Η θεωρία συνόλων ως υπόδειγμα για την επιθυμία και τον νόμο

Πηγή: Waltendegewalt

 

 

 

 

Το σημείο εκκίνησής μου μάλλον θα σας φανεί απομακρυσμένο απ’ το θέμα μας. Θα ξεκινήσω λοιπόν μ’ έναν λογικό αστεϊσμό. Ας υποθέσουμε ότι έχετε μια μεγάλη πιατέλα που συνήθως είναι γεμάτη νόστιμα φρούτα — μήλα, αχλάδια, φράουλες, δαμάσκηνα … Όπως αντιλαμβάνεστε, μια τέτοια πιατέλα διεγείρει την επιθυμία σας. Μία μέρα, όμως, χωρίς κανένας να ξέρει γιατί και πώς, το περιεχόμενό της αλλάζει εντελώς: δίπλα στα μήλα, στ’ αχλάδια, στις φράουλες και στα δαμάσκηνα, υπάρχει ένα αποκρουστικό συνονθύλευμα από χαλίκια, σαλιγκάρια, σβώλους λάσπης, ψόφια βατράχια και γαϊδουράγκαθα. Τώρα, όπως καταλαβαίνετε, νιώθετε την παρόρμηση να βάλετε σε τάξη το περιεχόμενο τής πιατέλας· με άλλα λόγια, να ξεχωρίσετε τα καλά απ’ τα αηδιαστικά αντικείμενα. Το πρόβλημα που αντιμετωπίζετε είναι πρόβλημα ταξινόμησης. Έτσι λοιπόν αρχίζει το ανέκδοτό μου. Και το ερώτημα που τίθεται είναι το εξής: ποια ακριβώς είναι τα σωστά μέρη τού περιεχομένου μετά από τη μεταμόρφωση που σας περιέγραψα;

 

Ας θεωρήσουμε το περιεχόμενο ως καθαρό σύνολο. Τα στοιχεία τού συνόλου, ό,τι δηλαδή περιέχει η πιατέλα, είναι βεβαίως τα μήλα, οι φράουλες, τα γαϊδουράγκαθα, οι σβώλοι και τα ψόφια βατράχια. Καμιά αντίρρηση επ’ αυτού. Αλλά ποια είναι τα μέρη ή, αν προτιμάτε, τα υποσύνολα τού συνόλου των περιεχομένων τής πιατέλας; Από τη μια μεριά, έχετε τα μέρη με καθορισμένο όνομα. Πάρτε, για παράδειγμα, το μέρος που περιέχει όλες τις φράουλες: πρόκειται για ένα διακριτό υποσύνολο τής πιατέλας. Μπορείτε επίσης να πάρετε ως υποσύνολο όλα τα ψόφια βατράχια. Αυτό είναι μεν ένα απαίσιο μέρος, αλλά δεν παύει να αποτελεί υποσύνολο τού αρχικού συνόλου, και μάλιστα υποσύνολο με καθορισμένο όνομα. Μπορείτε ομοίως να πάρετε ένα μεγαλύτερο, γενικότερο υποσύνολο, όπως, λόγου χάριν, αυτό που περιέχει όλα τα φρούτα. Και στην περίπτωση αυτή πρόκειται για ένα υποσύνολο με καθορισμένο όνομα. Μπορούμε έτσι να πούμε ότι, από πλευράς γλώσσας, αυτού τού είδους τα υποσύνολα συνδέονται μ’ ένα ευκρινές κατηγόρημα· πρόκειται, αν θέλετε, για κατηγορικά υποσύνολα. Από την άλλη, όμως, μεριά, θα βρείτε και κάποιες ιδιόρρυθμες πολλαπλότητες. Τι μπορούμε να πούμε για ένα υποσύνολο που έχει ως στοιχεία του δύο μήλα, τρία γαϊδουράγκαθα και τρεις σβώλους ξερής λάσπης; Είναι προφανώς μέρος τού περιεχομένου τής πιατέλας. Αλλά, είναι εξίσου προφανές ότι είναι ένα ανώνυμο υποσύνολο, ένα μέρος χωρίς καθορισμένο όνομα. Όταν πρόκειται για τέτοιου είδους υποσύνολα ή συστατικά μέρη, μπορείτε βεβαίως να κάνετε μια λίστα με τα στοιχεία που τους ανήκουν, να πείτε δηλαδή ότι εδώ υπάρχει αυτό κι αυτό κι αυτό. Αλλά για αυτά τα υποσύνολα δεν μπορείτε να βρείτε ένα συνθετικό όνομα. Το μόνο που διαθέτετε είναι μια απαρίθμηση των στοιχείων τους. Μπορούμε να πούμε ότι, σε τέτοιες καταστάσεις, όταν έχετε να κάνετε με τέτοιου είδους υποδιαιρέσεις, ένας νόμος — ό,τι γενικά ονομάζουμε «νόμο» — θα συνιστά προδιαγραφή μιας λογικής και αναμενόμενης τάξης. Θα ταυτίζεται με την απόφαση να δεχτούμε ως πράγματι υπαρκτά ορισμένα υποσύνολα τού υπό εξέταση τμήματος τής συλλογικής ζωής. Βέβαια, η πιο απλή λύση είναι να γίνουν δεκτά αποκλειστικά και μόνον τα υποσύνολα με καθορισμένο όνομα (φράουλες, αχλάδια, φρούτα, γαϊδουράγκαθα, λάσπη) και να απαγορευθούν τα υποσύνολα χωρίς όνομα, για παράδειγμα, ο συνδυασμός από μήλα, γαϊδουράγκαθα και ψόφια βατράχια. Κατ’ αυτόν τον τρόπο, ο νόμος καθορίζει βεβαίως πάντοτε ό,τι επιτρέπεται και ό,τι απαγορεύεται, αλλά, επίσης, και ό,τι υπάρχει έχοντας λάβει συγκεκριμένο όνομα — ό,τι δηλαδή είναι φυσιολογικό — σε αντιδιαστολή προς οτιδήποτε δεν κατονομάζεται και συνεπώς δεν υπάρχει πραγματικά, σε αντιδιαστολή δηλαδή προς κάθε μη φυσιολογικό ή μη κανονικό υποσύνολο τής πρακτικής ολότητας. Είναι πολύ σημαντικό να έχουμε κατά νου ότι, σε τελική ανάλυση, ο νόμος αποτελεί πάντοτε απόφαση ύπαρξης.

 

Το πρόβλημα προέρχεται από το γεγονός ότι, στο πλαίσιο τής νομικής θεώρησης, ένα συγκεκριμένο υποσύνολο τής συλλογικής ολότητας θα στερείται, εκ των πραγμάτων, ύπαρξης. Το ζήτημα επομένως τού νόμου δεν εξαντλείται στα πλαίσια τής κλασσικής δικαιοφιλοσοφικής του αντιμετώπισης, αλλά προσλαμβάνει και οντολογικές διαστάσεις. Πρόκειται για ερώτημα ύπαρξης. Μιλώντας όπως ο Φουκό, θα λέγαμε ότι, σε τελική ανάλυση, άπτεται τής σχέσης που συνδέει τις λέξεις με τα πράγματα: με άλλα λόγια, στο πεδίο τού νόμου αναγνωρίζεται μόνον η ύπαρξη εκείνων των αντικειμένων που ανταποκρίνονται σε μια σαφή περιγραφή. Τώρα όμως το ζήτημα πρέπει να εξεταστεί και από την οπτική τής επιθυμίας. Μπορούμε να δηλώσουμε ανεπιφύλακτα ότι η επιθυμία είναι πάντα επιθυμία για κάτι, κατά κάποιο τρόπο, ανύπαρκτο από πλευράς νόμου. Είναι η αναζήτηση ενός πράγματος επέκεινα τής κανονικότητας τού νόμου. Το πραγματικό της αντικείμενο είναι πάντοτε κάτι που μοιάζει μ’ ένα μήλο, που είναι συνάμα και γαϊδουράγκαθο — η επιθυμία ενός τέρατος. Και γιατί αυτό; Επειδή η επιθυμία συνίσταται, μέσω και πέραν τής κανονικότητας, στην κατάφαση τής καθαρής ενικότητας.

 

Υπάρχει ένα πολύ απλό μαθηματικό παράδειγμα που περιγράφει αυτή τη σύνδεση επιθυμίας και νόμου ως σχέση μεταξύ διαφόρων μορφών ύπαρξης. Υιοθετώντας την οπτική τής θεωρίας των συνόλων — μιας θεωρίας που έχει ως αντικείμενο τη μελέτη τής καθαρής πολλαπλότητας — ας εξετάσουμε ένα οποιοδήποτε σύνολο, μια εντελώς τυχαία πολλαπλότητα. Είναι άξιο προσοχής ότι με βάση το αρχικό σύνολο αναφοράς και με τη χρήση ορισμένων τεχνικών μέσων μπορεί να δοθεί τυπική μορφή στην έννοια ενός υποσυνόλου με συγκεκριμένο όνομα. Στο πλαίσιο επομένως τής μαθηματικής θεωρίας των συνόλων διαθέτουμε μια πιθανή τυποποίηση τού προβλήματος τής σχέσης ανάμεσα στην ύπαρξη και την απόδοση ενός ονόματος. Πιο συγκεκριμένα, το να έχει ένα υποσύνολο συγκεκριμένο όνομα σημαίνει ότι μπορεί να δοθεί ένας σαφής τύπος ορισμού για το υποσύνολο αυτό. Υπεύθυνος για την επινόηση αυτή είναι ο ο Κουρτ Γκέντελ, ο σημαντικότερος επιστήμονας τής λογικής τού 20ού αιώνα. Ο Γκέντελ χαρακτήρισε αυτού τού είδους τα υποσύνολα «κατασκευάσιμα». Ένα υποσύνολο ενός συνόλου ονομάζεται «κατασκευάσιμο», όταν το εν λόγω υποσύνολο ανταποκρίνεται σε μια σαφή περιγραφή. Χρησιμοποιούμε συνήθως τον όρο «κατασκευάσιμο σύνολο» για να αναφερθούμε σ’ ένα κατασκευάσιμο υποσύνολο ενός άλλου συνόλου.

 

Κατ’ αυτόν τον τρόπο μάς παρέχεται η δυνατότητα να εφαρμόσουμε εκείνο που θα χαρακτήριζα ως «ανώτατο ή θεμελιώδη νόμο» — με άλλα λόγια, έναν νόμο των νόμων ή, αν προτιμάτε, έναν νόμον για το τι σημαίνει πραγματικά η δυνατότητα ύπαρξης ενός νόμου. Στα μαθηματικά έχουμε, λοιπόν, ένα παράδειγμα νόμου αυτού τού είδους, που δεν αφορά μόνο τα αντικείμενα ή τα υποκείμενα, αλλά και τους ίδιους τους νόμους. Ο ανώτατος αυτός νόμος παίρνει τη μορφή ενός πολύ απλού αξιώματος. Το αξίωμα αυτό, το οποίο ονομάζεται «αξίωμα τής κατασκευασιμότητας», μας λέει ότι κάθε σύνολο είναι κατασκευάσιμο. Εδώ έχουμε να κάνουμε με μια απόφαση που έχει ως αντικείμενο την ίδια την ύπαρξη: κρίνοντας ότι τα μόνα σύνολα που υπάρχουν είναι αυτά που μπορούν να κατασκευαστούν, καταλήγουμε σε μια απλή διατύπωση που συνιστά συγχρόνως και απόφαση ύπαρξης. Σύμφωνα, λοιπόν, με τον νόμο των νόμων, όλα τα σύνολα είναι κατασκευάσιμα. Εδώ παρουσιάζεται μια αληθινή δυνατότητα επιλογής. Μπορείτε, πράγματι, να αποφασίσετε ότι κάθε σύνολο μπορεί να κατασκευαστεί. Και για ποιο λόγο; Γιατί όλα τα μαθηματικά θεωρήματα που είναι αποδείξιμα στο πλαίσιο τής γενικής θεωρίας των συνόλων είναι αποδείξιμα και σε σχέση με τα κατασκευάσιμα σύνολα. Ό,τι επομένως αληθεύει στο ευρύτερο σύνολο αναφοράς των συνόλων θα αληθεύει και στο σύνολο αναφοράς που αποτελείται αποκλειστικά από τα κατασκευάσιμα σύνολα. Έχουμε έτσι τη δυνατότητα να αποφασίσουμε — και μάλιστα χωρίς καμία απώλεια, πράγμα που έχει μεγάλη σημασία όσον αφορά το γενικό ζήτημα τού νόμου — ότι όλα τα σύνολα είναι κατασκευάσιμα ή ακόμη ότι κάθε πολλαπλότητα διέπεται από τον νόμο: οτιδήποτε αληθεύει γενικά ισχύει επίσης και στην περίπτωση που περιορίσουμε την εφαρμογή του στα κατασκευάσιμα σύνολα. Πράγματι, κάνοντας την παραδοχή αυτή, δεν χάνουμε απολύτως τίποτα, δοθέντος ότι η εφαρμογή τού αξιώματος τής κατασκευασιμότητας κατ’ ουδέν μεταβάλλει το πεδίο τής αλήθειας. Επομένως, καταλήγουμε σε γενικές γραμμές στο συμπέρασμα ότι ο νόμος δεν αποτελεί περιορισμό τής ζωής και τής σκέψης· στο πλαίσιο τού νόμου η ελευθερία τής ζωής και η ελευθερία τής σκέψης είναι ένα και το αυτό. Το μαθηματικό μοντέλο που αντιστοιχεί στην ιδέα αυτή είναι ότι δεν αλλάζει τίποτα, αν δεχτούμε ότι όλα τα σύνολα είναι κατασκευάσιμα, αν δεχτούμε δηλαδή ότι αληθεύει η πρόταση ότι όλα τα υποσύνολα ενός οποιουδήποτε συνόλου είναι κατασκευάσιμα, πράγμα που σημαίνει ότι όλα τα υποσύνολά του έχουν σαφή ορισμό. Είναι έτσι γενικά εφικτή μια λογική ταξινόμηση όλων των υποσυνόλων — κατά κάποιον τρόπο, μια ταξινόμηση τής ίδιας τής κοινωνίας — χωρίς καμία απώλεια όσον αφορά την αλήθεια.

Θα ήθελα εδώ να επιστήσω την προσοχή σας σε ένα ιδιαίτερα σημαντικό σημείο, σ’ ένα απλό γεγονός, στο ότι δηλαδή κανένας μαθηματικός δεν αποδέχεται στην πράξη το αξίωμα τής κατασκευασιμότητας. Ποιος μπορεί να αρνηθεί ότι ένα σύστημα ή ένας κόσμος όπου τα πάντα είναι κατασκευάσιμα δεν είναι πράγματι έξοχος; Κι όμως το εντυπωσιακό αυτό σύστημα δεν διεγείρει τον πόθο ακόμα και τού πιο συντηρητικού μαθηματικού, διότι εκείνο που πραγματικά επιθυμεί ο μαθηματικός είναι να υπερβεί το αποκρυσταλλωμένο σύστημα τού ονομαστικού ορισμού και τής κατασκευασιμότητας. Η επιθυμία τού μαθηματικού είναι η επιθυμία ενός μαθηματικού τέρατος. Δεν παύει μεν να επιθυμεί τον νόμο — δύσκολα μπορεί κανείς να ασχοληθεί συστηματικά με τα μαθηματικά χωρίς να συμμορφώνεται σε κάποιον νόμο —, αλλά η επιθυμία εύρεσης ενός νέου μαθηματικού τέρατος βρίσκεται επέκεινα τού νόμου.

Στο σημείο αυτό συναντώνται τα σύγχρονα μαθηματικά με την κλασσική θεολογία. Γνωρίζετε βεβαίως το περίφημο απόσπασμα από την προς Ρωμαίους Επιστολή τού Αποστόλου Παύλου. Η άμεση σύνδεση νόμου και επιθυμίας εμφανίζεται με το όνομα τής αμαρτίας: «ἀλλὰ τὴν ἁμαρτίαν οὐκ ἔγνων εἰ μὴ διὰ νόμου, τήν τε γὰρ ἐπιθυμίαν οὐκ ᾔδειν εἰ μὴ ὁ νόμος ἔλεγεν· Οὐκ ἐπιθυμήσεις».[1] Η αμαρτία είναι εκείνη η διάσταση τής επιθυμίας που βρίσκει το αντικείμενό της μετά και πέρα από την επιταγή τού νόμου, πράγμα που τελικά σημαίνει ότι εκείνο που βρίσκει είναι το αντικείμενο χωρίς όνομα.

Το παράδειγμα των μαθηματικών είναι ιδιαίτερα εντυπωσιακό. Μετά τον Γκέντελ, μετά τον ορισμό των κατασκευάσιμων συνόλων και την απόρριψη τού αξιώματος τής κατασκευασιμότητας από την πλειοψηφία των μαθηματικών, το ερώτημα τής μαθηματικής επιθυμίας πήρε την εξής μορφή: πώς μπορούμε να εντοπίσουμε ένα μη κατασκευάσιμο σύνολο; Βλέπετε αμέσως ποιο είναι το πρόβλημα και τις τεράστιες πολιτικές του συνέπειες. Η δυσκολία είναι η εξής: πώς μπορούμε να βρούμε ένα μαθηματικό αντικείμενο χωρίς όνομα, χωρίς σαφή περιγραφή, χωρίς θέση στο σύστημα ταξινόμησης; Με άλλα λόγια, πώς μπορούμε να βρούμε ένα αντικείμενο με χαρακτηριστικά γνωρίσματα την ανωνυμία και την μη κατασκευασιμότητα; Στη δεκαετία τού εξήντα τού περασμένου αιώνα, ο Πολ Κοέν βρήκε μια σύνθετη και κομψή λύση στο πώς να ονομάσουμε ή να εντοπίσουμε ένα μη κατασκευάσιμο σύνολο, δηλαδή ένα σύνολο χωρίς όνομα, χωρίς συγκεκριμένο κατηγόρημα, χωρίς θέση στη μεγάλη κατηγορική ταξινόμηση. Κατ’ αυτόν τον τρόπο, η επιθυμία πέτυχε μια μεγάλη νίκη εις βάρος τού νόμου και μάλιστα στο πεδίο των μαθηματικών, το κατεξοχήν πεδίο τής κυριαρχίας τού νόμου. Μαζί με τόσα άλλα, μαζί με τόσες άλλες νίκες αυτού τού είδους, αυτό συνέβη στη δεκαετία τού εξήντα. Ο Κοέν χρησιμοποίησε την εντυπωσιακή ονομασία «γενολογικά σύνολα» για να χαρακτηρίσει τα εν λόγω μη κατασκευάσιμα σύνολα. Η επινόηση αυτή θα πρέπει να συγκαταλεχθεί στις επαναστατικές δράσεις και επιτεύγματα τής δεκαετίας τού εξήντα.

Γνωρίζουμε ότι, για να περιγράψει την κατάσταση κατά την οποία το ανθρώπινο γένος τίθεται σε τροχιά αυτοχειραφέτησης, ο Μαρξ χρησιμοποιεί την έκφραση «γενολογική ανθρωπότητα»[2] και, επιπλέον, ότι «προλεταριάτο» είναι το όνομα που δίνει ο Μαρξ στην καταφατική μορφή τής δυνατότητας ύπαρξης τής γενολογικής αυτής ανθρωπότητας. Στον Μαρξ το γίγνεσθαι τής καθολικότητας τού ανθρώπινου είναι δηλώνεται με τον όρο «γενολογικό», ενώ η ιστορική αποστολή τού προλεταριάτου έγκειται στην αποκάλυψη τής γενολογικής μορφής τού ανθρώπινου είναι. Ο Μαρξ θεωρεί, επομένως, ότι η πολιτική αλήθεια βρίσκεται με το μέρος τής γενολογικότητας και ποτέ με το μέρος τής μερικότητας. Πρόκειται τυπικά για ζήτημα που αφορά την επιθυμία, τη δημιουργία ή την επίνοια και στο οποίο δεν εμπλέκονται καθόλου ο νόμος, η αναγκαιότητα ή η συντήρηση τής καθεστηκυίας τάξης πραγμάτων. Για τον Κοέν, όπως άλλωστε και για τον Μαρξ, η καθαρή καθολικότητα των συνόλων ή τής πολλαπλότητας δεν πρέπει να αναζητηθεί στην ορθότητα τού ορισμού ή στην σαφήνεια τής περιγραφής, αλλά στη μη κατασκευασιμότητα. Η αλήθεια των συνόλων είναι συνεπώς γενολογική.