο μόνο ως μια παραδρομή του τίποτα, τότε το όνομα αυτής της αστάθειας είναι το κενό». Αυτή είναι η αστάθεια θεωρούμενη ως οντολογική παρουσία.

Όσον αφορά την απόκτηση γνώσης της αστάθειας ( παράδειγμα στα μαθηματικά όπου τα υπερπερασμένα άπειρα δεν μπορούν να διακριθούν από την πλευρά της κατάστασης) ,ο Badiou χρησιμοποιεί τις γένιες (generic) διαδικασίες του P.Cohen .

Αν για κάθε κατάσταση υπάρχει ένα πλεόνασμα υποσυνόλων έναντι των στοιχείων , θα υπάρχει πάντα ένα πολλαπλό για το οποίο ερωτήματα σχετικά με την σταθερότητα του (αρχή της άριστης τάξης) θα είναι άγνωστα από την πλευρά της κατάστασης.Τότε

α.- Για κάποια πολλαπλά , αυτό το πλεόνασμα, θα θεωρείται εκτροχιασμός σε σχέση με τις πεπερασμένες εκτιμήσεις της κατάστασης , επομένως μη κατανοήσιμες και αενάως ανοικτά σε ένα ατέρμονα πολλαπλασιασμό ερμηνευτικών αξιολογήσεων , μεταφορικών μετακυλήσεων και ούτω καθ΄ εξής. Ή

β.-Θα μπορούσαμε να πούμε ότι όσο αυτά τα πολλαπλά δεν είναι προσβάσιμα στην εμπειρία μέσω μιας πεπερασμένης διαίσθησης, απλά δεν υφίστανται.

Ο Badiou αντιτίθεται στις δύο θέσεις αξιοποιώντας τις λεγόμενες γένιες (generic) διαδικασίες του Cohen .Οι σειρές των αξιολογήσεων που συνιστούν μια γένια (generic) διαδικασία δεν θα παρουσιάσουν αυτές τις ασυνεπείς πολλαπλότητες , αλλά θα εκβιάσουν μερικές πληροφορίες για τα στοιχεία τους. Όταν τοποθετηθούν μαζί, μέσω μιας αυστηρής πεπερασμένης διαδικασίας , αυτές οι αξιολογήσεις σχηματίζουν ένα σύνολο το οποίο αποκαλείται από τους Cohen και Badiou γένιο (generic) ακριβώς γιατί αποφεύγει οποιαδήποτε συσχέτιση με ένα προσδιοριστικό κατηγόρημα (δηλαδή με κάτι που θα μπορούσε να αποδειχθεί απ’ ευθείας από την κατάσταση) Αλλά όσο θεωρείται ότι αυτά τα σύνολα υφίστανται ανεξάρτητα από μια απόδειξη , κάθε κατάσταση θα πρέπει να αναδομηθεί θεμελιακά σχετιζόμενη με τα αποτελέσματα της γένιας διαδικασίας.

Η απόδειξη του Cohen ότι η ύπαρξη των γένιων (generic) υποσυνόλων είναι μια σύγχρονη απόδειξη ότι οι αλήθειες μπορούν να υπάρχουν ανεξάρτητα από οποιαδήποτε «εγκυκλοπαίδεια» (1) Το θεώρημα του Cohen πετυχαίνει αυτήν την μοντερνικότητα που προσέφερε η Καντιανή διάκριση μεταξύ σκέψη και γνώση , μέσω της ριζικής οντολογίας ενός «μαθήματος» (2)

(1)Εγκυκλοπαίδεια στον ΑΒ αποκαλείται το σύνολο των προσβάσιμων αντικειμενικά και τεχνικά γνώσεων

(2)Ως μάθημα νοείται ο φορμαλισμός σε μορφή μαθηματικού γραφήματος που χρησιμοποίησε κυρίως ο Λακάν

The Mathematics of Novelty Sam Gillespie p 11-13

ΜΤΦ : LLS