Σάββατο, 15 Φεβρουαρίου 2014

Η θεωρία συνόλων ως υπόδειγμα για την επιθυμία και τον νόμο

 
 
 
 
Το σημείο εκκίνησής μου μάλλον θα σας φανεί απομακρυσμένο απ’ το θέμα μας. Θα ξεκινήσω λοιπόν μ’ έναν λογικό αστεϊσμό. Ας υποθέσουμε ότι έχετε μια μεγάλη πιατέλα που συνήθως είναι γεμάτη νόστιμα φρούτα — μήλα, αχλάδια, φράουλες, δαμάσκηνα … Όπως αντιλαμβάνεστε, μια τέτοια πιατέλα διεγείρει την επιθυμία σας. Μία μέρα, όμως, χωρίς κανένας να ξέρει γιατί και πώς, το περιεχόμενό της αλλάζει εντελώς: δίπλα στα μήλα, στ’ αχλάδια, στις φράουλες και στα δαμάσκηνα, υπάρχει ένα αποκρουστικό συνονθύλευμα από χαλίκια, σαλιγκάρια, σβώλους λάσπης, ψόφια βατράχια και γαϊδουράγκαθα. Τώρα, όπως καταλαβαίνετε, νιώθετε την παρόρμηση να βάλετε σε τάξη το περιεχόμενο τής πιατέλας· με άλλα λόγια, να ξεχωρίσετε τα καλά απ’ τα αηδιαστικά αντικείμενα. Το πρόβλημα που αντιμετωπίζετε είναι πρόβλημα ταξινόμησης. Έτσι λοιπόν αρχίζει το ανέκδοτό μου. Και το ερώτημα που τίθεται είναι το εξής: ποια ακριβώς είναι τα σωστά μέρη τού περιεχομένου μετά από τη μεταμόρφωση που σας περιέγραψα;
 
Ας θεωρήσουμε το περιεχόμενο ως καθαρό σύνολο. Τα στοιχεία τού συνόλου, ό,τι δηλαδή περιέχει η πιατέλα, είναι βεβαίως τα μήλα, οι φράουλες, τα γαϊδουράγκαθα, οι σβώλοι και τα ψόφια βατράχια. Καμιά αντίρρηση επ’ αυτού. Αλλά ποια είναι τα μέρη ή, αν προτιμάτε, τα υποσύνολα τού συνόλου των περιεχομένων τής πιατέλας; Από τη μια μεριά, έχετε τα μέρη με καθορισμένο όνομα. Πάρτε, για παράδειγμα, το μέρος που περιέχει όλες τις φράουλες: πρόκειται για ένα διακριτό υποσύνολο τής πιατέλας. Μπορείτε επίσης να πάρετε ως υποσύνολο όλα τα ψόφια βατράχια. Αυτό είναι μεν ένα απαίσιο μέρος, αλλά δεν παύει να αποτελεί υποσύνολο τού αρχικού συνόλου, και μάλιστα υποσύνολο με καθορισμένο όνομα. Μπορείτε ομοίως να πάρετε ένα μεγαλύτερο, γενικότερο υποσύνολο, όπως, λόγου χάριν, αυτό που περιέχει όλα τα φρούτα. Και στην περίπτωση αυτή πρόκειται για ένα υποσύνολο με καθορισμένο όνομα. Μπορούμε έτσι να πούμε ότι, από πλευράς γλώσσας, αυτού τού είδους τα υποσύνολα συνδέονται μ’ ένα ευκρινές κατηγόρημα· πρόκειται, αν θέλετε, για κατηγορικά υποσύνολα. Από την άλλη, όμως, μεριά, θα βρείτε και κάποιες ιδιόρρυθμες πολλαπλότητες. Τι μπορούμε να πούμε για ένα υποσύνολο που έχει ως στοιχεία του δύο μήλα, τρία γαϊδουράγκαθα και τρεις σβώλους ξερής λάσπης; Είναι προφανώς μέρος τού περιεχομένου τής πιατέλας. Αλλά, είναι εξίσου προφανές ότι είναι ένα ανώνυμο υποσύνολο, ένα μέρος χωρίς καθορισμένο όνομα. Όταν πρόκειται για τέτοιου είδους υποσύνολα ή συστατικά μέρη, μπορείτε βεβαίως να κάνετε μια λίστα με τα στοιχεία που τους ανήκουν, να πείτε δηλαδή ότι εδώ υπάρχει αυτό κι αυτό κι αυτό. Αλλά για αυτά τα υποσύνολα δεν μπορείτε να βρείτε ένα συνθετικό όνομα. Το μόνο που διαθέτετε είναι μια απαρίθμηση των στοιχείων τους. Μπορούμε να πούμε ότι, σε τέτοιες καταστάσεις, όταν έχετε να κάνετε με τέτοιου είδους υποδιαιρέσεις, ένας νόμος — ό,τι γενικά ονομάζουμε «νόμο» — θα συνιστά προδιαγραφή μιας λογικής και αναμενόμενης τάξης. Θα ταυτίζεται με την απόφαση να δεχτούμε ως πράγματι υπαρκτά ορισμένα υποσύνολα τού υπό εξέταση τμήματος τής συλλογικής ζωής. Βέβαια, η πιο απλή λύση είναι να γίνουν δεκτά αποκλειστικά και μόνον τα υποσύνολα με καθορισμένο όνομα (φράουλες, αχλάδια, φρούτα, γαϊδουράγκαθα, λάσπη) και να απαγορευθούν τα υποσύνολα χωρίς όνομα, για παράδειγμα, ο συνδυασμός από μήλα, γαϊδουράγκαθα και ψόφια βατράχια. Κατ’ αυτόν τον τρόπο, ο νόμος καθορίζει βεβαίως πάντοτε ό,τι επιτρέπεται και ό,τι απαγορεύεται, αλλά, επίσης, και ό,τι υπάρχει έχοντας λάβει συγκεκριμένο όνομα — ό,τι δηλαδή είναι φυσιολογικό — σε αντιδιαστολή προς οτιδήποτε δεν κατονομάζεται και συνεπώς δεν υπάρχει πραγματικά, σε αντιδιαστολή δηλαδή προς κάθε μη φυσιολογικό ή μη κανονικό υποσύνολο τής πρακτικής ολότητας. Είναι πολύ σημαντικό να έχουμε κατά νου ότι, σε τελική ανάλυση, ο νόμος αποτελεί πάντοτε απόφαση ύπαρξης.
 
Το πρόβλημα προέρχεται από το γεγονός ότι, στο πλαίσιο τής νομικής θεώρησης, ένα συγκεκριμένο υποσύνολο τής συλλογικής ολότητας θα στερείται, εκ των πραγμάτων, ύπαρξης. Το ζήτημα επομένως τού νόμου δεν εξαντλείται στα πλαίσια τής κλασσικής δικαιοφιλοσοφικής του αντιμετώπισης, αλλά προσλαμβάνει και οντολογικές διαστάσεις. Πρόκειται για ερώτημα ύπαρξης. Μιλώντας όπως ο Φουκό, θα λέγαμε ότι, σε τελική ανάλυση, άπτεται τής σχέσης που συνδέει τις λέξεις με τα πράγματα: με άλλα λόγια, στο πεδίο τού νόμου αναγνωρίζεται μόνον η ύπαρξη εκείνων των αντικειμένων που ανταποκρίνονται σε μια σαφή περιγραφή. Τώρα όμως το ζήτημα πρέπει να εξεταστεί και από την οπτική τής επιθυμίας. Μπορούμε να δηλώσουμε ανεπιφύλακτα ότι η επιθυμία είναι πάντα επιθυμία για κάτι, κατά κάποιο τρόπο, ανύπαρκτο από πλευράς νόμου. Είναι η αναζήτηση ενός πράγματος επέκεινα τής κανονικότητας τού νόμου. Το πραγματικό της αντικείμενο είναι πάντοτε κάτι που μοιάζει μ’ ένα μήλο, που είναι συνάμα και γαϊδουράγκαθο — η επιθυμία ενός τέρατος. Και γιατί αυτό; Επειδή η επιθυμία συνίσταται, μέσω και πέραν τής κανονικότητας, στην κατάφαση τής καθαρής ενικότητας.
 
Υπάρχει ένα πολύ απλό μαθηματικό παράδειγμα που περιγράφει αυτή τη σύνδεση επιθυμίας και νόμου ως σχέση μεταξύ διαφόρων μορφών ύπαρξης. Υιοθετώντας την οπτική τής θεωρίας των συνόλων — μιας θεωρίας που έχει ως αντικείμενο τη μελέτη τής καθαρής πολλαπλότητας — ας εξετάσουμε ένα οποιοδήποτε σύνολο, μια εντελώς τυχαία πολλαπλότητα. Είναι άξιο προσοχής ότι με βάση το αρχικό σύνολο αναφοράς και με τη χρήση ορισμένων τεχνικών μέσων μπορεί να δοθεί τυπική μορφή στην έννοια ενός υποσυνόλου με συγκεκριμένο όνομα. Στο πλαίσιο επομένως τής μαθηματικής θεωρίας των συνόλων διαθέτουμε μια πιθανή τυποποίηση τού προβλήματος τής σχέσης ανάμεσα στην ύπαρξη και την απόδοση ενός ονόματος. Πιο συγκεκριμένα, το να έχει ένα υποσύνολο συγκεκριμένο όνομα σημαίνει ότι μπορεί να δοθεί ένας σαφής τύπος ορισμού για το υποσύνολο αυτό. Υπεύθυνος για την επινόηση αυτή είναι ο ο Κουρτ Γκέντελ, ο σημαντικότερος επιστήμονας τής λογικής τού 20ού αιώνα. Ο Γκέντελ χαρακτήρισε αυτού τού είδους τα υποσύνολα «κατασκευάσιμα». Ένα υποσύνολο ενός συνόλου ονομάζεται «κατασκευάσιμο», όταν το εν λόγω υποσύνολο ανταποκρίνεται σε μια σαφή περιγραφή. Χρησιμοποιούμε συνήθως τον όρο «κατασκευάσιμο σύνολο» για να αναφερθούμε σ’ ένα κατασκευάσιμο υποσύνολο ενός άλλου συνόλου.
 
Κατ’ αυτόν τον τρόπο μάς παρέχεται η δυνατότητα να εφαρμόσουμε εκείνο που θα χαρακτήριζα ως «ανώτατο ή θεμελιώδη νόμο» — με άλλα λόγια, έναν νόμο των νόμων ή, αν προτιμάτε, έναν νόμον για το τι σημαίνει πραγματικά η δυνατότητα ύπαρξης ενός νόμου. Στα μαθηματικά έχουμε, λοιπόν, ένα παράδειγμα νόμου αυτού τού είδους, που δεν αφορά μόνο τα αντικείμενα ή τα υποκείμενα, αλλά και τους ίδιους τους νόμους. Ο ανώτατος αυτός νόμος παίρνει τη μορφή ενός πολύ απλού αξιώματος. Το αξίωμα αυτό, το οποίο ονομάζεται «αξίωμα τής κατασκευασιμότητας», μας λέει ότι κάθε σύνολο είναι κατασκευάσιμο. Εδώ έχουμε να κάνουμε με μια απόφαση που έχει ως αντικείμενο την ίδια την ύπαρξη: κρίνοντας ότι τα μόνα σύνολα που υπάρχουν είναι αυτά που μπορούν να κατασκευαστούν, καταλήγουμε σε μια απλή διατύπωση που συνιστά συγχρόνως και απόφαση ύπαρξης. Σύμφωνα, λοιπόν, με τον νόμο των νόμων, όλα τα σύνολα είναι κατασκευάσιμα. Εδώ παρουσιάζεται μια αληθινή δυνατότητα επιλογής. Μπορείτε, πράγματι, να αποφασίσετε ότι κάθε σύνολο μπορεί να κατασκευαστεί. Και για ποιο λόγο; Γιατί όλα τα μαθηματικά θεωρήματα που είναι αποδείξιμα στο πλαίσιο τής γενικής θεωρίας των συνόλων είναι αποδείξιμα και σε σχέση με τα κατασκευάσιμα σύνολα. Ό,τι επομένως αληθεύει στο ευρύτερο σύνολο αναφοράς των συνόλων θα αληθεύει και στο σύνολο αναφοράς που αποτελείται αποκλειστικά από τα κατασκευάσιμα σύνολα. Έχουμε έτσι τη δυνατότητα να αποφασίσουμε — και μάλιστα χωρίς καμία απώλεια, πράγμα που έχει μεγάλη σημασία όσον αφορά το γενικό ζήτημα τού νόμου — ότι όλα τα σύνολα είναι κατασκευάσιμα ή ακόμη ότι κάθε πολλαπλότητα διέπεται από τον νόμο: οτιδήποτε αληθεύει γενικά ισχύει επίσης και στην περίπτωση που περιορίσουμε την εφαρμογή του στα κατασκευάσιμα σύνολα. Πράγματι, κάνοντας την παραδοχή αυτή, δεν χάνουμε απολύτως τίποτα, δοθέντος ότι η εφαρμογή τού αξιώματος τής κατασκευασιμότητας κατ’ ουδέν μεταβάλλει το πεδίο τής αλήθειας. Επομένως, καταλήγουμε σε γενικές γραμμές στο συμπέρασμα ότι ο νόμος δεν αποτελεί περιορισμό τής ζωής και τής σκέψης· στο πλαίσιο τού νόμου η ελευθερία τής ζωής και η ελευθερία τής σκέψης είναι ένα και το αυτό. Το μαθηματικό μοντέλο που αντιστοιχεί στην ιδέα αυτή είναι ότι δεν αλλάζει τίποτα, αν δεχτούμε ότι όλα τα σύνολα είναι κατασκευάσιμα, αν δεχτούμε δηλαδή ότι αληθεύει η πρόταση ότι όλα τα υποσύνολα ενός οποιουδήποτε συνόλου είναι κατασκευάσιμα, πράγμα που σημαίνει ότι όλα τα υποσύνολά του έχουν σαφή ορισμό. Είναι έτσι γενικά εφικτή μια λογική ταξινόμηση όλων των υποσυνόλων — κατά κάποιον τρόπο, μια ταξινόμηση τής ίδιας τής κοινωνίας — χωρίς καμία απώλεια όσον αφορά την αλήθεια.
Θα ήθελα εδώ να επιστήσω την προσοχή σας σε ένα ιδιαίτερα σημαντικό σημείο, σ’ ένα απλό γεγονός, στο ότι δηλαδή κανένας μαθηματικός δεν αποδέχεται στην πράξη το αξίωμα τής κατασκευασιμότητας. Ποιος μπορεί να αρνηθεί ότι ένα σύστημα ή ένας κόσμος όπου τα πάντα είναι κατασκευάσιμα δεν είναι πράγματι έξοχος; Κι όμως το εντυπωσιακό αυτό σύστημα δεν διεγείρει τον πόθο ακόμα και τού πιο συντηρητικού μαθηματικού, διότι εκείνο που πραγματικά επιθυμεί ο μαθηματικός είναι να υπερβεί το αποκρυσταλλωμένο σύστημα τού ονομαστικού ορισμού και τής κατασκευασιμότητας. Η επιθυμία τού μαθηματικού είναι η επιθυμία ενός μαθηματικού τέρατος. Δεν παύει μεν να επιθυμεί τον νόμο — δύσκολα μπορεί κανείς να ασχοληθεί συστηματικά με τα μαθηματικά χωρίς να συμμορφώνεται σε κάποιον νόμο —, αλλά η επιθυμία εύρεσης ενός νέου μαθηματικού τέρατος βρίσκεται επέκεινα τού νόμου.
Στο σημείο αυτό συναντώνται τα σύγχρονα μαθηματικά με την κλασσική θεολογία. Γνωρίζετε βεβαίως το περίφημο απόσπασμα από την προς Ρωμαίους Επιστολή τού Αποστόλου Παύλου. Η άμεση σύνδεση νόμου και επιθυμίας εμφανίζεται με το όνομα τής αμαρτίας: «ἀλλὰ τὴν ἁμαρτίαν οὐκ ἔγνων εἰ μὴ διὰ νόμου, τήν τε γὰρ ἐπιθυμίαν οὐκ ᾔδειν εἰ μὴ ὁ νόμος ἔλεγεν· Οὐκ ἐπιθυμήσεις».[1] Η αμαρτία είναι εκείνη η διάσταση τής επιθυμίας που βρίσκει το αντικείμενό της μετά και πέρα από την επιταγή τού νόμου, πράγμα που τελικά σημαίνει ότι εκείνο που βρίσκει είναι το αντικείμενο χωρίς όνομα.
Το παράδειγμα των μαθηματικών είναι ιδιαίτερα εντυπωσιακό. Μετά τον Γκέντελ, μετά τον ορισμό των κατασκευάσιμων συνόλων και την απόρριψη τού αξιώματος τής κατασκευασιμότητας από την πλειοψηφία των μαθηματικών, το ερώτημα τής μαθηματικής επιθυμίας πήρε την εξής μορφή: πώς μπορούμε να εντοπίσουμε ένα μη κατασκευάσιμο σύνολο; Βλέπετε αμέσως ποιο είναι το πρόβλημα και τις τεράστιες πολιτικές του συνέπειες. Η δυσκολία είναι η εξής: πώς μπορούμε να βρούμε ένα μαθηματικό αντικείμενο χωρίς όνομα, χωρίς σαφή περιγραφή, χωρίς θέση στο σύστημα ταξινόμησης; Με άλλα λόγια, πώς μπορούμε να βρούμε ένα αντικείμενο με χαρακτηριστικά γνωρίσματα την ανωνυμία και την μη κατασκευασιμότητα; Στη δεκαετία τού εξήντα τού περασμένου αιώνα, ο Πολ Κοέν βρήκε μια σύνθετη και κομψή λύση στο πώς να ονομάσουμε ή να εντοπίσουμε ένα μη κατασκευάσιμο σύνολο, δηλαδή ένα σύνολο χωρίς όνομα, χωρίς συγκεκριμένο κατηγόρημα, χωρίς θέση στη μεγάλη κατηγορική ταξινόμηση. Κατ’ αυτόν τον τρόπο, η επιθυμία πέτυχε μια μεγάλη νίκη εις βάρος τού νόμου και μάλιστα στο πεδίο των μαθηματικών, το κατεξοχήν πεδίο τής κυριαρχίας τού νόμου. Μαζί με τόσα άλλα, μαζί με τόσες άλλες νίκες αυτού τού είδους, αυτό συνέβη στη δεκαετία τού εξήντα. Ο Κοέν χρησιμοποίησε την εντυπωσιακή ονομασία «γενολογικά σύνολα» για να χαρακτηρίσει τα εν λόγω μη κατασκευάσιμα σύνολα. Η επινόηση αυτή θα πρέπει να συγκαταλεχθεί στις επαναστατικές δράσεις και επιτεύγματα τής δεκαετίας τού εξήντα.
Γνωρίζουμε ότι, για να περιγράψει την κατάσταση κατά την οποία το ανθρώπινο γένος τίθεται σε τροχιά αυτοχειραφέτησης, ο Μαρξ χρησιμοποιεί την έκφραση «γενολογική ανθρωπότητα»[2] και, επιπλέον, ότι «προλεταριάτο» είναι το όνομα που δίνει ο Μαρξ στην καταφατική μορφή τής δυνατότητας ύπαρξης τής γενολογικής αυτής ανθρωπότητας. Στον Μαρξ το γίγνεσθαι τής καθολικότητας τού ανθρώπινου είναι δηλώνεται με τον όρο «γενολογικό», ενώ η ιστορική αποστολή τού προλεταριάτου έγκειται στην αποκάλυψη τής γενολογικής μορφής τού ανθρώπινου είναι. Ο Μαρξ θεωρεί, επομένως, ότι η πολιτική αλήθεια βρίσκεται με το μέρος τής γενολογικότητας και ποτέ με το μέρος τής μερικότητας. Πρόκειται τυπικά για ζήτημα που αφορά την επιθυμία, τη δημιουργία ή την επίνοια και στο οποίο δεν εμπλέκονται καθόλου ο νόμος, η αναγκαιότητα ή η συντήρηση τής καθεστηκυίας τάξης πραγμάτων. Για τον Κοέν, όπως άλλωστε και για τον Μαρξ, η καθαρή καθολικότητα των συνόλων ή τής πολλαπλότητας δεν πρέπει να αναζητηθεί στην ορθότητα τού ορισμού ή στην σαφήνεια τής περιγραφής, αλλά στη μη κατασκευασιμότητα. Η αλήθεια των συνόλων είναι συνεπώς γενολογική.

6 σχόλια:

  1. Αγαπητέ φίλε.

    Ομολογώ πως έπεσα τυχαία πάνω σε αυτό το ιστολόγιο και στη συγκεκριμένη ανάρτηση. Δε μου είναι σαφές αν το κείμενο είναι δικό σου, ή αν προέρχεται από αλλού (καθότι ο σύνδεσμος "Πηγή" που βρίσκεται στην κορυφή της σελίδας δε δείχνει να λειτουργεί). Όπως και να έχει το διάβασα με ενδιαφέρον.

    Νομίζω πως η θεωρία συνόλων (αλλά και γενικότερα η μαθηματικολογική αξιωματική μέθοδος) μπορεί όντως να αποτελέσει πηγή για μεταφορές, καθώς και πρωτοτυπικά να υποβοήθησει τη διαίσθηση σε ορισμένες περιπτώσεις, και υπό αυτή την έννοια κάποιοι από τους συσχετισμούς που αναφέρονται στο παραπάνω κείμενο έχουν διδακτική αξία.

    Ωστόσο, τέτοιοι (πολλές φορές "αφελείς") συσχετισμοί δεν έχουν κανέναν λόγο να οδηγούν στη συναγωγή συμπερασμάτων (και δη, βαρυσήμαντων συμπερασμάτων) σε άλλα πεδία του επιστητού, όπως ο νόμος, η ηθική, η πολιτική ή ό,τι άλλο. Τροφή για σκέψη και στοχασμό σαφώς και μπορούν να είναι.

    Κατόπιν αυτών των γενικών παρατηρήσεων, θα ήθελα επίσης, με όλη την καλή διάθεση, να υποδείξω ορισμένα σημεία του κειμένου στα οποία η μαθηματική πλευρά της θεωρίας συνόλων παρουσιάζεται ελλιπής. Νομίζω πως η διευκρίνηση (όσο πιο σύντομα γίνεται) μερικών εννοιών είναι θεμελιώδης, αλλιώς ο μη ειδικός αναγνώστης (ή συγγραφέας) μπορεί να οδηγηθεί σε λανθασμένη κατανόηση.

    1. Ναι πράγματι, μπορούμε να "αποφασίσουμε" ότι κάθε σύνολο είναι κατασκευάσιμο (κατά Godel), δηλαδή να αποδεχθούμε το (επιπλέον της ZFC πρωτοβάθμιας αξιωματικής συνολοθεώριας) αξίωμα "V=L".

    Το γεγονός ότι όλα τα μαθηματικά θεωρήματα που είναι αποδείξιμα από την ZFC ισχύουν στο μοντέλο L των κατασκευάσιμων συνόλων δεν είναι νέο, αλλά άμεση συνέπεια του γεγονότος πως το σύμπαν L είναι μοντέλο της ZFC (και μάλιστα, κατασκευάστηκε για να είναι μοντέλο της ZFC υπό μία έννοια).

    Αυτό όμως *δεν* σημαίνει πως ισχύει και το αντίστροφο. Δηλάδη, δεν ισχύει το "αν μια μαθηματική πρόταση/ιδιότητα ισχύει στο σύμπαν L, τότε αυτή είναι αποδείξιμη από την ZFC". Υπάρχουν μυριάδες παραδείγματα προτάσεων που ισχύουν στο σύμπαν L αλλά δεν αποδεικνύονται από την ZFC. Ίσως η γνωστή από αυτές είναι η Υπόθεση του Συνεχούς (Continuum Hypothesis - CH) του Κάντορ, η οποία ισχύει στο L αλλά είναι ανεξάρτητη των ZFC αξιώματων.

    Υπάρχουν κάποιοι (λίγοι ομολογουμένως) μαθηματικοί της θεωρίας συνόλων που δέχονται το αξίωμα το "V=L". Για τους υπολοίπους, ένα από τα προβλήματα είναι το γεγονός πως πολλές από τις ιδιότητες του σύμπαντος L μοιάζουν αρκετά "αντιδιαισθητικές", τόσο που να έχει χαρακτηριστεί το L από αρκετούς ως "ο παράδεισος των αντιπαραδειγμάτων". Αυτός είναι ένας από τους λόγους για τους οποίους οι μαθηματικοί, στην πλειοψηφία τους, δεν προτιμούν να εργάζονται στο L. Ένας άλλος λόγος είναι το γεγονός πως το αξίωμα "V=L" δεν είναι συμβατό με τα λεγόμενα "αξιώματα υψηλών πληθαρίθμων" ("large cardinal axioms" αγγλιστί), τα οποία έχουν ιδιαίτερα ελκυστικές συνέπειες, όχι μόνο για τη συνολοθεωρία, αλλά και για πάρα πολλούς κλάδους των υπολοίπων μαθηματικών (όπως Άλγεβρα, Ανάλυση, Συνδυαστική, κ.λ.π). Σε κάθε περίπτωση, λέω "δεν προτιμούν" και όχι "απορρίπτουν" καθώς αρκετές φορές η επίκληση του L είναι καίριας σημασίας σε πολλά μαθηματικά αποτελέσματα της σύγχρονης συνολοθεωρίας.

    (συνεχίζεται)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. (συνέχεια από προηγούμενο)

    Το γεγονός πως ο συγγραφέας χαρακτηρίζει το σύμπαν L, όπου τα πάντα είναι κατασκευάσιμα (έχουν δηλαδή μια "κανονικότητα"), ως "έξοχο" είναι δική του γνώμη και μάλλον όχι ιδιαίτερα ενημερωμένη. Οποιοσδήποτε έχει δει την κυριολεκτικά ατελεύτητη ποικιλία συμπάντων της συνολοθεωρίας, ορισμένα εκ των οποίων φέρουν και ικανοποιούν τις ίδιες ή αντίστοιχες αρχές "κανονικότητας" με το L, μπορεί να εκτιμήσει το πραγματικά εντυπωσιακό φάσμα δυνατοτήτων, αλλά και να κατανοήσει πόσο κάθε ένα ξεχωριστά εξ αυτών των μοντέλων (και το L ειδικότερα) είναι απλά μια ιδιαιτερότητα μέσα σε έναν ωκεανό επιλογών.

    [Ανεκδοτικά και παρενθετικά, παραθέτω το ακόλουθο απόσπασμα από ένα άρθρο του διακεκριμένου μαθηματικού Shelah, σχετικά με το σύμπαν L:

    "L looks like the head of a gay chapter of the Ku Klux Klan - a case worthy of study, but probably not representative."

    Πηγή εδώ: http://shelah.logic.at/E16/E16.html]

    Επιπλέον, πρέπει να σημειώσω πως η προτίμηση ή μη ενός αξιώματος (εν προκειμένω, της κατασκευασιμότητας) δεν έχει να κάνει τόσο με "συντηρητισμό" ή μη, ή με "επιθυμία ή όχι ενός μαθηματικού τέρατος" όσο ίσως νομίζει ο συγγραφέας ή προσπαθεί να υποστηρίξει με κάποια δόση γλαφυρότητας. Βέβαια, η άγνοια κατά κανόνα ρέπει προς το σκοταδισμό.

    Συμπερασματικά λοιπόν, οι φράσεις "χωρίς καμία απώλεια", "δεν χάνουμε απολύτως τίποτα", "δεν αλλάζει τίποτα, αν δεχτούμε ότι όλα τα σύνολα είναι κατασκευάσιμα", και "η εφαρμογή τού αξιώματος της κατασκευασιμότητας κατ’ ουδέν μεταβάλλει το πεδίο τής αλήθειας" είναι απλά λανθασμένες. Η επιλογή του αξιώματος της κατασκευασιμότητας, όπως και κάθε επιπλέον αξιώματος που μπορεί να προσθέτουμε κάθε φορά στο δεδομένο βασικό αξιωματικό μας σύστημα ZFC, προφανώς και μεταβάλλει το πεδίο της "αλήθειας", συγκεκριμενοποιώντας το περαιτέρω προς μια νέα κατεύθυνση (αυτή του νέου αξιώματος). Μάλιστα, αλλάζει τόσα πολλά που ούτε καν φαντάζεται ο συγγραφέας.

    2. Σχετικά με την "εύρεση" ενός μη κατασκευάσιμου συνόλου, και τις αναφορές στον Κόεν και τη μέθοδο του "εξαναγκασμού" ("forcing" αγγλιστί) που εισήγαγε. Να σημειώσω πως δεν είναι ακριβές το να λέγεται πως το προς εύρεση μη κατασκευάσιμο ή "γενολογικό" ("generic" αγγλιστί) σύνολο δεν έχει όνομα ή θέση στο σύστημα ταξινόμησης. Αντιθέτως, το "νέο" σύνολο έχει όνομα στο παλιό σύμπαν (το οποίο, χάριν ευκολίας, μπορεί να υποτεθεί πως είναι ένα σύμπαν σαν το L) και μπορούμε να αναφερόμαστε σε αυτό. Περαιτέρω, μπορούμε επίσης να είμαστε σίγουροι για κάποιες από τις ιδιότητές του, ενώ μπορούμε να "προβλέπουμε" κάποιες άλλες. Υπό αυτή την έννοια, είναι αλήθεια πως δεν γνωρίζουμε επακριβώς όλες τις ιδιότητες του νέου συνόλου, μπορούμε όμως πολλές φορές να είμαστε σίγουροι για τη "μορφή" του: για παράδειγμα, η πρώτη και πιο δημοφιλής εφαρμογή της μεθόδου του forcing δίνει ένα νέο υποσύνολο των φυσικών αριθμών, και γνωρίζουμε σίγουρα πως το νεό σύνολο θα είναι τέτοιας μορφής ακόμα και στο τρέχον σύμπαν L. Δυστυχώς δε μπορώ να επεκταθώ γιατί το ζήτημα είναι αρκετά τεχνικό.


    Τέλος, θα ήθελα να σημειώσω πως η ισχύς (ή η αποδοχή) της κατακλείδας πρότασης του κειμένου, η οποία αναφέρει πως "η αλήθεια των συνόλων είναι συνεπώς γενολογική", δεν είναι καθόλου δεδομένη. Και μου προκαλεί μια κάποια εντύπωση, επαναλαμβάνω επιστρέφοντας στο αρχικό μου σχόλιο, η ευκολία με την οποία συνάγονται και προτείνονται τέτοιες θέσεις, ειδικά από ανθρώπους των οποίων η γνώση της υποκείμενης μαθηματικής θεωρίας (της οποίας την "αλήθεια" τολμούν να χαρακτηρίζουν!) είναι τόσο προφανώς και χαρακτηριστικά ελλιπής.

    Ειλικρινά φιλικά και ελπίζω να μην κούρασα.
    Κώστας

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. Κώστα
    Σε ευχαριστώ για το εκτεταμένο σχόλιο

    Θα ήθελα να σου αναφέρω την μικρή ιστορία του ιστολογιου. Διαβάζοντας το Badiou ένα πολιτικό φιλόσοφο , ανακάλυψα ότι ουσιαστικά έκανε μια γιγαντιαία μεταφορά θεμελιακών θεωριών των μαθηματικών , τις όποιες χρησιμοποιεί ως θεμέλια μιας πολίτικης οντολογίας

    Η δίκη μου ανάγκη να καταλάβω ακριβώς αυτό το πολιτικό και φιλοσοφικό πρόγραμμα με οδήγησε να προσπαθήσω να μελετήσω τα θεμελιώδη της θεωρίας συνόλων και της θεωρίας των κατηγοριών

    Το ιστολογιο παραθέτει ακριβώς το υλικό που βρίσκω και παραθέτω
    Ομολογώ, ότι ως μη μαθηματικός έχω απολαύσει την περιήγηση στις ανώτερες περιοχές των μαθηματικών με ελαφρά δόση ζήλιας. Γιατί σε αυτό το επίπεδο τα μαθηματικά απαιτούν μια αφαιρετική σκέψη με ισχυρή δομημένη τεκμηρίωση

    Το κείμενο της ανάρτησης είναι του ίδιου του Badiou και με την έννοια αυτή η κριτική σου είναι πολύ διαυγέστερη .Επίτρεψε μου να μην εισέρθω στην ουσία της. Προσωπικά την εκλαμβάνω ως ακόμη στοιχείο αυτομόρφωσης μου. Θα ήθελα λίγο χρόνο και ένα σημαντικό φρεσκάρισμα στις σημειώσεις μου για να επανέλθω

    Εκείνο που έχει σημασία θα ήταν η γνώμη σου για το κατά πόσο μπορεί ένας μαθηματικός φορμαλισμός να χρησιμοποιηθεί ως βάση ενός ευρύτερου στοχασμού. Δεν αναφέρομαι στην μαθηματική αποτύπωση μετρήσιμων ποσοτήτων , στατιστικών κλπ και την διαχείριση τους όπως κάνει η οικονομολογία η κοινωνιολογία, αλλά στην αξιοποίηση των αξιωματικών μεθόδων, των παραδόξων που αναδύονται και την λύση τους μέσω άλλων αξιωμάτων , λημμάτων κλπ. Με όσους μαθηματικούς έχω μιλήσει είναι εξαιρετικά διστακτικοί

    Και πάλι σε ευχαριστώ για την προσοχή και συνεισφορά



    ΑπάντησηΔιαγραφή
  4. Τον Badiou ομολογώ πως τον έχω ακουστά μόνο εξ ονόματος και ποτέ δεν έμαθα ή διάβασα τις θέσεις ή το έργο του.

    Οπότε, και όσο μπορώ να κρίνω τη γενική ιδέα από απόσταση, επίτρεψέ μου απλά να πω πως, όσο κι αν ακούγεται ελκυστική (ίσως ακόμα περισσότερο ελκυστική σε έναν μαθηματικό) η μεταφορά και χρήση θεμελιακών αξιωματικών μαθηματικών θεωρίων (όπως η συνολοθεωρία) σε ένα νέο πλαίσιο του επιστητού (π.χ., στη δόμησης μιας πολιτικής οντολογίας), έχω αρκετές επιφυλάξεις σχετικά με το κατά πόσον αυτό μπορεί να οδηγήσει σε ουσιαστική εμβάθυνση η οποία να υπερβαίνει τις (κάπως επιφανειακές αλλά σίγουρα) διδακτικές αναλογίες που αναδύονται σε πρώτη ανάγνωση. Δηλαδή, και αναφερόμενος στο συγκεκριμένο παράδειγμα της συνολοθεωρίας, δε μου είναι καθόλου σαφές το πως αυτές οι αναλογίες ή συσχετισμοί μπορούν να συνεχιστούν με συνέπεια σε όλο το βάθος της (ομολογουμένως εκτενέστατης) υποκείμενης μαθηματικής θεωρίας και τελικά να οδηγήσουν σε κάποια ουσιαστικά, νέα, και επαρκώς τεκμηριωμένα συμπεράσματα στο νέο πλαίσιο. Και δε μιλώ εδώ για τα εξαιρετικά τεχνικά μαθηματικά αποτελέσματα, τα οποία είναι ακόμα πιο δύσκολο να αναχθούν και να μεταφερθούν σε άλλο πεδίο. Μιλώ για τις "γενικές διαισθητικές ιδέες" πίσω από αυτά, εκείνες που επιπλέον δείχνουν να έχουν μια χροιά "οικουμενικότητας" (μιας που όλοι άνθρωποι είμαστε και όλοι, σε τελική ανάλυση, σε ένα κοινό διανοητικό "παιχνίδι" συμμετέχουμε).

    Από την άλλη πλευρά, ο μαθηματικός φορμαλισμός και η αξιωματική μέθοδος είναι θαυμάσια διανοητικά εργαλεία, τα οποία εκτός από να μας επιτρέπουν να συνεχίζουμε να παίζουμε το "μαθηματικό παιχνίδι της αφαίρεσης" και της περαιτέρω εξέλιξης του ίδιου του μαθηματικού οικοδομήματος αλλά της επιστήμης γενικότερα, επιπλέον έχουν έρεισμα (και ίσως και προέλευση θα έλεγε κανείς) στην "πραγματική" ζωή, τουλάχιστον μέσω της συντεταγμένης ορθολογικής ανθρώπινης σκέψης και επικοινωνίας που έχουμε (κατακτήσει) ως είδος.

    Δεν είναι λοιπόν παράλογο το εγχείρημα του Badiou, και παρόλες τις επιφυλάξεις μου δε θεωρώ πως είναι αδύνατον εκ προοιμίου.
    Όμως, αντιλαμβάνομαι τη διστακτικότητα αρκετών μαθηματικών την οποία καταθέτεις από την προσωπική σου εμπειρία. Δεν είναι εύκολο να εντοπισώ επακριβώς το που εδράζεται αυτή η διστακτικότητα, και παρόλο που δε θέλω να μιλήσω εξ ονόματος άλλων, θα υπενθυμίσω απλά πως, στα μαθηματικά, είναι πολύ καλώς ορισμένο το τι συνιστά αποτυχία (απόδειξης ενός ισχυρισμού). Η αμφισημία εξαφανίζεται μέσα στο φορμαλιστικό αξιωματικό πλαίσιο, και η τεκμηρίωση της αφαιρετικής σκέψης πρέπει να είναι κρυστάλλινη. Κάτι τέτοιο φυσικά και δεν ισχύει απαραίτητα (και μάλλον καλώς που δεν ισχύει απαραίτητα, κατά την ταπεινή μου γνώμη) σε άλλα πεδία οπότε, από τη μία πλευρά, η οποιαδήποτε αναγωγή πρέπει να λάβει αυτή την παράμετρο πολύ σοβάρα υπ' όψιν ενώ, ταυτόχρονα, ο (εκ)παιδευμένος μαθηματικός ο οποίος ερωτάται να σχολιάσει ή να συνεισφέρει σε ένα τέτοιο εγχείρημα νιώθει πιθανότατα αρκετά άβολα μέσα στην ομίχλη της αμφισημίας. Αυτό το τελευταίο βέβαια σε καμιά περίπτωση δεν πρέπει να είναι άλλοθι. Σε σοβαρές μελέτες και διανοητικές αναζητήσεις, οι οποίες διέπονται από επιστημονική ακεραιότητα, θεωρώ πως είμαστε υποχρεωμένοι να συνεισφέρουμε.

    (συνεχίζεται, ως συνήθως :-) )

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  5. (συνέχεια)

    Τέλος, να σημειώσω πως οποιοσδήποτε προσπαθήσει να φέρει εις πέρας ένα τέτοιο έργο, είναι απαραίτητο -κατά τη γνώμη μου- να έχει, εκτός από την προφανή μαθηματική παιδεία και τεχνική κατάρτιση, τη φιλοσοφική εγρήγορση και διανοητική αξιοπρέπεια που θα τον αποτρέψουν από να γλιστρίσει σε ατραπούς βαρυσήμαντων και ατεκμηρίωτων ισχυρισμών (σε οποιοδήποτε πεδίο του επιστητού), ειδικά όταν παρουσιάζονται με το φανταχτερό αμπαλάζ της αναφοράς σε δυσνόητες μαθηματικές θεωρίες, με την ελπίδα πως τέτοιοι ισχυρισμοί θα αποκτήσουν ετερόφωτα επιπλέον κύρος.

    Χάρηκα για αυτή τη σύντομη (;) ανταλλαγή μηνυμάτων, μού είναι πάντα ευχάριστο να συζητώ για αυτά τα ζητήματα τα οποία συνεχίζω να βρίσκω ιδιαιτέρως σημαντικά. Για οποιαδήποτε διευκρίνιση ή απορία σχετικά με το μαθηματικό μέρος της συνολοθεωρίας μπορώ με χαρά να βοηθήσω ή/και να προτείνω βιβλιογραφία.

    Κώστας

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  6. Κώστα
    Δεν έχω παρά να συμφωνήσω απόλυτα με το γενικό περίγραμμα των σκέψεων σου

    Ευρίσκομαι στην ειδική θέση του ερασιτέχνη αναγνώστη ο όποιος γοητεύεται από ένα συγκεκριμένο project και πέφτει στα «βαθιά».

    Με την βοήθεια φίλων απέκτησα και την επιφύλαξη, τελικά όλο το Μπαντιουκο έργο να είναι στα όρια του τσαρλατανισμου, δηλαδή ενός τεράστιου ατεκμηρίωτου αναλογικού συλλογισμού

    Εκτιμώ βαθύτατα το χρόνο και την επιμέλεια των σχολίων σου. Ιδίως στο τεχνικό μέρος θα ξαναδώ τις αντιρρήσεις σου ως μια άσκηση ανακεφαλαίωσης της διετούς «μαθητείας» μου

    Θα σε παρακαλούσα , αν θέλεις να μου στείλεις e mail στο jpagia12@gmail.com ώστε αν επιστρατεύσω το θράσος μου να σου ζητήσω κάποια βοήθεια. Προς το παρόν θα δω το αρχικό σου σχόλιο
    Χαιρετώ

    ΑπάντησηΔιαγραφή