Τρίτη, 4 Ιανουαρίου 2011

Θεωρία Κατηγοριών: Σημειώσεις του Χ.Σκιαδά

Η Θεωρία Κατηγοριών και η θέση της στα σύγχρονα Μαθηματικά
Η Θεωρία Κατηγοριών είναι μια σύγχρονη μαθηματική θεωρία που αναπτύχθηκε τα τελευταία πενήντα χρόνια με σκοπό να λύσει προβλήματα άλλων θεωριών ή να θέσει κάποια συμπεράσματά τους σε ένα γενικότερο πλαίσιο. Ξεκίνησε λίγο πολύ σαν μια γλώσσα για τα Μαθηματικά, αλλά σύντομα πήρε το δρόμο της σαν μια Μαθηματική θεωρία.
Αλλά τι είναι τελικά η Θεωρία Κατηγοριών; Με απλά λόγια είναι η θεωρία που ασχολείται με ιδιότητες των μορφισμών (των “καλών” απεικονίσεων) κάθε άλλης μαθηματικής θεωρίας. Ας προσπαθήσουμε να γίνουμε πιο συγκεκριμένοι. Καταρχήν έχουμε τα σύνολα και τις απεικονίσεις μεταξύ τους. Αν όμως θεωρήσουμε σύνολα με κάποια συγκεκριμένη δομή (για παράδειγμα διανυσματικοί χώροι ή τοπολογικοί χώροι), τότε δεν μας ενδιαφέρουν όλες οι απεικονίσεις μεταξύ των συνόλων, αλλά μόνο αυτές που “σεβονται”, που διατηρούν τη δεδομένη δομή (για παράδειγμα οι γραμμικές απεικονίσεις ή οι συνεχείς απεικονίσεις αντίστοιχα). Η Θεωρία Κατηγοριών μελετά ακριβώς αυτή τη συλλογή όλων των αντικειμένων με μια συγκεκριμένη δομή και των απεικονίσεων που διατηρούν τη δομή αυτή, των λεγόμενων μορφισμών. Όλη αυτή η συλλογή (μαζί με την οριζόμενη φυσιολογικά πράξη σύνθεσης) καλείται μια κατηγορία. Έτσι για παράδειγμα έχουμε την κατηγορία των ομάδων με τους αντίστοιχους μορφισμούς ομάδων, την κατηγορία των διανυσματικών χώρων με τους αντίστοιχους μορφισμούς τους, τις γραμμικές απεικονίσεις, και ούτω καθεξής.
Στην πραγματικότητα η θεωρία κατηγοριών (τουλάχιστον σε πρώτη φάση) δε λαμβάνει υπ’ όψη της το γεγονός ότι σε κάθε αντικείμενο βρίσκεται υποκείμενο ένα σύνολο. Αντιθέτως μια κατηγορία ονομάζεται μια συλλογή από αντικείμενα μαζί με κάποια “βελάκια” μεταξύ τους, ονομαζόμενα μορφισμοί, έτσι ώστε κάθε μορφισμός να έχει ένα “πεδίο ορισμού” και ένα “πεδίο τιμών” (απλώς δύο αντικείμενα της συλλογής μας) και να έχει ορισθεί μια πράξη σύνθεσης μορφισμών, έτσι ώστε ένας μορφισμός από το Α στο Β και ένας από το Β στο Γ να μας δίνουν ένα μορφισμό από το Α στο Γ, ενώ για κάθε αντικείμενο Α της κατηγορίας υπάρχει ένας μορφισμός 1Α από το Α στο Α, ο οποίος συντιθέμενος με οποιονδήποτε άλλο μορφισμό β μας δίνει τον ίδιο το β και λέγεται ταυτοτικός. Αυτά είναι τα μόνα εφόδια που έχει (αρχικά) κανείς.
Κατόπιν η θεωρία αρχίζει να πλουτίζεται, καθώς προσπαθεί κανείς να βάλει επιπλέον ιδιότητες στους μορφισμούς. Το πρόβλημα είναι ότι η ιδιότητα αυτή δεν θα πρέπει να έχει να κάνει με κάποια στοιχεία που θα “ανήκουν” στο αντικείμενο, αφού το αντικείμενο δεν είναι απαραίτητα σύνολο. Εύλογα λοιπόν αναρωτιέται κανείς, πώς θα μπορούσε να εκφράσει σε αυτό το πλαίσιο έναν ορισμό όπως της 1-1 απεικόνισης μεταξύ συνόλων. Το εντυπωσιακό είναι πως μπορεί (!) και μάλιστα με δύο (!!) διαφορετικούς τρόπους.
Αυτό οφείλεται στην ακόλουθη πρόταση που αποδεικνύεται στη θεωρία συνόλων:
Έστω f:X® Y συνάρτηση μεταξύ των συνόλων Χ και Υ. Τότε τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα:
α)Η f είναι 1-1
β)Υπάρχει μία g:Y® X με gf=1X (Δηλαδή η f έχει αριστερό αντίστροφο)
γ)Για κάθε ζεύγος συναρτήσεων α,β:Υ® Ζ (Ζ τυχαίο) με αff, έχουμε ότι α=β (Δηλαδή η f είναι όπως λέμε από δεξιά διαγράψιμη)
Παρατηρεί κανείς άμεσα ότι στις ισοδυναμίες β και γ εμφανίζεται μόνο η έννοια του μορφισμού συνόλων (της απλής απεικόνισης). Έτσι οι δύο αυτές προτάσεις μπορούν να χρησιμοποιηθούν στο πλαίσιο της θεωρίας Κατηγοριών. Έτσι σε μια κατηγορία ένας μορφισμός λέγεται μονομορφισμός, αν είναι από δεξιά διαγράψιμος, ενώ λέγεται διασπώμενος μονομορφισμός, αν έχει αριστερό αντίστροφο. Οι δύο αυτοί ορισμοί δεν είναι εν γένει ισοδύναμοι, αν και στην κατηγορία των συνόλων συμπίπτουν. (Στην κατηγορία των ομάδων διασπώμενοι μονομορφιμοί είναι αυτοί που όταν το πεδίο ορισμού τους θεωρηθεί σαν υποομάδα του πεδίου τιμών τους, αυτή είναι κανονική, η ισοδύναμα πυρήνας ενός μορφισμού)
Με παρόμοιο τρόπο μεταφέρονται οι έννοιες της ένωσης και τομής συνόλων, της εικόνας και της αντίστροφης εικόνας μιας απεικόνισης, του πυρήνα ενός μονομορφισμού, του καρτεσιανού γινομένου συνόλων καθώς και του ευθέως αθροίσματος ομάδων ή του καρτεσιανού γινομένου διανυσματικών χώρων. Παράλληλα όμως δημιουργούνται και καινούργιοι, συγκεκριμένα οι δυϊκοί τους. Ας δούμε τι σημαίνει αυτό.
Αν ξεκινήσουμε από μια κατηγορία, μπορούμε να φτιάξουμε μια καινούργια κατηγορία με το ακόλουθο “τρικ”: Η καινούργια κατηγορία έχει τα ίδια αντικείμενα με την αρχική, μόνο που τώρα οι μορφισμοί έχουν αλλάξει φορά. Δηλαδή αν στην αρχική κατηγορία υπήρχε ένας μορφισμός α:Α® Β, τότε η καινούργια κατηγορία έχει ένα μορφισμό α:Β® Α. Η πράξη της σύνθεσης ρυθμίζεται ανάλογα. Αυτή η κατηγορία λέγεται δυϊκή της πρώτης. Με τον τρόπο αυτό μπορούμε από κάθε ορισμό σε μια κατηγορία να φτιάξουμε ένα καινούργιο ορισμό, αντιστρέφοντας στην ουσία τη φορά των μορφισμών-βελών (Θεωρώντας δηλαδή τον αντίστοιχο ορισμό στην δυϊκή της κατηγορίας). Έτσι για παράδειγμα ένας μορφισμός λέγεται επιμορφισμός, αν είναι μονομορφισμός στη δυϊκή κατηγορία, δηλαδή αν είναι από δεξιά διαγράψιμος στην δυϊκή κατηγορία, ή ισοδύναμα (από τον ορισμό της σύνθεσης στη δυϊκή κατηγορία) αν είναι από αριστερά διαγράψιμος στην αρχική κατηγορία. Έτσι για κάθε έννοια της θεωρίας κατηγοριών υπάρχει η δυϊκή της, και κάθε πρόταση έχει μια αντίστοιχη δυϊκή, που στην ουσία προκύπτουν αν αντιστρέψουμε τη φορά των βελών. Έτσι κάθε απόδειξη μιας πρότασης από κάποιες υποθέσεις μας δίνει μια απόδειξη της δυϊκής της πρότασης από τις δυϊκές των υποθέσεων. Στην ουσία κάθε φορά αποδεικνύουμε δύο προτάσεις μαζί (!).
Μέχρι τώρα είδαμε τα αντικείμενα της θεωρίας Κατηγοριών, τις κατηγορίες. Όμως η θεωρία Κατηγοριών είναι μια μαθηματική θεωρία, άρα εκτός από αντικείμενα έχει και μορφισμούς μεταξύ τους, δηλαδή απεικονίσεις μεταξύ κατηγοριών που σέβονται τη δομή των κατηγοριών. Πιο συγκεκριμένα ένας συναρτητής μεταξύ των κατηγοριών Α και Β είναι μία απεικόνιση που αντιστοιχεί σε κάθε αντικείμενο της Α ένα αντικείμενο της Β και σε κάθε μορφισμό μεταξύ δύο αντικειμένων της Α έναν μορφισμό μεταξύ των αντίστοιχων αντικειμένων της Β. Η αντιστοίχιση γίνεται με τέτοιο τρόπο ώστε η εικόνα της σύνθεσης δύο μορφισμών να είναι η σύνθεση των εικόνων τους και η εικόνα του ταυτοτικού μορφισμού ενός αντικειμένου να είναι ο ταυτοτικός της εικόνας του αντικειμένου.
Σημαντικότατο παράδειγμα συναρτητών είναι οι λεγόμενοι “ξεχασιάρηδες” συναρτητές, που “ξεχνάνε” την επιπλέον δομή κάποιων συνόλων. Έτσι για παράδειγμα υπάρχει ένας συναρτητής που αντιστοιχεί σε κάθε διανυσματικό χώρο (ή τοπολογικό χώρο κλπ) το υποκείμενο σύνολό του (“ξεχνώντας” την επιπλέον δομή διανυσματικού χώρου που έχειτο σύνολο) και σε κάθε μορφισμό ομάδων την αντίστοιχη απεικόνιση μεταξύ των υποκείμενων συνόλων. Μια άλλη κλάση συναρτητών είναι οι λεγόμενοι συναρτητές ομολογίας, που (για κάθε φυσικό ν) σε κάθε τοπολογικό χώρο αντιστοιχούν τη λεγόμενη ν-οστή ομάδα ομολογίας του χώρου και σε κάθε συνεχή απεικόνιση μεταξύ δύο τοπολογικών χώρων έναν επαγόμενο μορφισμό μεταξύ των αντίστοιχων ομάδων. Με τη βοήθεια αυτών των συναρτητών αποδεικνύεται το περίφημο θεώρημα του Brouwer, που λέει ότι κάθε συνεχής συνάρτηση f από τη σφαίρα Dn={x Rn ||x||<1ή||x||=1} στον εαυτό της έχει τουλάχιστον ένα σταθερό σημείο, δηλαδή υπάρχει x με f(x)=x.
Τι σημασία έχουν λοιπόν αυτοί οι συναρτητές; Καταρχάς μας επιτρέπουν να μεταφέρουμε προβλήματα μιας θεωρίας σε προβλήματα μιας άλλης, όπου ελπίζουμε ότι θα είναι πιο εύκολα στη λύση τους, μας προσφέρουν δηλαδή μια σύνδεση μεταξύ των μαθηματικών θεωριών. Έτσι για παράδειγμα ας υποθέσουμε ότι έχουμε δύο τοπολογικούς χώρους Χ και Υ και θέλουμε να αποφανθούμε αν είναι ομοιομορφικοί, δηλαδή ισόμορφοι στην κατηγορία των τοπολογικών χώρων. Ας υποθέσουμε ακόμα ότι έχουμε τον “ξεχασιάρη” συναρτητή, έστω U, από την κατηγορία των τοπολογικών χώρων στην κατηγορία των συνόλων. Τότε, αν οι Χ και Υ είναι ομοιομορφικοί μέσω ενός α:Χ® Υ, τότε ο U(α):U(X)® U(Y) είναι ισομορφισμός στην κατηγορία των συνόλων, δηλαδή τα υποκείμενα σύνολα των Χ και Υ είναι ισοπληθικά. Οπότε αν τα υποκείμενα σύνολα των Χ και Υ δεν είναι ισοπληθικά, προκύπτει ότι οι χώροι Χ και Υ δεν είναι ομοιομορφικοί. Βέβαια δεν χρειαζόμαστε τη Θεωρία Κατηγοριών για να μας το πει αυτό, όμως η Θεωρία Κατηγοριών μας επιτρέπει να δούμε το συμπέρασμα σε ένα γενικότερο πλαίσιο, ότι δηλαδή αν οι εικόνες μεταξύ ενός συναρτητή δύο αντικειμένων είναι μη ισόμορφες, τότε και τα αντικείμενα είναι μη ισόμορφα. Αν οι εικόνες είναι ισόμορφες, δεν μπορούμε εν γένει να πούμε τίποτα.
Χρησιμοποιώντας τους συναρτητές ομολογίας που αναφέραμε παραπάνω, μπορούμε να πούμε πολύ περισσότερα πράγματα για το αν δύο τοπολογικοί χώροι είναι ομοιομορφικοί. Έτσι αν δύο τοπολογικοί χώροι είναι ομοιομορφικοί, τότε οι ν-οστές ομάδες ομολογίας τους είναι ισόμορφες (για κάθε ν). Υπολογίζοντας αυτές τις ομάδες μπορούμε συχνά να αποφανθούμε αν δύο χώροι είναι ομοιομορφικοί. Έτσι για παράδειγμα μπορούμε να αποδείξουμε ότι R Rnαν και μόνο αν m=n (όπου Rm ο συνήθης m-διάστατος ευκλείδειος χώρος). Και πάλι θα μπορούσαμε να αποδείξουμε το παραπάνω θεώρημα χωρίς ρητή αναφορά σε κατηγορίες και συναρτητές, αλλά αυτό θα ήταν το ίδιο σαν να χρησιμοποιούσαμε στην απόδειξη ενός θεωρήματος τις γραμμικές πράξεις που τυγχάνει να έχει ένα σύνολο, χωρίς να αναφερόμαστε ρητώς στο γεγονός ότι το σύνολο έχει τη δομή διανυσματικού χώρου. Δεν είναι πιο κομψό (ίσως πιο σωστό, αν μπορούσαμε να πούμε ότι κάτι είναι σωστό ή όχι) να αναφέρουμε ότι το σύνολο υπό μελέτη είναι ένας διανυσματικός χώρος;
Ενώ λοιπόν, ενώ μπορεί κανείς να ισχυριστεί ότι η Θεωρία Κατηγοριών είναι απλώς μια γλώσσα και μπορούμε να κάνουμε Μαθηματικά χωρίς αυτήν, εντούτοις τα πράγματα δεν είναι έτσι. Υπάρχουν θεωρήματα τα οποία ισχύουν στη Θεωρία Κατηγοριών και μας βοηθούν στην καθημερινή ενασχόλησή μας με τα Μαθηματικά. Ας κάνουμε έναν παραλληλισμό. Ας υποθέσουμε ότι δεν έχουμε δημιουργήσει τη θεωρία ομάδων. Ας υποθέσουμε ακόμα ότι στη δουλειά μας συναντάμε ένα σύνολο στο οποίο έχουμε μια πράξη που ικανοποιεί τα αξιώματα μιας ομάδας. Αν πάρουμε ένα υποσύνολό του που είναι κλειστό ως προς την πράξη, μπορούμε να αποδείξουμε ότι η τάξη του (το πλήθος των στοιχείων του) διαιρεί την τάξη του δεδομένου συνόλου (θυμηθείτε ότι δεν έχουμε το θεώρημα του Lagrange, αφού δεν έχουμε θεωρία ομάδων). Αν πάρουμε ένα άλλο υποσύνολο του αρχικού, μπορούμε πάλι να αποδείξουμε ότι η τάξη του διαιρεί την τάξη του αρχικού, είναι όμως κάτι το οποίο πρέπει να αποδείξουμε. Μπορούμε να πούμε ότι αποδεικνύεται παρόμοια, όμως αυτό είναι το ίδιο με το να ορίσουμε ότι λέμε ένα σύνολο ομάδα, αν έχει μια πράξη που ικανοποιεί τα γνωστά αξιώματα της ομάδας, να δείξουμε τι ιδιότητες έχει μια τυχούσα ομάδα, και μετά απλώς να παρατηρήσουμε ότι τα άλλα σύνολα που προκύπτουν στη δουλειά μας είναι ομάδες, να θεμελιώσουμε με λίγα λόγια τη Θεωρία Ομάδων. Το ίδιο συμβαίνει και με τη Θεωρία Κατηγοριών.
Η Θεωρία Κατηγοριών εμφανίζεται πλέον σε πάρα πολλές περιπτώσεις, ειδικά όταν προσπαθούμε να συνδέσουμε διάφορους κλάδους των Μαθηματικών. Είναι μέρος της καθημερινής μας πρακτικής (στην πραγματικότητα τα περισσότερα πράγματα που έχουμε ορίσει μπορούν να εκφραστούν με τη γλώσσα της Θεωρίας Κατηγοριών, απλώς δεν το γνωρίζουμε ή δεν μας ενδιαφέρει). Μας βοηθάει να λύσουμε κάποια προβλήματα, ή να τα δούμε σε άλλο πλαίσιο, αλλά από την άλλη έχει και αυτή τα προβλήματά της, όπως για παράδειγμα πότε δύο κατηγορίες είναι κατ’ ουσία ίδιες (όχι έναν ορισμό, αλλά σε συγκεκριμένα παραδείγματα), ή πότε μια κατηγορία μπορεί να θεωρηθεί ως κατηγορία που τα αντικείμενά της είναι σύνολα (με κάποια ενδεχομένως δομή). Η απάντηση σε αυτά τα ερωτήματα, από ότι ξέρω τουλάχιστον, είναι πολύ μακριά.
Σκιαδάς Χαρίλαος
Βιβλιογραφία:
Νασόπουλος: “Στοιχεία Θεωρίας Κατηγοριών”, Σημειώσεις Παραδόσεων, Πανεπιστήμιο Αθηνών, 1986
Mitchell: “Theory of Categories” Academic Press, 1965

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου