Κώστας Φιλιππάκης: Η εξίσωση μαθηματικών και οντολογίας στο έργο του Alain Badiou

O K.Φιλιππάκης παρουσίασε την εργασία του για "την εξίσωση μαθηματικών και οντολογίας στο έργο του Alain Badiou"

Ο Κ.Φιλιππάκης σχεδόν περατώνει και το έργο του ιστολογίου καθώς συμπληρώνει βιβλίο του Baki. Το βασικό ζήτημα εξοικείωσης των μη μαθηματικών με τις μαθηματικές πλευρές του ΑΒ έχει πλέον πολλές αναφορές .

Ευχαριστώ τον Κ.Φιλιππάκη για την τιμή  να μας εμπιστευθεί την εργασία του.

Η εξίσωση μαθηματικών και οντολογίας στο έργο του Alain Badiou

Στην παρούσα εισήγηση θα ασχοληθούμε με τη θεμελιώδη θέση περί εξίσωσης μαθηματικών και οντολογίας που χαρακτηρίζει το ώριμο φιλοσοφικό εγχείρημα του Alain Badiou [1937- ], όπως αυτό εκτυλίσσεται στο Είναι και Συμβάν και σε κατοπινά έργα. Θα εξετάσουμε -όχι στο ίδιο βάθος- α) το πλαίσιο μέσα στο οποίο οδηγείται σε αυτή την κομβικής σημασίας για το σύστημά του απόφαση, β) ορισμένες παρερμηνείες που ελλοχεύουν σε μια πρώτη ανάγνωσή της, καθώς και γ) τις συνέπειες και αναπτύξεις της και δ) σε ποιες τάσεις ή θέσεις αντιτίθεται με αυτήν. 

   Η εναρκτήρια παραδοχή του Badiou αφορά το ότι τα μαθηματικά ήταν ανέκαθεν το προνομιακό πεδίο ενασχόλησης με το «είναι-ως-είναι», αλλά είναι μόνο σήμερα που είμαστε σε θέση να το γνωρίζουμε αυτό[1]. Το «σήμερα» του χρονικού προσδιορισμού αναφέρεται στην εποχή που έπεται της ανάδυσης της Θεωρίας Συνόλων, από τον Cantor μέχρι τις κατοπινές αξιωματικοποιήσεις της στις πρώτες δεκαετίες του εικοστού αιώνα. Η αξιωματικοποίηση που χρησιμοποιεί ο ίδιος είναι η επικρατήσασα και πλέον διαδεδομένη ZFC, δηλαδή εκείνη που συντελέσθηκε από τους Zermelo και Fraenkel με την προσθήκη του αξιώματος της επιλογής[2] (Axiom of Choice: πρόκειται για ένα αξίωμα του οποίου η θεμιτή χρήση έγινε αντικείμενο σφοδρής αντιπαράθεσης στις αρχές του αιώνα, μέχρι να γίνει αποδεκτή από την πλειονότητα των μαθηματικών της εποχής). Αυτομάτως γεννώνται μια σειρά από ερωτήματα: γιατί ειδικά τα μαθηματικά να αποτελούν την «επιστήμη του είναι» ή την «ενεργό οντολογία»[3], και, επιπλέον, γιατί η Θεωρία Συνόλων από τους τόσους κλάδους, και γιατί αυτή η συγκεκριμένη εκδοχή της, από τις τόσες που υπάρχουν; Η πραγμάτευση των ζητημάτων αυτών θα αποτελέσει εν πολλοίς το αντικείμενο της παρουσίασης.

   Αυτό που έχει σημασία να επισημάνουμε είναι ότι το σχήμα του Badiou εδράζεται σε μια «ισχυρή» ανάγνωση της ιστορίας της μεταφυσικής η οποία αντιπαρατίθεται σε εκείνη του Heidegger, με την οποία ωστόσο διαλέγεται. Έτσι, ενώ συμμερίζεται την επισήμανση του τελευταίου περί της «λήθης του είναι», σπεύδει να συμπληρώσει ότι η τάση αυτή ποτέ δεν κατέστη απολύτως κυρίαρχη, εφόσον πάντοτε υπήρχε η αντίρροπή της τάση «υφαίρεσης»[4]. Η ίδια η διατύπωση «είναι-ως-είναι» υποδηλώνει ακριβώς ότι λαμβάνει υπόψη του την οντικο-οντολογική διαφορά[5] (η παράβλεψη της οποίας οδήγησε στην ιστορική σύγχυση του ερωτήματος για το είναι με το ερώτημα σχετικά με τα όντα, και συνήθως με το ερώτημα του ενός, υπέρτατου όντος). Συνεχίζοντας την πλατωνική χειρονομία, τα μαθηματικά επιτρέπουν τον στοχασμό για το είναι ανεξάρτητα από το πώς αυτό εμφανίζεται τοπικά σε συγκεκριμένες καταστάσεις και επιμέρους εμπειρικές ενσαρκώσεις (αυτήν ακριβώς την κίνηση αφαίρεσης ή απόσπασης από την εμπειρία και την επικράτεια της γνώμης θα ονομάσει υφαίρεση [soustraction]). Η Αξιωματική Θεωρία Συνόλων [εφεξής ΑΘΣ] αποκλείει τα παράδοξα με το να καθιστά εκ των προτέρων απαγορευτική την ύπαρξη ενός συνόλου που ανήκει στον εαυτό του. Συνιστά δε θεωρία του αμιγούς πολλαπλού, καθότι δε διαθέτει μία περιεχομενική, ποιοτική σύλληψη του αντικειμένου της, κάποιον ορισμό της έννοιας του συνόλου στηριζόμενο στη διαίσθηση του κοινού νου ή την εμπειρία, παρά μονάχα μια εκτασιακή, φορμαλιστική σύλληψή του βασισμένη στην πρωταρχική σχέση του ανήκειν[6]. Ο ορισμός του συνόλου από τον Cantor[7] ως «μια συλλογή καλώς ορισμένων και διακριτών αντικειμένων της εποπτείας ή της σκέψης μας», μολονότι αφηρημένος, θεωρείται ήδη αρκετά προσδιοριστικός και παρατίθεται στα εγχειρίδια κυρίως για ιστορικούς σκοπούς[8]. Αυστηρά μιλώντας, ένα σύνολο δεν είναι τίποτε άλλο από τα στοιχεία που ανήκουν σε αυτό, τα οποία «παρουσιάζει» και τα οποία με τη σειρά τους αποτελούν σύνολα που συντίθενται από άλλα σύνολα και ούτω καθεξής μέχρι το κενό σύνολο, το «σημείο μηδέν» στο οποίο η σκέψη εγγράφεται στο πραγματικό. Η ΑΘΣ είναι η ενεργός οντολογία διότι δεν παρουσιάζει τίποτε άλλο από την παρουσίαση την ίδια, δεν είναι παρά θεωρία του αμιγούς πολλαπλού[9].

   Ποιες είναι λοιπόν οι συνέπειες αυτής της παράξενης εξίσωσης; Αυτές εκτείνονται σε ένα φάσμα ζητημάτων που άπτονται της φιλοσοφίας και συνάμα την υπερβαίνουν: α) Καθίσταται περιττή πλέον η αναζήτηση θεμελίωσης των μαθηματικών. β) Καθίσταται εξίσου περιττή η διερώτηση περί της φύσης των μαθηματικών αντικειμένων[10]. Η πανάρχαια διαμάχη, που στα τέλη του 19ου αιώνα παρουσιαζόταν ως αντιπαράθεση των «πλατωνιστών», για τους οποίους τα «αντικείμενα» αυτά ήταν αυθύπαρκτες ιδεατότητες, με τους ενορασιοκράτες, για τους οποίους δεν αποτελούσαν παρά βολικές κατασκευές του μαθηματικού υποκειμένου, ή τους εμπειριστές, για τους οποίους συνιστούσαν αφαιρέσεις, όλος ο προβληματισμός για το εάν αποτελούν έμφυτες ιδέες, συμβάσεις, ταυτολογίες, λήγει με την τελεσίδικη ετυμηγορία: «δεν υπάρχουν μαθηματικά αντικείμενα. Τα μαθηματικά δεν παρουσιάζουν, με την αυστηρή σημασία [του όρου], τίποτε» (Badiou, 1988: 13). Ο Badiou δεν εκφράζεται με τους όρους αυτών των ρευμάτων[11], αλλά φαίνεται να τοποθετείται μεταξύ φορμαλισμού[12] («η μαθηματική γνώση εδράζεται στον χειρισμό των συμβόλων») και μαθηματικού «πλατωνισμού» όσον αφορά αυτά τα ζητήματα. γ) Οι φυσικές επιστήμες χρειάζονται κάτι άλλο πέραν των μαθηματικών, αλλά ταυτόχρονα είναι εξαρχής συμβατές με αυτά, καθόσον εισέρχονται στο πλαίσιο της παρουσίασης. Βεβαιώνεται και προεκτείνεται το γαλιλεϊκό συμβάν της μαθηματικοποίησης της φύσης και της κατάφασης της απειρίας της. δ) Επέρχεται ρήξη με την καντιανή κριτική, η οποία οδήγησε στο ύψιστο σημείο το σύνηθες μέχρι τότε μαθηματικό παράδειγμα, και ταυτόχρονα σε αδιέξοδο. Λόγω της στροφής στο υποκείμενο και την τοποθέτηση στο επίκεντρο του στοχασμού της περατότητάς του από τον Kant, η σύνδεση μαθηματικών και φιλοσοφίας που χαρακτήριζε τις τολμηρές θεωρησιακές φιλοσοφίες του παρελθόντος εγκαταλείφθηκε προς όφελος μετριοπαθέστερων εγχειρημάτων. Από αυτή τη στιγμή και έπειτα, η μοντέρνα –εν προκειμένω, η μετα-καντιανή- φιλοσοφία δεν εμπνέεται από κάποιο παράδειγμα, εκτός από αυτό της ιστορίας, με ελάχιστες εξαιρέσεις, όπως οι Cavaillès, Lautman (μέχρι τον Lacan, «του οποίου η εμμονή με τα μαθηματικά δεν έπαψε να μεγαλώνει στο πέρασμα του χρόνου» [Badiou, 1988: 11]) στη Γαλλία και ο Husserl στη Γερμανία. Η περατότητα και η συσχέτιση με το Έν αποτελούν τα δίδυμα γνωρίσματα του ρομαντισμού, τον οποίο η μαθηματική σύλληψη του απείρου καθιστά παρωχημένο (Badiou, 2004: 27).

   Σύμφωνα με την ανάγνωση του Badiou, τα μαθηματικά με την ανακάλυψη των υπερπεπερασμένων αριθμών[13] κα τη συνακόλουθη αδυναμία ύπαρξης ενός συνόλου όλων των συνόλων, εκκοσμικεύουν και καθιστούν τετριμμένο το άπειρο, και έτσι επισφραγίζουν τον θάνατο του Θεού στις τρεις διαφορετικές εκφάνσεις του (Badiou, 2004: 36). Πρώτα, ο υπερβατικός Θεός της θρησκείας που έχει απαξιωθεί φιλοσοφικά από τον διαφωτισμό. Έπειτα, ο Θεός της μεταφυσικής ή οντο-θελογίας, ως υπερβατολογικό σημαίνον και ανώτατη ρυθμιστική αρχή, του οποίου τον θάνατο διακήρυξε ο Nietzsche. Τέλος, ο Θεός του ποιήματος, στον οποίο προσφεύγει ο Heidegger διαπιστώνοντας την κατάρρευση των άλλων δύο. Ο τελευταίος αποτελεί τον κύριο στόχο του Badiou, καθώς είναι κυρίαρχος στις μετα-ρομαντικές διευθετήσεις της σκέψης (κυρίως στη λεγόμενη «ηπειρωτική» παράδοση). Χαρακτηριστικά αυτής της σύλληψης είναι η διαπίστωση μιας απόσυρσης ή εγκατάλειψης του ιερού στοιχείου που χαρακτήριζε τον κόσμο, και η νοσταλγική, έντονη, υπαρξιακή ανάγκη προσμονής της διαρκούς επιστροφής του, μέσω της πρόσδεσής του στις έννοιες του Ενός και του Ανοικτού. Μόνιμοι επωδοί αυτών των διανοητικών τάσεων είναι η ροπή προς τον ανορθολογισμό, το άφατο και το μη δυνάμενο να εκφρασθεί ή να συλληφθεί από τη σκέψη, με προφανείς συνέπειες τη ροπή στον μυστικισμό, τον βιταλισμό ή τη φυσιοκρατία. Χαρακτηριστικό του ρομαντισμού είναι η πρωτοκαθεδρία της τέχνης, ήτοι η αισθητικοποίηση του είναι με τη διάχυση της δημιουργικής ικανότητας του καλλιτεχνικού υποκειμένου στο σύνολο του κόσμου, σε συγκερασμό με το μοτίβο της περατότητας που προσδίδει ηρωικές και τραγικές συνδηλώσεις.

   Αυτές οι τάσεις συχνά είναι ευάλωτες σε ό,τι ο Badiou ονομάζει «αντιφιλοσοφία», δηλαδή στην εγκατάλειψη του πεδίου του συστηματικώς αρθρωμένου στοχασμού προς αναζήτηση μιας εξωφιλοσοφικής αλήθειας, όπου αυτό που επισυμβαίνει ως μια οριακή εμπειρία καθιστά επιτακτικό έναν «ηθ(ικ)οπρακτικό» μετασχηματισμό μέσω ενός ριζικού ενεργήματος (όπως ένα «άλμα» ή μια απόφαση). Είναι εμφανής ο λόγος που ο φιλόσοφος αισθάνεται την ανάγκη να διαχωριστεί από το διπλότυπό του: η αντιφιλοσοφία διεκδικεί για λογαριασμό της τις έννοιες του συμβάντος, της αλήθειας και του υποκειμένου, ευρισκόμενη μονίμως σε σχέση έντασης και γόνιμης αντιπαράθεσης με τη φιλοσοφία.

   Το εν αποτελεί επιχειρησιακό[14] αποτέλεσμα της καταμέτρησης. Έτσι, μπορούμε να υποθέσουμε ότι κάθε παρουσιαζόμενη κατάσταση ως τέτοια συνιστά ένα πολλαπλό, εφόσον δεν υπάρχει κατάσταση χωρίς την προσίδια δομή της. «Δεν πρέπει να ξενάμε ότι μια κατάσταση είναι πάντοτε δομημένη. Το πολλαπλό είναι αναδρομικά αναγνώσιμο εκεί ως προγενέστερο του ενός, στο βαθμό που η καταμέτρηση-ως-εν είναι πάντοτε αποτέλεσμα» (Badiou 1988: 32). Το είναι υφαιρείται από τη διαλεκτική του ενός και των πολλών, δηλαδή δεν υπάρχει δομή του είναι. Οι φιλοσοφικές «οντολογίες» του παρελθόντος ενέδωσαν στον «Μεγάλο Πειρασμό», προκειμένου να αποφύγουν τον κίνδυνο εγκλωβισμού, υποστηρίζοντας ότι η οντολογία δεν είναι κατάσταση[15]. Όπως στην αρνητική θεολογία, όπου βεβαιώνεται το άφατο εν του είναι σε ρήξη τόσο με την πολλαπλότητα κάθε παρουσίασης όσο και με το εν κάθε καταμέτρησης (επίσης η ιδέα του Αγαθού στον Πλάτωνα, που είναι εκείνη επί τη βάσει της οποίας οι υπόλοιπες αποκτούν το είναι τους). Οι οντολογίες της Παρουσίας θεμελιώνονται στην απόφαση υπέρ της διακήρυξης ότι επέκεινα του πολλαπλού υπάρχει το εν. Ο ίδιος ο Cantor αμφιταλαντεύεται μεταξύ της οντο-θεολογίας και της μαθηματικής οντολογίας[16]. Απέναντι στις «οντολογίες της παρουσίας», ή ακόμη και της «απόσυρσης από την παρουσία», ο Badiou προτείνει τον μινιμαλισμό της υφαίρεσης.

   Οι συνέπειες των φημισμένων παραδόξων της συνολοθεωρίας είναι δύο τάξεων: α) είναι αναγκαίο να εγκαταλείψουμε κάθε ελπίδα ρητού ορισμού της έννοιας του συνόλου, δεδομένου ότι ούτε η [καθημερινή ή ποιητική] γλώσσα ούτε η ενόραση [με τη μαθηματική έννοια] είναι ικανές να υποστηρίξουν το αμιγές πολλαπλό, όντας αυτό καταμετρημένο-ως-εν, με μια μονοσήμαντη έννοια. β) είναι αναγκαίο να απαγορευθούν τα παραδοξολογικά πολλαπλά που θέτουν σε κίνδυνο τη συνεκτικότητα της χρησιμοποιούμενης αξιωματικής γλώσσας. Αυτό το διπλό εγχείρημα ανέλαβαν να φέρουν εις πέρας, μεταξύ των ετών 1908-1940, οι Zermelo, Fraenkel, von Neumann και Gödel[17]. Η αξιωματικοποίηση δεν αποτελεί τεχνητή σύμβαση χάριν της αρτιότερης τυπικής έκθεσης, αλλά μιαν ενδογενή αναγκαιότητα, προκειμένου το πολλαπλό «να παραδοθεί δίχως έννοια, τουτέστιν, δίχως να υπονοεί το είναι-του-ενός» (Badiou 1988: 55). Στο αξιωματικό σύστημα Zermelo-Fraenkel, σε αντίθεση με τον λογικισμό του Frege, η κατασκευασμένη τυπική γλώσσα δεν διασφαλίζει την ύπαρξη, αλλά επιτελεί διακρίσεις εντός της. Πάντοτε, δηλαδή, προϋποτίθεται η ύπαρξη ενός τουλάχιστον συνόλου της τυπικής έκθεσης των αξιωμάτων, αντί να έπεται αυτής (τα μόνα υπαρκτικά αξιωματα αφορούν, ακριβώς, το κενό σύνολο και το αριθμήσιμο άπειρο).

   Ας διευκρινίσουμε τώρα τι δεν αφορά αυτή η θέση: Ο Badiou δεν είναι κάποιου είδους πυθαγόρειος, δεν υποστηρίζει μια θεωρία ισομορφισμού ή αντανάκλασης μεταξύ μαθηματικών και κόσμου· δεν ισχυρίζεται ότι ο κόσμος έχει μαθηματική δομή, ούτε ότι το θεμελιακό επίπεδό του έχει τη μορφή μαθηματικών αντικειμένων. «Η θέση που υποστηρίζω δε διακηρύσσει με κανέναν τρόπο ότι το είναι είναι μαθηματικό, τουτέστιν αποτελούμενο από μαθηματικές αντικειμενικότητες. Δεν είναι μια θέση για τον κόσμο αλλά για τον λόγο [discours, εννοεί τον λόγο που αφορά τον κόσμο –Κ.Φ.]. Καταφάσκει ότι τα μαθηματικά, κατά τη διάρκεια όλου του ιστορικού τους γίγνεσθαι, προφέρουν [prononcent] εκείνο που είναι εκφράσιμο [dicible] από το είναι-ως-είναι [...] Όλα όσα γνωρίζουμε, και όλα όσα θα μπορούσαμε ποτέ να γνωρίσουμε σχετικά με το είναι-ως-είναι, διατίθενται, στη μεσολάβηση μιας αμιγούς θεωρίας του πολλαπλού, από την λεκτική [discursive[18]] ιστορικότητα των μαθηματικών» (Badiou, 1988: 14-15).

   Επίσης, όπως αναφέρθηκε, η θέση αυτή λίγο αφορά τη φιλοσοφία των μαθηματικών, τον κλάδο εκείνο της φιλοσοφίας που αφορά το οντολογικό και επιστημολογικό στάτους των μαθηματικών «αντικειμένων»[19]. Ο Badiou προβαίνει στη διάκριση μεταξύ ενός «μικρού» κι ενός «μεγάλου ύφους» στη συσχέτιση φιλοσοφίας και μαθηματικών (Badiou, 2004: 3-7). Το πρώτο εμπίπτει σε ό,τι ακριβώς ονομάζεται «φιλοσοφία των μαθηματικών» και υπάγεται στον τομέα εξειδίκευσης που αφορά την ιστορία και επιστημολογία των επιστημών. Χαρακτηριστικά του είναι ο υποβιβασμός των μαθηματικών σε αντικείμενο του φιλοσοφικού στοχασμού, όπου η πραγμάτευσή τους λαμβάνει χώρα υπό ιστορικιστικό και ταξινομητικό πρίσμα. Αντίθετα, το μεγάλο ύφος, στο οποίο ο ίδιος εγγράφεται, ακολουθώντας μια «ένδοξη» γραμμή φιλοσόφων που εκκινεί από τον Πλάτωνα, δέχεται την ικανότητα των μαθηματικών να σκέφτονται αφεαυτών, επηρεάζοντας έτσι τις δυνατότητες και τις προοπτικές της εκάστοτε συγκαιρινής τους φιλοσοφίας, με το να λειτουργούν ως όρος για την άσκησή της. Κατ’ αυτόν, είναι επιτακτική η ανάγκη να επανευρεθούν σήμερα οι συνθήκες για την επιτέλεση ενός ακόμη βήματος προς τα εμπρός σε αυτή την κατεύθυνση. Αντιτίθεται στο συνηθισμένο φαινομενολογικό επιχείρημα ότι τα μαθηματικά αποπτωχεύουν την χαοτική ποικιλομορφία και την πολυπλοκότητα του κόσμου της ζωής, από το γόνιμο υπέδαφος του οποίου αποσπώνται ως νοητικές αφαιρέσεις. Η άποψη αυτή αντιμετωπίζεται ως ιντουϊσιονισμός δευτέρας διαλογής από τον Badiou, που σπεύδει να προσθέσει ότι, αντιθέτως, είναι ο πλούτος των μαθηματικών δομών που υπερβαίνει κατά πολύ την παλέτα του εμπειρικού κόσμου, εκπλήσσοντας τη διαίσθηση του κοινού νου (Badiou, 2004: 73).

   Τόσο οι φιλόσοφοι όσο και οι μαθηματικοί αντιδρούν αρνητικά απέναντι στη διατύπωση αυτής της θέσης. Οι πρώτοι γιατί αισθάνονται ότι τους στερείται το έσχατο καταφύγιό τους ή το κατεξοχήν πεδίο του τομέα απασχόλησής τους, οι δεύτεροι επειδή στέκονται καχύποπτοι απέναντι στους φιλοσόφους που πραγματεύονται γενικά ζητήματα μαθηματικών. Το ζητούμενο κατ' αυτούς είναι η τεχνική επάρκεια όσον αφορά τα τωρινά, ενεργά προβλήματα του κλάδου τους[20]. Όμως, η κατάφαση της εξίσωσης των μαθηματικών με την οντολογία αποτελεί μία μετα-οντολογική (δηλαδή φιλοσοφική) θέση που αφορά την ιστορικότητα αυτού του επιστημονικού πεδίου. Δεν ισχυρίζεται ο Badiou ότι η ΑΘΣ είναι η πλέον ενδιαφέρουσα, θεμελιώδης ή καινοτόμος θεωρία των μαθηματικών (παρατηρεί ότι ως προς αυτά έχει τεθεί στο περιθώριο από τομείς όπως η αλγεβρική τοπολογία ή η διαφορική γεωμετρία), ούτε ότι δεν ενδέχεται κάποια άλλη θεωρία, ή κάποια άλλη από αυτήν που προτείνει αξιωματικοποίηση της ίδιας θεωρίας, να αποδειχθεί περισσότερο πρόσφορη για να οργανώσει ό,τι είναι εγγράψιμο από το είναι-ως-είναι. Εάν ο ίδιος προτείνει το αξιωματικό σύστημα ZFC, αυτό συμβαίνει επί τη βάσει μιας απόφασης που επικαθορίζεται από μια λογικά προγενέστερη φιλοσοφική προβληματική[21]. Είναι η ιδιαίτερη «αποτελεσματικότητα» της ΑΘΣ, εν ολίγοις, η ικανότητά της να επιλύει, να ανανοηματοδοτεί ή να «αναζωογονεί» παραδοσιακά φιλοσοφικά προβλήματα αυτή που της δίνει το δικαίωμα να «χρισθεί» αναδρομικά ως επιστήμη του είναι. Τα προβλήματα αυτά αφορούν τη σχέση του ενός και των πολλών, του όλου και των μερών, του περατού και του απείρου, του συνεχούς και του διακριτού κλπ. Η απόφαση υπέρ της ευρετικής ισχύος της υπόθεσης ότι τα μαθηματικά συνιστούν το αρμόδιο πεδίο στοχασμού του είναι στη γενικότητά του, ανοίγει μονοπάτια σύνδεσης της σκέψης του Badiou με διακριτές φιλοσοφικές παραδόσεις, όπως εκείνες του πραγματισμού και της αποφασιοκρατίας. Τίποτε δε μας εμποδίζει να αναγνώσουμε υπό ένα τέτοιο ερμηνευτικό πρίσμα την εξίσωση, αρκεί να γνωρίζουμε ότι αντιβαίνει τις διακηρυγμένες προθέσεις του φιλοσόφου. Συχνά εγείρεται η δεύτερη κατηγορία (του ντεσιζιονισμού), λόγω της κομβικής σημασίας που έχει η κατηγορία/πράξη της/μιας απόφασης σε ποικίλες όψεις του έργου του (αυτήν παραδείγματος χάριν που καταφάσκει την πραγματικότητα της συμβαντικής έλευσης, η οποία βρίσκεται στην αρχή μιας διαδικασίας υποκειμενοποίησης, ή εκείνην που αφορά τον μέχρις ενός σημείου αυθαίρετο υπολογισμό της περίσσειας του κράτους της κατάστασης ως προς την κατάσταση την ίδια [δηλαδή του δυναμοσυνόλου ενός απειροσυνόλου ως προς το σύνολο αυτό – θέματα που δε μας απασχολούν εδώ]). Αυτό που μπορούμε να επισημάνουμε εμείς είναι ότι, σε συνέπεια προς και σε συνέχεια με τον πρώιμο θαυμασμό του για τον Sartre, ο Badiou θέτει στο κέντρο της μετα-οντολογικής προβληματικής του μια στρατευμένη θεωρία του υποκειμένου, και η ιστορία της αξιωματικοποίησης της ΘΣ αποτελεί μια τέτοια εργώδη πιστότητα στο «συμβάν Cantor», οπότε μόνο παράξενο δεν είναι ότι οι ακολουθητέοι προσανατολισμοί της σκέψης καθορίζονται από μια στρατηγικά υπολογισμένη και ενέχουσα ρίσκο απόφαση.

Ενδεικτική βιβλιογραφία

-Alain Badiou, L’ etre et l’ evenement, 1988, ed. Seuil.

-Badiou, Alain, Number and Numbers, trans. Robin Mackay, Polity Press, 2008 [1990].

-Badiou, Alain, Brassier, Ray & Toscano, Alberto (eds.): Theoretical Writings, Continuum, 2004, pp. 1-65. [2006 δεύτερη έκδοση με επίλογο].

-Badiou, Alain, Being and Event, trans. Oliver Feltham, Continuum, London, 2005 [1988], pp. 1-69.

Μελέτες και άρθρα για τη μαθηματική οντολογία του Badiou:

-Baki, Burhannudin, Badiou's Being and Event and the Mathematics of Set Theory, Bloomsbury, 2015, pp. 11-33.

-de Beistegui, Miguel, “The Ontological Dispute: Badiou, Heidegger, and Deleuze”, in: Riera (ed.) 2005, pp. 45-58.

-Bowden S., “Alain Badiou: Problematics and the different senses of being in Being and event”, Parrhesia, number 5 (2008), pp. 32-47.

-Bowden, Sean and Duffy, Simon (eds), Badiou and Philosophy, Edinburgh University Press, 2012, pp. 19-96.

-Clemens, Justin, “Platonic Meditations: The Work of Alain Badiou, Pli 11 (2001), 200-229.

-Desanti, Jean-Toussaint, “Some Remarks on the Intrinsic Ontology of Alain Badiou”, in : Hallward, Peter (ed.), Think Again: Alain Badiou and the Future of Philosophy, London-New York, Continuum, 2004, pp. 59-66.

Duffy, Simon, “Badiou’s Platonism: The Mathematical Ideas of Post-Cantorian Set Theory”, in: Bowden & Duffy (eds), 2012, pp. 59-78.

-Simon B. Duffy, Deleuze and the History of Mathematics: In Defense of the "New", Bloomsbury, 2013, 139-160.

-Feltham, Oliver, Alain Badiou: Live Theory, Continuum, London-New York, 2008, pp. 84-135.

-Franchella, Miriam, “Some Reflections about Alain Badiou's Approach to Platonism in Mathematics”, Analytica, No. 1, 2007, pp. 67-81.

-Gillespie, Sam, (2008), The Mathematics of Novelty: Badiou's Minimalist Metaphysics, re.press, 2008, pp. 45-69.

-Gironi, Fabio, Naturalising Badiou. Mathematical Ontology and Structural Realism, Palgrave MacMillan, 2015, pp. 1-33.

-Gomes, Glenn, “Of Mathematics and Radical Change: Alain Badiou's Set-Theoretical Ontology”,

-Hallward, Peter, Badiou: A Subject to Truth, University of Minnesota Press, 2003, pp. 49-106, 323-348.

-Ling, Alex, “Ontology”, στο: Bartlett, A. J. & Clemens, Justin (eds.), Alain Badiou: Key Concepts, Acumen, 2010, pp. 48-58.

-Livingston, Paul M. (2008) “Review of Being and Event”, Inquiry, 51:2, 217 – 238.

-Livingston, Paul M., The Politics of Logic: Badiou, Wittgenstein, and the Consequences of Formalism. New York: Routledge, 2012.

-Livingston, Paul M., “Badiou Mathematics and Model Theory”, 2011.

-Livingston, Paul M., “Badiou and the Consequences of Formalism”, 2011.

-Nirenberg, Ricardo L. & Nirenberg, David, “Badiou's Number: A Critique of Mathematics as Ontology”, Critical Inquiry 37 (Summer 2011), pp. 583-614.

-Norris, Christopher, Badiou's Being and Event: A Reader's Guide, Continuum, 2009, pp. 37-79.

-Norris, Christopher, “Tractatus Mathematico-Politicus on Alain Badiou's Being and Event”, Speculations, Volume 2, pp. 7-48.

-Phelps, Hollis, Alain Badiou: Between Theology and Anti-Theology, Acumen, 2013, pp. 13-50.

-Plotnitsky, Arkady, “Experimenting With Ontologies: Sets, Spaces, and Topoi with Badiou and Grothendieck”, Environment and Planning D: Society and Space, Volume 30, 2012, pp. 351-368.

 -Pluth, Ed, Badiou: A Philosophy of the New, Cambridge: Polity Press, 2010, pp. 29-47.

-Riera, Gabriel (ed.), Alain Badiou: Philosophy and its Conditions, SUNY Press, 2005, pp. 21-58.

-Ρουσόπουλος, Γιώργος, Επιστημολογία των μαθηματικών: αναλυτικο-αναφορικότητα και νομιμοποίηση στα νεότερα μαθηματικά, Αθήνα: Gutenberg, 1991.

-Smith, Daniel W., “Mathematics and the Theory of Multiplicities: Badiou and Deleuze Revisited”, in: Essays on Deleuze, Edinburgh University Press, 2012.

-Tho, Tzuchien, “What Is Post-Cantorian Thought? Transfinitude and the Conditions of Philosophy”, in: Bowden & Duffy (eds) 2012, pp. 19-38.

http://www.tovima.gr/science/article/?aid=440349 - Στάθης Λειβαδάς, «Στον λαβύρινθο του απείρου. Η αναζήτηση του “ενδιάμεσου” επιπέδου απειρίας δίνει τροφή για νέες θεωρίες», «ΒΗΜΑ science», 30/01/2012.

---

[1] . «Η αρχική θέση του εγχειρήματός μου [...] είναι η εξής: η επιστήμη του είναι-ως-είναι υπήρχε από την εποχή των Ελλήνων – τέτοια είναι το νόημα και η κατάσταση των μαθηματικών. Ωστόσο, είναι σήμερα μόνο που έχουμε τα μέσα να το γνωρίζουμε αυτό. Έπεται από αυτήν τη θέση ότι η φιλοσοφία δεν έχει ως κέντρο την οντολογία – η οποία υπάρχει ως ξέχωρος και ακριβής τομέας-, αλλά ότι κυκλοφορεί μεταξύ της οντολογίας αυτής, των σύγχρονων θεωριών του υποκειμένου και της ίδιας της ιστορίας της» (Badiou 1988: 9), και επίσης Badiou, 2004: 47).

[2] . Αξίωμα της Επιλογής: «Σύμφωνα με αυτό, αν έχουμε ένα μη κενό σύνολο συνόλων, τότε μπορούμε να επιλέξουμε από το καθένα από αυτά ένα στοιχείο, σχηματίζοντας έτσι ένα νέο σύνολο» (Ρουσόπουλος, 1991: 84). Χαρακτηριστικό είναι το παράδειγμα του Russell: εάν είχαμε να διαλέξουμε από άπειρα ζευγάρια παπουτσιών, η λύση θα ήταν εύκολη, καθώς θα αρκούσε λόγου χάριν να πάρουμε το αριστερό παπούτσι από κάθε ζευγάρι. Αλλά σε μια άπειρη συλλογή από ζεύγη ομοιόμορφων καλτσών ένα τέτοιο κριτήριο επιλογής δεν είναι διαθέσιμο. Το αξίωμα αυτό επιτρέπει αυτήν ακριβώς την αυθαιρεσία επιλογής στοιχείων από διαφορετικά υποσύνολα ενός άπειρου συνόλου. Η σημασία του θα αποδειχθεί καθοριστική για το σύστημα του Badiou στη συζήτηση για το υποκείμενο και το forcing.

[3] . Τα μαθηματικά, δηλαδή η αξιωματική συνολοθεωρία, είναι η επιστήμη του είναι-ως-είναι, δηλαδή η επιστήμη η αρμόδια να αποφανθεί για οτιδήποτε υπάρχει, στο βαθμό ακριβώς που υπάρχει, η ενεργός οντολογία. «Εάν δεν μπορεί να υπάρχει μία παρουσίαση του είναι, αφού το είναι προκύπτει σε κάθε παρουσίαση -και αυτός είναι ο λόγος που δεν παρουσιάζεται το ίδιο-, μονάχα μία λύση μας απομένει: το να είναι η οντολογική κατάσταση η παρουσίαση της παρουσίασης» (Badiou 1988: 35-36).

[4] . «Να επινοήσω μια σύγχρονη πιστότητα προς εκείνο που δεν είχε ποτέ υπαχθεί στον ιστοριακό περιορισμό της οντο-θεολογίας ή στην κελευστική εξουσία του ενός – τέτοιος ήταν και παραμένει ο σκοπός μου» (Badiou, 2004: 41).

[5] . Μου προξενεί εντύπωση πως ένας τόσο διορατικός αναγνώστης όσο ο Miguel de Beistegui ισχυρίζεται ότι «εάν υφίσταται μια μπαντιουϊκή οντολογία, δεν υπάρχει χώρος για την οντολογική διαφορά εντός της» (Riera, 2005: 50).

[6] . Η έτερη σημαντική σχέση εντός της ΘΣ, εκείνη της συμπερίληψης, είναι αναγώγιμη σε αυτήν, αφού ο συμβολισμός της αποτελεί μια συντομογραφία για το εξής: β ⊂ α = (∀γ)[(γ∈β → γ∈α)], δηλαδή για κάθε γ, εάν το γ ανήκει στο β τότε το γ ανήκει στο α (Badiou, 1988: 97).

[7] . Ορισμός Cantor: «Με “σύνολο” [Menge] εννοούμε μια συλλογή σε ένα όλον [Zusammenfassung zu einem Ganzen] Μ καθορισμένων και διακριτών αντικειμένων m της εποπτείας ή της σκέψης μας. Τα αντικείμενα αυτά καλούνται “στοιχεία” του M». Ο διάσημος ορισμός του Cantor, παρατιθέμενος στο: Ρουσόπουλος, 1991: 54. Στη σελίδα 171, υποσημείωση 24, διαβάζουμε άλλους τρεις παρεμφερείς ορισμούς. «Πρόκειται για ένα διαισθητικό ορισμό ο οποίος σύντομα οδηγεί σε παράδοξα (ή είναι τουλάχιστον ασαφής, όπως συχνά πολλές θεμελιώδεις μαθηματικές έννοιες των νεότερων μαθηματικών» (Ρουσόπουλος, 1991: 54).

[8] . Όσον αφορά τη σχέση της κατοπινής, αξιωματικοποιημένης θεωρίας με τον Cantor, ο Tzuchien Tho επισημαίνει ότι, παρά τις αναφορές του στο «συμβάν Cantor», η ΑΘΣ (ZF) θεμελιώνεται πάνω στο κενό σύνολο και τη σχέση του ανήκειν, αφήνοντας κάποιον να αναρωτιέται για το ποια είναι η πραγματική οφειλή του Badiou στον θεμελιωτή της θεωρίας: «Η συνολοθεωρία ZF δεν είναι καντοριανή: είναι μάλλον μία [συνολοθεωρία] που αποφεύγει τον αρχικό ορισμό της έννοιας του συνόλου του Cantor, μια θεωρία συνόλων που απορρίπτει τον ορισμό του συνόλου που παρείχε ο Cantor όπως και οιονδήποτε άλλον εκτός από έναν εμμενή, συγκροτούμενο από την ελάχιστη σχέση του ανήκειν (∈). […] Αυτές οι δύο όψεις [η πρωταρχική σχέση του ανήκειν και η οντολογική πρωτοκαθεδρία του κενού συνόλου] της ΑΘΣ ρητά απομακρύνονται από την αφελή σύλληψη των συνόλων του Cantor, την οικοδομηθείσα πάνω σε μια έκκληση στη διαίσθηση για να χορηγήσει τα “αντικείμενα” που θα συναθροίζονταν για να σχηματίσουν ένα σύνολο. Είναι αυτή η απόσταση που συγκροτεί το έδαφος της οντολογίας του Badiou» (Tho, 2012: 32-33).

[9] . «Εάν μία οντολογία είναι δυνατή, τουτέστιν μια παρουσίαση της παρουσίασης, τότε είναι η κατάσταση του αμιγούς πολλαπλού, του πολλαπλού “καθεαυτόν”. Ακριβέστερα: η οντολογία δε μπορεί παρά να είναι η θεωρία των μη-συνεκτικών πολλαπλοτήτων ως τέτοιων [...] Η οντολογία, στο βαθμό που υπάρχει, θα είναι αναγκαίως η επιστήμη του πολλαπλού ως πολλαπλού» (Badiou 1988: 36). Και επίσης Badiou, 2004: 46.

[10] . «Οι Έλληνες, ο Descartes, ο Newton, ο Euler και πολλοί άλλοι πίστευαν ότι τα μαθηματικά ήταν η ορθή περιγραφή πραγματικών φαινομένων και θεωρούσαν το έργο τους ως την αποκάλυψη του μαθηματικού σχεδίου του σύμπαντος. Τα μαθηματικά ασχολούντο με αφαιρέσεις, αλλά αυτές δεν ήταν κάτι περισσότερο από τις ιδεατές μορφές φυσικών αντικειμένων ή συμβάντων» (Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Oxford: Oxford University Press, 1972, p. 1028, παρατιθέμενο στο: Ηallward, 2003: 76).

[11] . Περί της σχέσης του με τον μαθηματικό πλατωνισμό: «Αντί να εμπλακεί με τον Πλάτωνα που εμφανίζεται στον οντολογικό ρεαλισμό της ορθόδοξης πλατωνικής προσέγγισης στη φιλοσοφία των μαθηματικών, ο Badiou είναι προσηλωμένος να χαρακτηρίζει [να ξεχωρίζει ως φιλοσοφικά σημαντικό] τον Πλάτωνα που απαντά στις απαιτήσεις της μετα-καντοριανής θεωρίας συνόλων, και θεωρεί ότι η φιλοσοφία του Πλάτωνα παρέχει μια απάντηση σε μια τέτοια πρόκληση. Στην ουσία, ο Badiou επαναπροσανατολίζει τον μαθηματικό πλατωνισμό από μια επιστημολογική σε μια οντολογική προβληματική, μια κίνηση που εδράζεται στην ευλογοφάνεια απόρριψης της εμπειριστικής οντολογίας που υποβαστάζει τον ορθόδοξο μαθηματικό πλατωνισμό» (Duffy, 2012: 59) Η ανάγνωση του Πλάτωνα από τον Badiou, απορρίπτοντας τον δυισμό υποκειμένου-αντικειμένου που έχει νεωτερική προέλευση, στηρίζεται στην οντολογική συμβατότητα νου και ιδέας, δηλαδή στην κατάφαση και επαναδιατύπωση της παρμενίδειας θέσης: σκέψη και κόσμος είναι καταρχήν συνεκτατοί. Ό,τι υπάρχει, η σκέψη μπορεί να το συλλάβει, και ό,τι η καθαρή σκέψη μπορεί να συλλάβει αποτελεί τον γενικό οντολογικό «σκελετό». Βλέπε Badiou, 2004: 49. Για τα ρεύματα φιλοσοφίας των μαθηματικών βλέπε Hallward, 2003: 71-78 και Αναπολιτάνος, 2009: 217-299.

[12] . «Ο Badiou εδώ αποκαλύπτει επίσης τις φορμαλιστικές τάσεις του συμμεριζόμενος την εννόηση [των φορμαλιστών] ότι το θεώρημα ακολουθεί λογικά από τα αξιώματά του, μολονότι πρόκειται για έναν φορμαλισμό χωρίς την υποβόσκουσα περατοκρατία [finitism] που συνοδεύει τη συνήθη παρουσίασή του στη φιλοσοφία των μαθηματικών ως χειρισμού και ερμηνείας πεπερασμένων ακολουθιών συμβόλων» (Duffy, 2012: 64).

[13] . Για τους υπερπεπερασμένους αριθμούς βλέπε: α) Hallward, 2003: 66-71 και 328-334, β) Baki, 2015: 132-134, γ) Duffy, 2012: 66-68 και Duffy, 2013: 146-148.

[14] . Αποδίδω τον όρο opératoire (αγγλικά: operational) ως επιχειρησιακό και όχι, λόγου χάριν, «λειτουργικό», «τελεστικό» ή «εγχειρηματικό», καθώς όχι μόνον είναι η ορθότερη -από την άποψη της ακρίβειας- απόδοση του νοηματικού περιεχομένου του, αλλά διατηρεί τη συνήχηση με τον χώρο της στρατηγικής και της διαχείρισης, και με τις συνακόλουθες δυναμικές προεκτάσεις. Αντίστοιχα, μεταφράζω το “operation” ως «επιχειρησιακή λειτουργία», καθώς ο ακριβής όρος «επιχείρηση» παραπέμπει αλλού (business), ενώ ο όρος «λειτουργία» (function) θυσιάζει αυτές ακριβώς τις αποχρώσεις που ανέφερα. Ας σημειωθεί ότι υπάρχουν δύο ακόμη συναφείς λέξεις, που όμως μικρή σημασία έχουν εδώ, οι “operative” («λειτουργικός», εναλλάξιμος με το “functional”) και “opérateur”/“operator” (συνήθως αποδίδεται ως «χειριστής», λχ κάποιας συσκευής, αλλά και ως «τελεστής» όταν προέρχεται από τα μαθηματικά και τη λογική, και με αυτήν ακριβώς την έννοια θα τον συναντήσουμε αργότερα).

[15] . Η οντολογία είναι μια ιδιαίτερη κατάσταση, χωρίς κράτος, αφού το σύνολο όλων των συνόλων δεν είναι σύνολο (δεν υπάρχει) στο σύμπαν της ZFC. Η οντολογική κατάσταση δεν είναι σύνολο, αλλά μοντέλο. Αυτό σημαίνει ότι τροποποιείται ριζικά αλλά δεν εξαλείφεται η οντολογική διαφορά. Βλέπε τον επίλογο των επιμελητών στη δεύτερη έκδοση των Θεωρητικών γραπτών (Badiou, 2006: 269) και την αμφισημία της έννοιας της κατάστασης στο: Baki, 2015: 70-81.

[16] . Είναι οπωσδήποτε ειρωνικό ότι ο άνθρωπος που συνέβαλε στην εκδίωξη των θρησκευτικών αντιλήψεων για το άπειρο από τα μαθηματικά, εμφορείτο ο ίδιος από τέτοιου είδους αντιλήψεις: «Οι απόψεις του Cantor για το πεδίο των υπερπεπερασμένων αριθμών αναδύονται μέσα από ένα μίγμα μαθηματικών εποπτειών και θεολογικο-φιλοσοφικού μυστικισμού» (Ρουσόπουλος, 1991: 54). Ο Cantor πίστευε ότι πέρα από τα συνεκτικά σύνολα -και ως εχέγγυο ακριβώς της συνεκτικότητάς τους- υπήρχε μια μη-συνεκτική επικράτεια του απείρως απείρου, όπου ο (πιστός) μαθηματικός θα μπορούσε να κλίνει την κεφαλήν.

[17] . Όπως το θέτει με χαρακτηριστική σαφήνεια ο von Neumann: «Στο πνεύμα της αξιωματικής μεθόδου δεν καταλαβαίνει κάποιος ως “σύνολο” τίποτε παρά ένα αντικείμενο για το οποίο κανείς δεν ξέρει περισσότερα και ούτε θέλει να μάθει περισσότερα από ό,τι ακολουθεί σχετικά με αυτό από τα αξιώματα» (John von Neumann, “An Axiomatisation of Set Theory”, στο: From Cantor to Gödel, όπως παρατίθεται στο Hallward, 2003: 336).

[18] . Το επίθετο “discursif” μπορεί να αποδοθεί με πλήθος όρων στα ελληνικά, αναλόγως του εκάστοτε πλαισίο. Όταν για παράδειγμα προσδιορίζει την ηθική του Habermas, αποδίδεται ως «διαλογική», όταν το πλαίσιο είναι γλωσσολογικό και αφορά την ανάλυση λόγου, όπως στον Laclau, αποδίδεται ως «ρηματικός-ή» κλπ. Έχει επίσης τη σημασία του έλλογου ή ορθολογικού.

[19] . «Ισχυριζόμενος ότι τα μαθηματικά είναι η οντολογία, ο Badiou επαναπροσανατολίζει τη διαμάχη από ένα επιστημολογικό ερώτημα περί της φύσεως της σχέσης μεταξύ μαθηματικής γλώσσας και μαθηματικών αντικειμένων σε ένα οντολογικό ερώτημα περί του πώς το είναι καθίσταται στοχάσιμο και του πώς τα μαθηματικά εμπλέκονται σε αυτό το ερώτημα» (Duffy, 2012: 73).

[20] . Πρόκειται για την μπαντιουϊκή εκδοχή της αφήγησης περί της «λήθης του είναι» που είναι διαρκής, αναπόφευκτη αλλά και -από τον Cantor και μετά- καταρχήν αναστρέψιμη ανά πάσα ώρα και στιγμή. Οι μαθηματικοί δε γνωρίζουν ότι στοχάζονται το είναι-ως-είναι, δε χρειάζεται να το γνωρίζουν κατά τη νικηφόρο προέλασή τους ή ενδεχομένως -ας μας επιτραπεί μια σαρτρική διατύπωση- το γνωρίζουν τόσο καλά που καταλήγουν να μην το γνωρίζουν (Badiou, 1988: 486).

[21] . Ο Sean Bowden επισημαίνει ότι η ταύτιση των μαθηματικών με την οντολογία είναι δυνατή μονάχα επί τη βάσει μιας προγενέστερης φιλοσοφικής προβληματικής. Το εν και τα πολλά, η φύση ως ποίημα και η Φύση ως Ιδέα, τα μέρη και το όλον, το περατό και το άπειρο (η κατανομή δηλαδή του είναι-εν-ολότητι), το συνεχές και το διακριτό: είναι επειδή η ΘΣ παρέχει διεξόδους σε αυτά τα παραδοσιακά ζητήματα που της παραχωρείται μια τόσο προνομιακή θέση. Πρόκειται για θεωρητική οφειλή του στον Lautman. Έτσι, όμως, ο Badiou θυσιάζει τη μονοσημία, αφού «το Είναι λέγεται μια φορά για την οντολογία σε συμφωνία με ό,τι ονόμασα μια φιλοσοφική προβληματική· και λέγεται μία ακόμη για ό,τι η οντολογία μπορεί να πει εν γένει σε συμφωνία με αυτή τη φιλοσοφική προβληματική». Έτερο αποτέλεσμα αυτού αποτελεί η αδυναμία του φιλοσόφου «να στοχαστεί τη σχέση του με ένα άλλο φιλοσοφικό σύστημα που παρουσιάζεται ως μια διαφορετική αλλά εξίσου συστηματική λύση στα ίδια προβλήματα τα οποία επιλύει η οντολογία του Badiou, ει μη μόνον ως μη αναγώγιμη υποκειμενική σύγκρουση» (Bowden, 2008 : 43) [έχει υπόψη του τον Deleuze]. Ακόμη, «φαίνεται ότι ο Badiou δεν μπορεί να καλωσορίσει αυτές τις καινοτόμες αλήθειες -στα πεδία της επιστήμης, της τέχνης, της πολιτικής και του έρωτα- οι οποίες δε θα ήταν συνδυνατές με εκείνες που αποτελούν το φιλοσοφικό του σύστημα». Μια ελάχιστα διαφορετική εκδοχή του ίδιου κειμένου δημοσιεύθηκε στη συλλογή Badiou and Philosophy (2012), σελίδες 39-58. Για τη σχέση Deleuze και Badiou όσον αφορά το ρόλο και τη σημασία των μαθηματικών για τη φιλοσοφία βλέπε Smith, 2012 και Duffy, 2013.