Δευτέρα, 26 Δεκεμβρίου 2011

Badiou : Για τον Ευκλείδη και τους "πρώτους" αριθμούς (via Q Meillassoux)

Πηγή:Quentin Meillassoux, Histoire et événement chez Alain Badiou

Let us take the mathematical example, a very seminal procedure of thought for Badiou. That is to say the arithmetic theorem which states, in contemporary terms, that there are an infinity of prime numbers. It is known that Euclid had already demonstrated this theorem in the Elements, and one could thus deduce from this the restlessness of an eternal truth, intangible and unchanged by history, as true for a Greek as for a contemporary, and concealing the same kernel of significance for one as for the other. But the partisan of historical relativism, as self-styled "anthropologist of cultures" will underline our naivety, making apparent that the equivalence of two statements, present in two different cultural worlds, do not have a common truth - which already revealed by a difference in their formulation. Euclid, indeed, could not demonstrate the infinity of the prime numbers, since infinite arithmetic did not have any meaning for a Greek. It simply demonstrated that prime numbers were always higher in quantity than a given (finite) quantity of prime numbers. Other differences in formulation will end up convincing our relativist that the two statements support an incommensurable truth.

Badiou retorts that this naive illusion is on the side of the anthropologist, and not of the mathematician. Because the Greeks had discovered, via this theorem, a truth essential for number. The demonstration of Euclide, in effect, proceeds as a demonstration that any whole number is decomposable into prime factors. But Badiou insists that this truth always governs contemporary mathematics, in particular modern abstract algebra. This covers, in a given operational domain, the definition of operations similar to those of addition or multiplication, but also proceeds to break up its "objects" into primitive objects, in the same way that a number is always decomposable into prime numbers. There is thus, across the centuries and cultural and anthropological worlds, these truths which, though eternal, are not fixed but produce the sole authentic history: that of fertile theoretical gestures, always recommencing in diverse contexts, with the same fidelity, and yet at the same time the results of innovators.

Όλο το κείμενο εδώ

Κυριακή, 4 Δεκεμβρίου 2011

Constructible sets

Πηγή : Scribd Badiou-Alain-Politics-A-nonexpressive-dialectics

There is a very clear mathematical example of this relation between desire and law, between different forms of existence, which is really interesting. Don’t be afraid, it’s very simple. I think mathematics is very often something which is linked to ter- ror. And I am always speaking from a non-terrorist conception of mathematics…

Suppose that we are in the theory of sets – we have a theory of the pure multiplicity – and suppose we consider one set, no matter what set; a multiplicity absolutely ordinary. The interesting thing is that with some technical means we can for- malise the idea of a subset of this set which has a clear name. So the question of the relation between existence and clear name has a possible formalisation in the field of the mathematical theory of sets. Precisely, to have a clear name is to be defined by one clear formula. It was an invention of the greatest logician of the last century, Kurt Gödel. He named that sort of subset a con- structible subset; a constructible subset of a set is a set which has a clear description. And generally speaking we name con- structible set a set which is a constructible subset of another set.

So, we have here the possibility of what I name a great law. What is a great law? A great law is a aw of laws, if you want: the law of what is really the possibility of a law. And we have a sort of math- ematical example of what is that sort of law, which is not only a law of things or subjects, but a law for laws. The great law takes the form of an axiom, the name of which is the axiom of con- structibility and which is very simple. This axiom is: all sets are constructible. You know that is a decision about existence: you decide that exist only sets that are constructible, and you have as a simple formula a simple decision about existence. All sets are constructible, that is the law of laws. And this is really a possibil- ity. You can decide that all sets are constructible. Why

Because all mathematical theorems which can be demonstrated in the general theory of sets can also be demonstrated in the field of con- structible sets. So all that is true of sets in general is in fact true for only constructible sets. So – and it’s very interesting about the question, the general question of the law – we can decide that all sets are constructible, or if you like that all multiplicity is under the law, and we lose nothing: all that is true in general is true with the restriction to constructible sets. If you lose nothing, if the field of truth is the same under the axiom of constructibility, we can say something like: the law is not a restriction of life and thinking; under the law, the liberty of living and thinking is the same. And the mathematical model of that is that we don’t lose anything when we have the affirmation that all sets are constructible, that is to say all parts of sets are constructible, that is to say finally all parts have a clear definition. And as we have a general classifica- tion of parts, a rational classification of parts; classification of society if you want – without any loss of truth. At this point there is a very interesting fact, a pure fact. Practically no mathematician admits the axiom of constructibili- ty. It’s a beautiful order, in fact, it’s a beautiful world: all is con- structible. But this beautiful order does not stimulate the desire of a mathematician, as conservative as he might be. And why? Because the desire of the mathematician is to go beyond the clear order of nomination and constructibility. The desire of the mathematician is also the desire for a mathematical monster. They want a law, certainly – difficult to do mathematics without laws – they want a law but the desire to find some new mathematical monster is beyond this law.

The mathematical example is very striking. After Gödel, the def- inition of constructible sets, and the refusal of the axiom of con- structibility by the majority of mathematicians, the question of the mathematician’s desire becomes: how can I find a non-con- structible set? And you see the difficulty, which is of great politi- cal consequence. The difficulty is, how can we find some mathe- matical object without clear description of it, without name, with- out place in the classification: how to find an object the character- istic of which is to have no name, to not be constructible, and so on. And the very complex and elegant solution was found in the sixties by Paul Cohen. He found an elegant solution to name, to identify, a set which is not constructible, which has no name, which has no place in the great classification of predicates, a set which is without specific predicate. It was a great victory of desire against law, in the field of law itself, the mathematical field. And like many things, many victories of this type, it was in the sixties. And Paul Cohen gives the nonconstructible sets a very beautiful name: generic sets. And the invention of generic sets is something in the revolutionary actions of the sixties.

Τετάρτη, 16 Νοεμβρίου 2011

Ντοκουμέντα από την κριτική κατά του Alain Badiou στο περιοδικό Critical Inquiry

Αναδημοσίευση από Lenin Reloaded

Ο καθηγητής David Nirenberg --ειδικός επί της μεσαιωνικής ιστορίας και μέλος της Επιτροπής για την Κοινωνική Σκέψη στο Πανεπιστήμιο του Σικάγο-- και ο πατέρας του, Ricardo Nirenberg --συνταξιούχος μαθηματικός-- γνωστοί και για το επιστημονικό και πολιτικό τους ενδιαφέρον για τον αντισημιτισμό, δημοσίευσαν στο Critical Inquiry, το διασημότερο περιοδικό για την λογοτεχνική και πολιτισμική θεωρία στις ΗΠΑ (εκδόσεις πανεπιστημίου του Σικάγο), μια σφοδρή κριτική της χρήσης των μαθηματικών στην οντολογία του Μπαντιού. 

Η κριτική αυτή μπορεί να διαβαστεί εδώ.

Στην κριτική αυτή απάντησαν οι A.J. Bartlett και Justin Clemens, εδώ

Ο Badiou απάντησε με έναν σύντομο πρόλογο στην απάντηση των Bartlett και Clemens, εδώ.

Τέλος, οι Nirenberg και Nirenberg απάντησαν στις απαντήσεις των προαναφερθέντων εδώ.

Δευτέρα, 29 Αυγούστου 2011

Αποσπάσματα από το Wittgenstein's Antiphilosophy (1)

Η απλή ερώτηση «Είναι τα μαθηματικά ένας τρόπος σκέψης» υπόγεια οργανώνει την διαμάχη μεταξύ φιλοσοφίας και αντιφιλοσοφίας.
Γιατί;
Επειδή εάν οι μαθηματικές αναλογίες σκέπτονται , τότε αυτό σημαίνει ότι είναι δυνατός  ένας λόγος χωρίς την εμπειρία του αντικειμένου, μια υποκειμενική και ρυθμισμένη πρόσβαση στο κατανοητό, ότι το είναι  δεν είναι αποκλεισμένο από όλες τις αναλογίες, ότι τελικά η  πράξη είναι ίσως μια θεωρητική υπόσταση.
Ο αντιφιλόσοφος τα αρνείται όλα αυτά
Από εκεί και πέρα η γενική γραμμή της αντιφιλοσοφίας είναι ότι τα μαθηματικά δεν είναι ένας τρόπος σκέψης  αλλά ένας υπολογισμός. Μέσω  αυτής της «υπολογιστικής» διάστασης ή ως ένας απλός μετασχηματισμός  σημείων ,αναδύεται το αδιαφοροποίητο πρόταγμα:
Τα μαθηματικά είναι μια παραλλαγή της  λογικής.
Ο Wittgenstein το ανακοινώνει μέσω της συνήθους ευθύτητας του : «Τα μαθηματικά είναι λογική μέθοδος»  

σ.137

Δευτέρα, 14 Μαρτίου 2011

Η εργατική τάξη δεν είναι μαθηματικό άθροισμα

O χονδροειδής Μαρξισμός όπως και ο αντίστοιχος Φρουδισμός δεν μπόρεσαν ποτέ να διαυγάσουν μια σημαντική παρανόηση. Ο πρώτος υποστήριξε ότι η αλήθεια είχε ιστορικά αναπτυχθεί στην βάση επαναστατικών γεγονότων της εργατικής τάξης. Αλλά αντιλήφθηκε αυτή τη διαδικασία μέσω της έννοιας της τάξης ως μαθηματικής κλάσης της πεπερασμένης συλλογής  των εργατών. Όμως   «οι εργάτες» εννοούμενοι ως απλά σύνολα-πολλαπλά  σχηματίζουν μια άπειρη κλάση , δεν είναι το εμπειρικό άθροισμα όλων των εργατών ως μαθηματικό άθροισμα. Και αυτό  οδήγησε  τη γνώση ( και παραδόξως την ίδια τη Μαρξιστική γνώση) να θεωρήσει «τους εργάτες» ως στοιχεία κοινωνικών και οικονομικών προσδιορισμών. Το συμβάν όμως δεν έχει καμία σχέση με αυτό που ήδη έχει επιμετρηθεί , έχει καταμετρηθεί  , και η αλήθεια δεν είναι  επαλήθευση που τεκμηριώνεται εντός της υφιστάμενης γλώσσας μιας κατάστασης.  Αλλά και η αλήθεια τελικά ακυρώνεται ( αυτό που λέμε «αυτό έχει ξαναγίνει» ή «είναι παλαιομοδίτικο» ) γιατί η εγκυκλοπαιδική γνώση είναι πάντα ασταθής.  Αυτή η σύμπτωση στην εγκυκλοπαιδική γνώση , αυτή η αυτοναφορική υπόθεση που υιοθέτησε την αρχή ότι ο Μαρξισμός είναι ταυτόχρονα πολιτική αλήθεια, μαχητική και πιστή αλήθεια αλλά και εμπειρική γνώση της Ιστορίας και Κοινωνίας ,  τελικά  τον οδήγησε σε θάνατο  γιατί εγκλωβίστηκε στις διακυμάνσεις της εμπειρικής γνώσης μέσω των δοκιμασιών  της σχέσης γλώσσας και κράτους.Being and Event p334  

Τι είναι η ισότητα

Είναι πολύ σημαντικό να σημειώσουμε ότι η «ισότητα» δεν αναφέρεται σε οτιδήποτε αντικειμενικό. Δεν είναι ένα ζήτημα μια ισότητας μιας κατάστασης, εισοδήματος, διαδικασίας, και ακόμα λιγότερο την υποτιθέμενη εξισωτική δυναμική των κοινωνικών συμβολαίων και μεταρρυθμίσεων. Η ισότητα είναι υποκειμενική .Είναι ισότητα της πολιτικής συνείδησης για τον Saint Just ή της κινηματικής πολιτικής του Mao Tse-tung.Τέτοια ισότητα δεν είναι σε καμία περίπτωση ένα πολιτικό πρόγραμμα. Ακόμη δεν έχει σχέση με το «κοινωνικό». Είναι ένα πολιτικό πρόταγμα, μια πολιτική επιταγή. Η πολιτική ισότητα , δεν είναι αυτό που προσδοκάμε ή σχεδιάζουμε , είναι ότι διακηρύσσουμε μέσω στην θέρμη  του «συμβάντος» , εδώ και τώρα, για αυτό που υπάρχει τώρα και όχι για ότι πρέπει να είναι. Με τον ίδιο τρόπο  για την φιλοσοφία «δικαιοσύνη» δεν μπορεί να είναι ένα κρατικό πρόγραμμα : «δικαιοσύνη» είναι η πιστοποίηση ενός πολιτικού εξισωτικού προσανατολισμού σε δράση. Infinite Though p 54

Τετάρτη, 9 Φεβρουαρίου 2011

Αριθμός και Αριθμοί:Απόσπασμα πρωτο

Λίγα χρόνια μετά το Being & Event o Badiou εκδίδει το Numer and Numbers.Στο βιβλίο γίνεται ακόμα ένα ριζοσπαστικό βήμα. Μέ βάση τον στοχασμό για την φύση των αριθμών, αποδεικνύεται πως τελικά όλες οι επιστήμες και διαδικασίες που βασίζονται στην τρέχουσα έννοια του αριθμού, είναι ιδεολογικές κατασκευές. Αυτό γίνεται γιατί αυτή η ίδια η συμβατική έννοια του αριθμού είναι "ιδεολογική". Στο Number and Numbers αναπτύσεται με λογική όλη αυτή η μαθηματική διερεύνιση της φύσης των αριθμών, και αποδεικνύεται τελικά πόσο λανθασμένη είναι η αστόχαστη εμπιστοσύνη μας σε αυτούς. Απο το βιβλιο αυτό παρατίθενται μερικά αποσπάσματα.

Τότε λοιπόν μπορούμε να πούμε πως η σύγχρονη «κοινοτοπία»  του αριθμού είναι εκτός της σκέψης μας. Η ισχύς του αριθμού ,o κακός οιωνός που αρχικά συζητήσαμε  , είναι εμπόδιο   για το  μαθηματικό στοχασμό του Αριθμού. Επιβάλει την εσφαλμένη ιδέα ενός δεσμού μεταξύ της αριθμολογίας και  της αξίας ή  της αλήθειας. Αλλά ο Αριθμός είναι μια στιγμή του είναι , η οποία δεν μπορεί να υποστηρίξει την αλήθεια, και δεν μεταφέρει καμία αλήθεια παρά αυτή που είναι δεδομένη στη μαθηματική σκέψη ,και  αυτή την στιγμή πραγματώνει την ιστορική παρουσία της σε εμάς.
Εάν η ισχύς του αριθμού – σε σφυγμομετρήσεις ,ψηφοφορίες, εθνικούς λογαριασμού ή ιδιωτικές επιχειρήσεις , στην χρηματική οικονομία σε μια α-υποκειμενική αξιολόγηση των υποκειμένων, δεν μπορεί να εξουσιοδοτηθεί από τον Αριθμό ή από τη σκέψη για τον Αριθμό, αυτό οφείλεται ότι αυτή η ισχύς είναι αποτέλεσμα του νόμου του κατεστημένου , ο οποίος είναι ο νόμος του Κεφαλαίου. Αυτός ο νόμος επιβεβαιώνει,  όπως άλλωστε κάθε νόμος, ότι το μέτρημα με βάση το ένα οποιουδήποτε ευρίσκεται , διαμορφώνει την ιστορική μας πραγματικότητα, αλλά δεν μπορεί να αποκτήσει αξιώσεις αλήθειας: ούτε για την αλήθεια του Αριθμού αλλά ούτε για μια αλήθεια που θα υπογράμμιζε αυτό που ο Αριθμός ορίζει ως μορφή του είναι.
Στη σημερινή κατάσταση , αυτή του Κεφαλαίου, η ισχύς του αριθμού είναι η ισχύς της αστόχαστης σκλαβιάς μιας «αριθμολογίας» .Σε αυτήν την «αριθμολογία» ο Αριθμός υπογραμμίζει οτιδήποτε είναι αξία, και απαγορεύει οποιοδήποτε στοχασμό  για τον ίδιο τον αριθμό. Ο αριθμός λειτουργεί ως το σκοταδιστικό σημείο όπου η κατάσταση συγκεντρώνει το νόμο της: σκοταδιστικό μέσω της ίδιας της ύπαρξης του και εξαιρούμενο από όλες τις αλήθειες, αλλά και εξαιρούμενο από κάθε διαπραγμάτευση για την αλήθεια.
Το αποτέλεσμα είναι όλη η σκέψη αναγκαστικά αναπτύσσεται σήμερα σε μια υποχώρηση σε σχέση με την ισχύ του αριθμού, συμπεριλαμβάνοντας κάθε σκέψη που κάνουμε για την αλήθεια του Αριθμού. Με αυτήν την έννοια πρέπει να ακούσουμε το σύνθημα του Μαλαρμέ ,ποιο αυθάδες από ποτέ : αυτό της συγκρατημένες δράσης.
Όλος ο στοχασμός για την έννοια του Αριθμού, που αποκαθιστά την ύπαρξη του, εξαναγκάζει την αναστροφή της σύγχρονης εκτίμησης όπως αυτή παρουσιάζεται κάτω από την  ταμπέλα του αριθμού. Πρέπει να πούμε ,αντίθετα με την κοινή πεποίθηση ,ότι τίποτα από όσα έχουμε βάλει εντός του αριθμού της αριθμολογίας , έχει αξία. Τελικά  οτιδήποτε ιχνηλατεί την αλήθεια , σηματοδοτείται από μια αδιαφορία για την «αριθμολογία». Αυτή η αδιαφορία δεν μετατρέπεται καν σε κριτήριο γιατί πολλά έργα χωρίς αριθμό, δεν έχουν και ίχνη αλήθειας. Αλλά και αυτή η αδιαφορία είναι μια απαραίτητη υποκειμενικότητα.   
Η αντίθετη πλευρά της αφθονίας του κεφαλαίου είναι η σπανιότητα της αλήθειας η οποία βεβαιώνεται σε: επιστήμη , αλήθεια, πολιτική , έρωτα.
Ν&Ν σ 213,214 

Δευτέρα, 31 Ιανουαρίου 2011

Πέμπτο Μάθημα Badioumathematics:Τι είναι "generic"

Μια από τις έννοιες κλειδί στα Badioumathematics  είναι η έννοια του generic. .Ο  όρος δημιουργεί μερικά μεταφραστικά προβλήματα, καθώς από τους προερχόμενους από τις ανθρωπιστικές επιστήμες μεταφράζεται ως «γενολογικός» ενώ από δε τους  μαθηματικούς ως «γένιος».  Ο ίδιος όρος  χρησιμοποιείται από την φαρμακολογία όπου έχει αποδοθεί  με τον νεολογισμό «γενόσημο». Στην φαρμακολογία λοιπόν ,αφορά τα φάρμακα που παράγονται με μόνο χαρακτηριστικό την ενεργό ουσία τους, χωρίς αναφορά σε ιδιοκτησιακά δικαιώματα της πατέντας του φαρμάκου.
Σε  όλες τις περιπτώσεις το generic είναι ένα επίθετο που προσδιορίζει κάτι και την σχέση του με το «γένος» του , η οποία, όμως , είναι η απλούστερη δυνατή, ίσα ίσα για να διατηρηθεί αυτή η σχέση γένους. Το φάρμακο είναι το πιο απλό παράδειγμα.
Ένα generic φάρμακο έχει μόνο τα χαρακτηριστικά που απαιτούνται για να είναι δραστικό, και αυτό προφανώς είναι η δραστική ουσία του. Αν η ασπιρίνη έχει ως δραστικό χαρακτηριστικό το ακετυλοσαλυκιλικό  οξύ, τότε όποιο παυσίπονο έχει μόνο αυτήν την ουσία, χωρίς άλλες αναφορές στην εμπορική ονομασία, το πακέτο, τα πνευματικά δικαιώματα, κλπ της ασπιρίνης τότε αυτό είναι generic .
Είδαμε σε προηγούμενο μάθημα πώς τα μαθηματικά του Cohen και η έννοια του forcing (εκβιασμός , παραβίαση) γίνονται κατανοητά μέσω του παραδείγματος του κλειστού δωματίου  και ποια είναι η συμβολή αυτού του μαθηματικού προβληματισμού στην θεωρία του ΑΒ.
Τα ίδια μαθηματικά του στηρίζονται στην έννοια του generic.
Το generic όμως ορίζεται με ένα διαφορετικό και πιο αυστηρό τρόπο από ότι με τα φάρμακα.
Έχοντας δει τα βασικά μαθήματα για τα σύνολα, τότε τα βήματα του Cohen είναι σχετικά απλά και κατανοητά.
Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα σύνολο με άπειρα στοιχεία.Ταυτόχρονα έχουμε την δυνατότητα να δημιουργούμε υποσύνολα αυτού του συνόλου με βάση ένα απλό διατυπωμένο κριτήριο .
Αν πάρουμε το αρχικό παράδειγμα ενός άπειρου συνόλου που όμως περιέχει τα γνωστά σε εμάς στοιχεία Κώστας, Ελένη ,Ανδρέας. Τότε  ας υποθέσουμε ότι έχουμε το κριτήριο ποια στοιχεία του συνόλου έχουν Ελληνικά Ονόματα. Τότε με βάση το κριτήριο αυτό το υποσύνολο αυτό είναι προσδιορίσιμο.
Το πείραμα είναι απλό.
Προσπαθούμε να δημιουργήσουμε υποσύνολα, με βάση ένα απλό κριτήριο , το  οποίο είναι σαφές γλωσσικά και απαντάται με ένα ναι όχι
Στο παράδειγμα μας
Κριτήριο : Τα μέρη του υποσυνόλου έχουν Ελληνικά Ονόματα ναι ή όχι;
Απάντηση: Ναι το υποσύνολο (Κώστας, Ελένη,Αντρέας) έχουν ελληνικά ονόματα.
Αν πάρουμε ένα σύνολο με άπειρα στοιχεία τότε μπορούμε να φανταστούμε ότι αυτά μπορούν να προέρχονται από μια επιλογή μέσω ενός τέτοιου κριτηρίου. Δημιουργούμε άπειρα υποσύνολα με ένα τρόπο επιλογής.
Έρχεται τώρα ο mr.Cohen και αναρωτιέται.
-Υπάρχει περίπτωση να υπάρχουν υποσύνολα για τα οποία δεν μπορεί να έχει προυπάρξει κανένα γλωσσικό κριτήριο προεπιλογής;  Με άλλα λόγια
-Υπάρχουν υποσύνολα για τα οποία η γλώσσα δεν μπορεί να διατυπώσει ένα νόμο, ένα τρόπο «συλλογής» των στοιχείων τους;
Τότε βασιζόμενος σε αυστηρά μαθηματικά και σεβόμενος όλους τους κανόνες της λογικής, μας αποκαλύπτει πως ναι   τέτοια υποσύνολα υπάρχουν στο μαθηματικό σύμπαν. Αυτά τα υποσύνολα ονομάζονται generic.
Αν δούμε το παράδειγμα των φαρμάκων, τα υποσύνολα αυτά σύμφωνα με το κριτήριο του Cohen ΔΕΝ είναι generic γιατί έχουν την ελάχιστη σχέση με το αρχικό σύνολο τους, αλλά αυτή η σχέση έχει τουλάχιστον ένα γλωσσικό προσδιορισμό.
Στα μαθηματικά λοιπόν τα generics σύνολα  υπάρχουν . Σύμφωνα όμως με την οντολογία του ΑΒ ότι υπάρχει στα μαθηματικά υπάρχει και στην πραγματικότητα.
Το συμπέρασμα είναι ότι η γλώσσα δεν είναι δυνατόν να προσδιορίσει κάτι που είναι υπαρκτό, και διέπεται από νόμους αυστηρούς νόμους λογικής. Η αδυναμία της γλώσσας δεν είναι αγνωστικισμός. Τα generic υποσύνολα υπάρχουν , για αυτό είμαστε σίγουροι !, η απόδειξη του Cohen είναι στέρεα , άρα έχουμε μια λογική συνεκτική απόδειξη ότι η γλώσσα δεν μπορεί να ορίσει εκ των προτέρων  όλη την  πραγματικότητα.
Τα generics σύνολα του Cohen είναι μια άλλη απόδειξη , ότι η Αλήθεια και το Συμβάν του ΑΒ, που προέρχονται αναδύονται από την απτή πραγματικότητα, δεν μπορούν να περιγραφούν εκ των προτέρων με την γλώσσα, αλλά αυτό δεν είναι παραδοξότητα, δεν είναι αδυναμία, δεν είναι αγνωστικισμός. Τα generics  σύνολα υπάρχουν   άρα γνωρίζουμε με τρόπο απλό λογικό, μαθηματικό, αποδεδειγμένο, τους περιορισμούς της γλώσσας. Ταυτόχρονα  μέσω των generics, όπως και με την έννοια του forcing , δηλαδή μέσω μιας μαθηματικής γλώσσας και μέσω αυστηρών ορισμών μπορούμε να προσπελάσουμε κάτι που είναι εκτός μιας απλής μηχανιστικής ανάλυσης, να περιγράψουμε αυστηρά το αναπάντεχο, ριζικά νέο, ιστορικό Συμβάν και την Αλήθεια που αναδύεται μαζί του.

Τετάρτη, 26 Ιανουαρίου 2011

Κριτική για το Concept of Model

Στο σύνδεσμο που ακολουθεί σύνδεση με κριτική για το πρώιμο (1966) Concept of Model
Περιέχει πολλά χρήσιμα στοιχεία για τα Badioumathematics


Math matters "on alain badious concept of model"

Δευτέρα, 17 Ιανουαρίου 2011

Badiou for idiots! στο Facebook

Facebook group:Badiou for Idiots

Τα μαθήματα του Public School New York για το Being and Event

Η σχετική ανακοίνωση με πλήθος παράπλευρες αναφορές εδώ

Τι είναι Generic Democracy

Εδώ ένα σημείωμα για την έννοια της Generic Democracy

Μια εφαρμογή των Badioumathematics στην Αρχιτεκτονική

Εδώ ένα σημείωμα για εφαρμογή της έννοιας του generic στην Aρχιτεκτονική

Τα Badioumathematics ως μοντέλα ανάλυσης της Φιλοσοφίας του Δικαίου

Εδώ μια ερεθιστική απόπειρα μεταφοράς όλων των μαθηματικών μοντέλων και όρων των Badioumathematics στην φιλοσοφία του Δικαίου!!!

A.Badiou:Generic, Set Theory

Εδώ μια συνέντευξη με διακριτές αναφορές στην έννοια του Generic

Generic Set

O όρος generic είναι βασικός στα Badioumathematics
Ενα επεξηγηματικό κείμενο εδώ

Παρασκευή, 14 Ιανουαρίου 2011

Απλά μαθήματα Badioumathematics για αρχαρίους και μη μαθηματικούς.Μάθημα τέταρτο :P Cohen ,Forcing,Συμβαν

Είδαμε στα προηγούμενα μαθήματα κατά σειρά
  • Απλά στοιχεία της θεωρίας συνόλων
  • Το πώς βασικές έννοιες της θεωρίας αυτής αξιοποιούνται από τον ΑΒ
  • Και πως ο ΑΒ διατυπώνει πολιτικές θέσεις με την βοήθεια της γλώσσας των μαθηματικών.
Τώρα μπορούμε κάτι πραγματικά πρωτότυπο, κάτι από  ότι  γνωρίζω δεν έχει ξαναγίνει ποτέ.
Μέχρι τώρα η φιλοσοφία, διατυπώνει και διερευνά θέσεις,  δημιουργεί έννοιες και διατυπώνει προβλήματα. Ο ΑΒ όμως κάνει την εξής σύνθεση.
Διατυπώνει τα φιλοσοφικά του θέματα , τα μετατρέπει σε μαθηματική γλώσσα, και διαπιστώνει ότι αυτά τα ζητήματα έχουν λυθεί ως μαθηματικά προβλήματα. Με δεδομένη την μαθηματική λύση , «επανέρχεται» στην φιλοσοφία και αναδιατυπώνει τα ζητήματα.
Ας το  πούμε απλά. Ξέρουμε ότι 1+1 = 2. Αν ένας έχει ένα φιλοσοφικό ζήτημα το οποίο θα μπορούσε να μετασχηματιστεί στην ερώτηση «πόσο κάνουν ένα και ένα;» .Θα μπορούσαμε λοιπόν αφού έχουμε δεδομένη την λύση  το μαθηματικό πρόβλημα, να μετασχηματίσουμε το ζήτημα ανάποδα και να  διατυπώσουμε την φιλοσοφική απάντηση. Η διαδικασία είναι χοντρικά η εξής
Διατύπωση του ζητήματος, μετασχηματισμός σε μαθηματικό πρόβλημα, λύση μέσω μαθηματικών, αντίστροφος μετασχηματισμός , και αναδιατύπωση του ζητήματος .
Βέβαια δεν είναι τόσο απλό, αλλά η βασική αρχή είναι αυτή.
Ο ιδιοφυής λοιπόν ΑΒ , βρίσκει μια προέκταση της θεωρίας των συνόλων, τις μελέτες του μαθηματικού P.Cohen , και ανακαλύπτει ότι σε αυτή την  μαθηματική  θεωρία, ουσιαστικά είναι μετασχηματισμένος όλος ο προβληματισμός του για δύο βασικά προβλήματα που τον απασχολούν. Το ζήτημα της Αληθείας και του Συμβάντος.
Ο ΑΒ ισχυρίζεται ότι ο μαθηματικός P.Cohen , εν αγνοία του, έχει λύσει ένα θεμελιακό φιλοσοφικό πρόβλημα στο μαθηματικό επίπεδο, μέσω μιας σειράς μαθηματικών αποδείξεων.
Φαίνεται ίσως πολύ φορμαλιστικό, αλλά δεν είναι. Αυτό γίνεται γιατί τα μαθηματικά του Cohen δεν είναι τα  υπολογιστικά μαθηματικά που χρησιμοποιούν στην οικονομία και τις πολιτικές επεκτάσεις της, αλλά  τα μαθηματικά του Cohen είναι πολύ ενδιαφέροντα μαθηματικά αφαίρεσης και λογικής.
Ωστόσο τα ζητήματα αυτά δεν είναι και τόσο δυσνόητα αρκεί να παρακολουθήσουμε μερικούς απλούς ορισμούς και συλλογισμούς. Ας δούμε τώρα πως γίνεται αυτή η τοποθέτηση ο μετασχηματισμός και η αναδιατύπωση.
Θα είναι πολύ πιο εύκολο αν προσπαθήσουμε να δούμε τα αρχικά τα μαθηματικά του Cohen  με μερικά απλά παραδείγματα.
Ας υποθέσουμε ότι ευρίσκεσαι σε ένα θεόκλειστο δωμάτιο  με διάφορα αντικείμενα .Έχεις πληροφορίες μόνο για τα αντικείμενα στο εσωτερικό του δωματίου τα οποία είναι αμέτρητα. Το πρόβλημα τίθεται κατά πόσο μπορείς να καταλάβεις ποια αντικείμενα ευρίσκονται εκτός δωματίου μόνο με την γνώση που έχεις για τα άπειρα αντικείμενα του δωματίου .Και προσπαθείς  να καταλάβεις  τι αντικείμενο  υπάρχει εκτός. Προφανώς δεν  μπορώ να το μάθεις  ποτέ. Υπάρχει όμως ένα ζήτημα. Με ποιο τρόπο μπορώ να διατυπώσω τις ερωτήσεις μου έτσι ώστε , τουλάχιστον η αναζήτηση μου να έχει την μεγαλύτερη πιθανότητα να απαντηθεί. Τα μαθηματικά του Cohen ουσιαστικά περιορίζουν ,και συστηματοποιούν τις δυνατές ερωτήσεις  που τίθενται στο λογικό αυτό πρόβλημα.
Ξαναπάμε στο παράδειγμα. Είμαι στο δωμάτιο  άπειρα αμέτρητα αντικείμενα μεταξύ δε  μια καρέκλα και ένα τραπέζι και μου ζητάνε να διατυπώσω ερωτήσεις για το ποια αντικείμενα είναι έξω από το δωμάτιο με τον πιο αποτελεσματικό τρόπο.
Ο οποιοδήποτε λογικός άνθρωπος θα άρχιζε να φαντάζεται και να ρωτάει
-Υπάρχει μια καρέκλα;
-Υπάρχει ένα τραπέζι;
Ο κατάλογος αυτός όμως είναι αμέτρητος και θα αρχίζεις να ρωτάς άπειρες φορές αναμένοντας μια απάντηση ναι όχι.
Τι γίνεται όμως με αντικείμενα που δεν γνωρίζω; Πως θα ρωτήσω;
Χμ, δύσκολο.
Μπορεί να κάνω όμως μια πονηρή ερώτηση ως εξής
Υπάρχει έξω ένα αντικείμενο που δεν γνωρίζω , για το οποίο υπάρχει μια ασφαλής μέθοδος να μου απαντήσετε ναι ή όχι;
 Η ερώτηση είναι πολύ πονηρή, γιατί δεν ζητάω το αντικείμενο απ’ ευθείας , αλλά μετατρέπω την ερώτηση για ένα αντικείμενο σε ερώτηση για μια συνθήκη ύπαρξης του αντικειμένου.
Για να μη χάσουμε τον λογαριασμό, είπαμε  ότι  το ζήτημα μας είναι να κριθούμε κατά πόσο κάνουμε ερωτήσεις που θα μας δώσουν την καλύτερη προσέγγιση για κάτι που δεν μπορούμε να ξέρουμε.
Δες τώρα τι κάνει η πονηρή ερώτηση: Μεταθέτει το ζήτημα του άγνωστου αντικειμένου σε μια ερώτηση για μια προϋπόθεση , μια συνθήκη του αντικειμένου, η οποία μπορεί να απαντηθεί και να γίνει κατανοητή με βάση όσα ξέρω από τον εγκλεισμό μου στο δωμάτιο. Με απλά λόγια εκβιάζουμε την απάντηση ,μέσω μιας συνθήκης. Αυτό είναι το περίφημο forcing  (εκβιασμός, παραβίαση )που δημιούργησε ο Cohen  και υιοθέτησε ο ΑΒ.
Αν κοιτάξουμε προσεκτικά οι ερωτήσεις μέσω εκβιασμού είναι πολύ πιο αποτελεσματικές από τις αρχικές ,και σαφώς κερδίζουν στο μικρό κουίζ.
Εδώ όμως αρχίζει το τρομερό ενδιαφέρον.
Τα μαθηματικά του Cohen  με τα άγνωστα αντικείμενα, τις περίεργες διατυπώσεις, και τους εκβιασμούς μας λένε τελικά πως αυτό που είναι τελείως άγνωστο, δεν είναι ασυνάρτητα άγνωστο, δεν είναι τελείως μη προσπελάσιμο. Επίσης μας λένε ότι υπάρχουν αποδεδειγμένα τρόποι που μπορούμε να έρθουμε σε επαφή με αυτό το άγνωστο.
Αυτά τα παιδικά κουιζ που κάναμε, αντιστοιχούν σε εκατοντάδες σελίδες μαθηματικές αποδείξεις , και δεν είναι τόσο απλοϊκά. Αλλά σύμφωνα με τον ΑΒ  γεφυρώνουν ένα τεράστιο χάσμα μεταξύ σκέψης και γνώσης.
Ας ξαναθυμηθούμε με ένα απλό κουίζ καταλάβαμε πως το εκάστοτε άγνωστο δεν είναι στατικά άγνωστο αλλά μέσω ενός «εκβιασμού» μπορεί να γίνει λιγότερο άγνωστο. Επίσης όλα αυτά γίνονται αποδεικτέα μέσω των αυστηρών μαθηματικών του Cohen.
O  AB ως πολιτικός φιλόσοφος κάνει την εξής  αναλογία.  Αν με τα μαθηματικά αποδεικνύω ότι τελικά υπάρχει πάντα μια λογική σύνδεση γνωστού αγνώστου, τότε η θεωρία για τα μεγάλα αναπάντεχα κοσμοιστορικά συμβάντα μπορεί να τοποθετηθεί αλλιώς. Κάθε πραγματικά αναπάντεχο, άγνωστο ,απρόβλεπτο , μη κατανοητό   Συμβάν έχει μια βαθύτερη σχέση με την πραγματικότητα που το γέννησε ,αλλά προσοχή αυτή η σχέση δεν είναι μηχανική αιτίου αιτιατού.
Ας ξαναγυρίσουμε στο παράδειγμα μας.
Αν οι απλοϊκές πρώτες (υπάρχει τραπέζι , υπάρχει καρέκλα) ερωτήσεις ήταν ικανές να λύσουν το κουίζ , τότε η σχέση του αναπάντεχου Συμβάντος  με την πραγματικότητα θα ήταν καθαρή απλή γραμμική. Το Συμβάν θα ήταν στατιστικά , μηχανικά προβλέψιμο.
Όμως είδαμε ότι η λογική σχέση γνωστού αγνώστου θεμελιώνεται μαθηματικά από μια «πονηρή ερώτηση» ένα συλλογισμό που μεταθέτει το ερώτημα υπάρχει δεν υπάρχει , σε ένα ερώτημα «επαληθεύεται ή όχι μια συνθήκη». Έτσι και το αναπάντεχο συμβάν είναι πάντα αναπάντεχο άγνωστο απροσπέλαστο, αλλά διατηρεί αυστηρά  λογικές και δομημένες σχέσεις με την προ συμβάντος πραγματικότητα που μπορούν να περιγραφούν με τα μαθηματικά του P.Cohen.
Βλέπουμε λοιπόν πως το Συμβάν στον ΑΒ δεν είναι ένα θαύμα αλλά δεν είναι και ένα φυσικό φαινόμενο. Είναι  μυστηριώδες αλλά και λογικά προσπελάσιμο.
Για τον Cohen όμως θα τα ξαναπούμε σε άλλο μάθημα.

Πέμπτη, 13 Ιανουαρίου 2011

Απλά μαθήματα Badioumathematics για αρχαρίους και μη μαθηματικούς.Μάθημα τρίτο,τι αντιπροσωπεύει μια μαθηματική-πολιτική εξίσωση

Είδαμε λοιπόν ότι η διάκριση «ανήκω» και «εμπεριέχομαι» είναι πολύ μεγάλη αλλά ταυτόχρονα  κρυμμένη συνεχώς. Στην γλώσσα της θεωρίας συνόλων  το ανήκω και το περιέχομαι αναγράφονται με διαφορετικό σύμβολο .Πρέπει  όμως  κάθε φορά που έχουμε μια συλλογή να την βλέπουμε και ως στοιχεία που ανήκουν σε αυτή και   ως υποσύνολα που περιέχονται.
Στον ΑΒ αυτή η διάκριση γενικεύεται και δημιουργεί ένα από τα θεμέλια της πολιτικής του σκέψης.
Η γενίκευση ίσως γίνεται  κατανοητή με ένα απλό παράδειγμα
Έχουμε την συλλογή του προηγούμενου μαθήματος των τροφίμων του Σουπερ Μάρκετ. Τα τρόφιμα κατά την συλλογή τους είναι στοιχεία αλλά κατά την καταμέτρηση τους στο ταμείο είναι υποσύνολα. Τα τρόφιμα είναι τα ίδια ,δεν αλλάζουν εκείνο που αλλάζει είναι ο τρόπος που τα αντιμετωπίζουμε ως συλλογή.  είναι μια συλλογή με γνωστά στοιχεία που ευρίσκεται μπροστά μας, άλλη είναι η ίδια συλλογή όταν την επεξεργαζόμαστε. Στην πρώτη περίπτωση βλέπουμε στοιχεία που της ανήκουν, στην δεύτερη επεξεργαζόμαστε υποσύνολα που επεξεργαζόμαστε.
Τότε μπορούμε να πούμε ότι τα τρόφιμα «παρουσιάζονται» ως στοιχεία και «αναπαρίστανται» ως υποσύνολα. Η καταμέτρηση στο ταμείο είναι μια διαχείριση αυτών  των στοιχείων που «παρουσιάζονται»  ως συλλογή δηλαδή «ανήκουν» σε μια συλλογή.
Σύμφωνα με τον ΑΒ το να «ανήκεις» σχετίζεται με την παρουσία, το να «εμπεριέχεσαι» σχετίζεται με την αναπαράσταση.
Η  κλασσική περίπτωση όπου ο ΑΒ χρησιμοποιεί τις έννοιες αυτές είναι  η ανάλυση του για το κράτος.
Για να δούμε αυτήν την ανάλυση ,ας επαναλάβουμε
Τα πάντα μπορούν μα ειδωθούν ως συλλογές, και όλες οι συλλογές είναι ταυτόχρονα συλλογές στοιχείων ( τα οποία ανήκουν)  και συλλογές υποσυνόλων ( τα οποία περιέχονται).
Σύμφωνα με την γενική πεποίθηση το κράτος αναφέρεται σε άτομα και πολίτες και ρυθμίζει τις σχέσεις τους. Αν όμως σκεφτούμε τους πολίτες ως στοιχεία ενός συνόλου, τότε ξέρουμε από την θεωρία συνόλων ότι ταυτόχρονα αυτοί γίνονται  πολλαπλάσια υποσύνολα , δηλαδή γίνονται περιεχόμενα που μπορούμε να διαχειριστούμε. Αν σε ένα κράτος πχ ανήκουν τρεις πολίτες όπως είδαμε και στο παράδειγμα του πρώτου μαθήματος τα υποσύνολα είναι πολλά περισσότερα.
Ο ΑΒ λοιπόν μας λέει ότι το κράτος λειτουργεί, διαχειρίζεται, επεξεργάζεται, αναφέρεται όχι σε στοιχεία αυτού του συνόλου, αλλά στα υποσύνολα.  Όπως έχουμε πει και στο πρώτο ότι ο αριθμός των υποσυνόλων είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό των στοιχείων. Πχ σε κράτος με τρεις πολίτες (Κώστας , Ελένη, Ανδρέας) το κράτος διαχειρίζεται τους τρεις ατομικά (Κώστας, Ελένη, Ανδρέας)  αλλά και τους συνδυασμούς τους πχ (Κώστας-Ελένη, Ελένη –Ανδρέας, Κώστας –Ανδρέας, τον τριπλό συνδυασμό Κώστας-Ελένη-Ανδρέας κλπ) .Το κράτος λοιπόν είναι «αναπαράσταση» και το κατανοούμε με  όρους  «περιεχομένου» και δεν είναι «παρουσίαση» την οποία κατανοούμε με  όρους του «ανήκω». Επειδή το κράτος διαχειρίζεται υποσύνολα και όχι στοιχεία, τότε αυθαίρετα ομαδοποιεί, ταξινομεί . Αυτό που ο Μαρξ ανακάλυψε ότι το κράτος είναι το κράτος μιας τάξης, γίνεται τώρα κατανοητό (ελπίζω) από μια μαθηματική οπτική. Οι τάξεις του Μαρξ γίνονται κατανοητές ως υποσύνολα. Κράτος σημαίνει  διαχείριση υποσυνόλων ,ομάδων , συσπειρώσεων, αλλά και ατόμων νοουμένων ως υποσύνολα. Κράτος  δεν σημαίνει μόνο διαχείριση ατόμων ως στοιχείων.
Αν υποθέσουμε ότι αυτή η θεώρηση του ΑΒ είναι ορθή τότε καταλαβαίνουμε ότι μπορούμε να αναλύσουμε όλα τα ζητήματα της πολιτικής και του κράτους ,αφού πρώτα τα αποτυπώσουμε με τα μαθηματικά σύμβολα της θεωρίας των συνόλων.
Για να το κάνουμε το ζήτημα κάπως πιο παραστατικό και ανεκδοτολογικό παραθέτω μια «πολιτική»  εξίσωση του ΑΒ  σε  μαθηματική γλώσσα.
π(π(ε))→1
Στην εξίσωση το  Π σημαίνει πολιτική λειτουργία , ε σηματοδοτεί ως ένας ειδικός αριθμός (άπειρος πληθικός)  την υπερβάλλουσα ισχύ του κράτους και το 1 την ισότητα. Το νόημα της εξίσωσης είναι ότι η πολιτική για να επιτύχει  μια πολιτική ισότητας τότε αυτή πρέπει να γίνει σε δύο στάδια. Κατ’ αρχάς η πολιτική να ασκηθεί σε απόσταση από το κράτος π(ε) και αφού δημιουργηθεί αυτό το χάσμα τότε η πολιτική που περιλαμβάνει αυτό το χάσμα π(π(ε)) θα οδηγήσει στην ισότητα 1
Προφανώς είναι αδύνατο τώρα να εξηγήσουμε σε ανάλυση το ακριβές νόημα των συμβόλων και την αντιστοιχία τους , γιατί περιλαμβάνει μερικές πιο σύνθετες έννοιας της θεωρίας συνόλων, αλλά το παράδειγμα τίθεται για να δείξει το τι τελικά επιτυγχάνεται.
Το πλεονέκτημα αυτής της  μεθοδολογίας είναι ότι βασίζεται  σε μια πολύ αυστηρή μαθηματική θεωρία η  οποία θεμελιώνεται σε  αξιώματα ,και μπορεί να αναδείξει κοινωνικά φαινόμενα με ένα μαθηματικό τρόπο ακριβή  και σαφή.


    

Μαθηματικές έννοιες και φυσικές επιστήμες

Σημειώσεις για την κατανόηση των διατακτικών αριθμών (ordinal numbers)

Oι σημειώσεις εδώ

Τρίτη, 11 Ιανουαρίου 2011

Αφελής συνολοθεωρία

Ένα πολύ ενδιαφέρον βιβλίο που εισάγει με σχετική ευκολία σε αρχαρίους με έφεση στα μαθηματικά, τα βασικά στοιχεία της θεωρίας συνόλων  είναι το

"Αφελής Συνολοθεωρία " του Paul Halmos
O μαθηματικός Γ.Κολέτσος το έχει μεταφράσει στα Ελληνικά

Τα τεσσερα πρώτα κεφάλαια του βιβλίου εδώ

Στοιχεία για την Ελληνική Μετάφραση εδώ

Απλά μαθήματα Badioumathematics για αρχάριους και μη μαθηματικούς.Μάθημα δεύτερο

Η θεμελιώδης διάκριση του "ανήκω" και "εμπεριέχομαι"
Είδαμε στο προηγούμενο μάθημα πως είναι δυνατόν να αντιλαμβανόμαστε τον κόσμο ως «συλλογές». Αυτό αφορά τα πάντα , δηλαδή ότι μπορεί να διανοηθούμε και να σκεφτούμε και να έχουμε ως εμπειρία.
Είδαμε και το παράδειγμα της συλλογής με στοιχεία Κώστας Ελένη Ανδρέας
Είδαμε και την μαγική ιδιότητα των συλλογών να έχουν πάντα και παντού τον αριθμό των στοιχείων μικρότερο από τον αριθμό των υποσυνόλων και τέλος σημειώσαμε ότι αυτή η διαφορά έχει μια βαθύτερη σημασία. Γιατί είναι άλλη η σχέση των στοιχείων με το σύνολο και άλλη η σχέση των υποσυνόλων με το σύνολο.
Τα στοιχεία «ανήκουν» σε σύνολα τα υποσύνολα «εμπεριέχονται»
Αυτήν την διαφορά του «να ανήκεις» και «να εμπεριέχεσαι» πρέπει να δούμε καλύτερα, γιατί η κατανόηση της, μας οδηγεί σύμφωνα με τα BMCS σε μερικά ενδιαφέροντα πολιτικά αποτελέσματα. Αλλά ταυτόχρονα είναι μια  θεμελιώδης διαφορά στην θεωρία των συνόλων.
Βέβαια στην γλώσσα της καθημερινότητας φαίνεται το να «ανήκω» κάπου και να «περιέχομαι» κάπου να είναι σχεδόν ταυτόσημα. Προσοχή όμως στα BMCS  έχουν θεμελιακή διαφορά, τόση όση η διαφορά πρόσθεσης αφαίρεσης , ή πολλαπλασιασμού διαίρεσης. Φαίνεται τόσο παράξενο αλλά νομίζω ότι θα το ξεκαθαρίσουμε με ένα απλό παράδειγμα.
Σήμερα το πρωί λοιπόν πάς στο σούπερ μάρκετ
Παίρνεις ένα καλάθι και το γεμίζεις με τρόφιμα. Κάθε φορά που βάζεις ένα τρόφιμο στο καλάθι το μετράς από μέσα σου, το θυμάσαι . Στο τέλος της διαδρομής έχει μια συλλογή από τρόφιμα. Το κάθε τρόφιμο ανήκει στην συλλογή αυτή.
 Όταν πας στο ταμείο τότε ο ταμίας παίρνει ένα ένα τρόφιμο ,ή δυο δύο, ανακατεμένα ανεξάρτητα από την σειρά που εσύ τα αγόρασες, και τα σκανάρει για να βγάλει τον λογαριασμό.
Τα τρόφιμα που είναι στοιχεία της συλλογής σου, που «ανήκουν»  στην συλλογή για τον ταμία είναι κάτι παραπάνω. Ο ταμίας διαχειρίζεται την ίδια συλλογή , την καταγράφει, την κωδικοποιεί με ένα άλλο τρόπο από ότι εσύ. Για τον ταμία , για την συγκεκριμένη δουλειά τα τρόφιμα είναι «περιεχόμενα» της συλλογής.
Δηλαδή «περιεχόμενο»  γίνεται ένα στοιχείο μιας συλλογής  όταν το διαχειριζόμαστε ως μονάδα, αφού βέβαια από πριν, το έχουμε καταστήσει μέλος της συλλογής.
 Όταν κάτι ανήκει σε μια συλλογή έχει ήδη μετρηθεί, αλλά όταν κάτι είναι περιεχόμενο μιας συλλογής γίνεται αντικείμενο μιας επιμέτρησης, μιας διαχείρισης της αρχικής μέτρησης.
Το περίεργο είναι ότι στα μάτια του ταμία, κατά την διάρκεια του σκαναρίσματος , δημιουργείται μια συλλογή με στοιχεία που «ανήκουν», δηλαδή γίνεται «η συλλογή των τροφίμων του πελάτη τάδε που σκανάρω τώρα» .Αυτό σημαίνει ότι κάθε συλλογή ανά πάσα στιγμή αποτελείται από στοιχεία και υποσύνολα, αλλά αυτό εξαρτάται από την διαδικασία που έχουμε.
Για να είναι κάπως καθαρό ας υποθέσουμε ότι να «ανήκεις» προηγείται του να είσαι «περιεχόμενο» χρονικά.
Στην καθημερινότητα όμως κυρίως διαχειριζόμαστε, επιμετρούμε, πράγματα ως περιεχόμενα συλλογών  και μόνο θεωρητικά σκεφτόμαστε για την έννοια του «ανήκω» που προηγείται. Ε οι αυστηροί μαθηματικοί της θεωρίας των συνόλων έχουν αποδεχθεί ένα αξίωμα, δηλαδή μια αναπόδεικτη αλήθεια που μας χρειάζεται για να φτιάξουμε το μαθηματικό οικοδόμημα, και το αξίωμα αυτό μας λέει. Ότι ευρίσκεται στην εμπειρία σου ως περιεχόμενο μιας συλλογής , αναγκαστικά «ανήκει» στην συλλογή.
Ας το δούμε με ένα άλλο παράδειγμα
Κοιτάς στο παράθυρο και βλέπεις όσα αυτοκίνητα περνάνε από μπροστά σου για πέντε λεπτά. Τότε σχηματίζεις την συλλογή «τα αυτοκίνητα που βλέπω στο διάστημα 9:55-10::00 πμ» Τα αυτοκίνητα αυτά «ανήκουν» στην συλλογή σου
Δεν ξέρεις όμως ότι στην γωνία του σπιτιού σου υπάρχει η τροχαία που ελέγχει αυτοκίνητα  ακριβώς την ίδια ώρα 9:55-10:00 .
Τα ίδια αυτοκίνητα που μέτραγες υφίστανται έλεγχο από την τροχαία.
Η τροχαία ελέγχοντας τα ίδια αυτοκίνητα κάνει και αυτή μια συλλογή αυτοκινήτων δηλαδή την συλλογή «αυτοκίνητα που ελέγχω μεταξύ 09:55-10:00» . Για την τροχαία τα αυτοκίνητα «ανήκουν»  στην συλλογή της, αλλά τα ίδια αυτοκίνητα πλέον είναι και «περιεχόμενα» της συλλογής σου τα οποία διαχειρίζεται και ελέγχει η τροχαία.
Με ένα μαγικό τρόπο τα ίδια αυτοκίνητα «ανήκουν» σε δύο διαφορετικές ίσες συλλογές,(την δική σου και της αστυνομίας)  αλλά αν  σκεφτούμε την αλληλουχία, η τροχαία ελέγχει «τα περιεχόμενα» της συλλογής σου, και αν υποθέσουμε ότι κόβει κλήσεις σε όλους τότε διαχειρίζεται και τα «περιεχόμενα» της δικής της συλλογής.
Η κατάταξη του να «ανήκεις» και να είσαι «περιεχόμενο» αλλάζει διαρκώς για τα ίδια πράγματα, αλλά το να είσαι «περιεχόμενο» προϋποθέτει ότι «ανήκεις» και όταν κάποιος διαχειρίζεται επιμετρά στοιχεία συλλογών τότε μιλάμε για «περιεχόμενο»
Αν αυτό είναι καθαρό τότε μπορούμε να μιλήσουμε για μια ευρεσιτεχνία του ΑΒ. Ο τύπος αρχίζει να σκέφτεται για την κοινωνία και την πολιτική όχι όπως ένας τυπικός φιλόσοφος, αλλά χρησιμοποιώντας το περίεργο αλλά τελικά σαφές (ελπίζω…) κριτήριο του «να ανήκω» ή του «να είμαι περιεχόμενο»
Αλλά αυτά στο επόμενο μάθημα BMCS.  

Δευτέρα, 10 Ιανουαρίου 2011

Το πρώτο από 37 + 3 απλά μαθήματα Badioumathematics για αρχαρίους και μη μαθηματικούς

Αφού δημιουργήσαμε μια μικρή βιβλιοθήκη αναφορών για τα Βadioumathematics (BMCS), τώρα θα κάνουμε το επόμενο βήμα.
Θα μετατρέψουμε όλη αυτήν την πολύπλοκη και συμβολική γνώση σε απλές γνώσεις κατανοητές ακόμη και για κάποιον που δεν έχει σχέση με μαθηματικά. Η ελπίδα είναι να καταδειχθούν αφ’ ενός η ιδιοφυής σύνθεση φιλοσοφίας πολιτικής και μαθηματικών , αλλά και να αξιοποιηθούν αυτές οι μεθοδολογίες ευρύτερα.
Αναγκαστικά οι σημειώσεις θα είναι διδακτικές , ας πούμε απλοϊκές, σαν   να απευθύνεται σε κάποιον με βασικές γνώσεις αριθμητικής. Οι σπασίκλες μαθηματικών και φιλοσοφίας ας μας αδειάσουν την γωνιά γιατί σήμερα «θα παίξουμε με τα κουβαδάκια μας»
Α.- Η θεωρία των συνόλων και η αξία τους στα BMCS
Ας υποθέσουμε ότι ένα πρωί ξυπνάς και αποκτάς ξαφνικά το χόμπι του συλλέκτη. Αλλά το παρακάνεις. Βλέπεις τα πάντα ως συλλογές. Αν ένας συλλέκτης πινάκων τέχνης συλλέγει ας πούμε μόνο πίνακες ζωγραφικής, εσύ βλέπεις τα πάντα ως συλλογές
Πας στην κουζίνα και βλέπεις την συλλογή των αντικειμένων του νεροχύτη ως «συλλογή». Παράδειγμα το σύνολο των άπλυτων πιάτων είναι μια συλλογή. Το σύνολο των πλυμένων πιάτων μια άλλη συλλογή. Βλέπεις από το παράθυρο τα παρκαρισμένα αυτοκίνητα στον δρόμο και αυτά αποτελούν μια συλλογή. Αλλά και τα αυτοκίνητα που περνούν τον δρόμο την ώρα που τα χαζεύεις είναι μια άλλη συλλογή. Τέλος  βλέπεις τον υπολογιστή και τον αντιλαμβάνεσαι ως συλλογή εξαρτημάτων και όχι ως μηχάνημα. Βλέπεις ακόμα τον γείτονα σου και τον αντιλαμβάνεσαι ως συλλογή κυττάρων και όχι σαν άνθρωπο. Ακόμα  φαντάζεσαι  μια σειρά από βιβλία που δεν έχεις γράψει και παρότι δεν υπάρχουν παρά μόνο  φευγαλέα στο μυαλό σου , εσύ τα καταλαβαίνεις ως συλλογή. Ο κατάλογος είναι δαιμονικά άπειρος γιατί έχεις προσβληθεί από αυτήν την περίεργη ασθένεια να τα βλέπεις όλα ως συλλέκτης.
Ο ιδρυτής της θεωρίας των συνόλων , ο Cantor,μας απενοχοποιεί πλήρως. Ότι περνάει από το μυαλό μας και μπορεί να κατανοηθεί ως συλλογή διακεκριμένων στοιχείων αποτελεί ένα σύνολο .Αρκεί να μιλάμε για διακεκριμένα πράγματα, αντικείμενα, ανεξάρτητα πως που πότε και αν υπάρχουν, ανεξάρτητα και αν η καθημερινή συμβατική γνώση δεν τα αντιλαμβάνεται ως συλλογές.
Παράδειγμα: Οι πρωταγωνιστές όλων των ταινιών επιστημονικής φαντασίας, που έχουν κινηματογραφηθεί το 1067 πχ στην έρημο Σαχάρα από την ιστορική φυλή των  Βίκινγκ αποτελεί μια συλλογή, ένα σύνολο. Προφανώς το 1067 πχ δεν μπορεί να έχουν κινηματογραφηθεί , είναι πρακτικά αδύνατο, αλλά αυτό δεν έχει καμία σημασία. Αν εγώ γράψω ή φανταστώ μια τέτοια πραγματικότητα, και παρατάξω διακριτά στοιχεία (δηλαδή ονόματα     πρωταγωνιστές όλων των ταινιών επιστημονικής φαντασίας, που έχουν κινηματογραφηθεί το 1067 πχ στην έρημο Σαχάρα από την ιστορική φυλή των  Βίκινγκ) τότε έχω ένα σύνολο.
Δηλαδή μπορώ να αφήσω την φαντασία μου να οργιάσει και να βλέπω τα «Πάντα Όλα» ως σύνολα.
Το ενδιαφέρον είναι ότι ο μεν Cantor δημιούργησε μια ολόκληρη μαθηματική επιστήμη που έχει ως βάση όχι τους αριθμούς αλλά τα σύνολα, και ο ΑΒ χρησιμοποιεί αυτήν την επιστήμη για να στοχαστεί για την ζωή, την πολιτική και  την κοινωνία.
Β.-Οι περίεργες ιδιότητες των συνόλων
Αφού προσβληθήκαμε από την περίεργη ασθένεια του «συλλέκτη» τότε καταλαβαίνουμε ότι αν σκεφτούμε τα «πάντα όλα» ως σύνολα, τότε τα σύνολα μόνα τους και σχετιζόμενα μεταξύ τους έχουν κάτι σχεδόν μαγικές ιδιότητες.
Ας πούμε πάω στην παιδική χαρά και βλέπω να παίζουν 10 παιδάκια. Επειδή εγώ είμαι άρρωστος επειδή έτσι μου αρέσει φτιάχνω αυθαίρετα το ένα σύνολο από τρία παιδάκια, ας πούμε του Κώστα, της Ελένης, και του Ανδρέα
Τότε το σύνολο μου αποτελείται από τρία στοιχεία : τον Κώστα , την Ελένη, τον Ανδρέα
Καθώς όμως λειτουργώ αυθαίρετα και σύμφωνα με την αρχή που περιέγραψα παραπάνω γουστάρω να σκεφτώ και τις εξής συλλογές
Την συλλογή Κώστα Ελένη,
Την συλλογή Ελένη Ανδρέα
Την συλλογή Ανδρέα Κώστα
Την συλλογή Κώστας ( με ένα μόνο στοιχείο)
Την συλλογή Ελένη ( με ένα μόνο στοιχείο)
Την συλλογή Ανδρέας ( με ένα μόνο στοιχείο)
Και τέλος επειδή ο Cantor  με έχει απενοχοποιήσει και σκέφτομαι μια συλλογή με κανένα στοιχείο .Βέβαια αυτό το σύνολο με κανένα στοιχείο έχει μια μικρή ιστορία, αλλά για την ώρα ας το θεωρήσουμε προϊόν της «ασθένειας του συλλέκτη»
Τότε παρατηρώ ότι ενώ το αρχικό σύνολο έχει τρία στοιχεία, βλέποντας την πραγματικότητα ως σύνολα, τότε το αρχικό σύνολο περιλαμβάνει  πολύ περισσότερα υποσύνολα .
Κάτι περίεργο συμβαίνει!! Ο κόσμος ,όταν τον βλέπεις ως σύνολα, έχει μια θεμελιώδη διαφορά που καθορίζεται πως βλέπεις τα στοιχεία του. Τα στοιχεία όταν τα αντιλαμβάνεσαι ως στοιχεία του συνόλου , είναι αριθμητικά μικρότερα από τα υποσύνολα  που δικαιωματικά και αυθαίρετα μπορείς να δεις.
Αυτό το περίεργο φαινόμενο ο ΑΒ μας καλεί να το εμβαθύνουμε και να το καταλάβουμε. Μας λέει  ότι ενώ οι αριθμοί μας δείχνουν μια διαφορά (ο αριθμός των στοιχείων είναι  μικρότερος  από  τον αριθμό των υποσυνόλων)  αυτό είναι μια επιφανειακή γνώση, γιατί αυτό που τελικά συμβαίνει δεν είναι μια απλή διαφορά αρίθμησης αλλά μια διαφορά σχέσης.
Τα στοιχεία ανήκουν στα σύνολα, αλλά τα υποσύνολα δεν ανήκουν αλλά περιέχονται στα σύνολά.
Όσο και να φαίνεται περίεργο , αυτή η διαφορά του «ανήκω»  και του «περιέχομαι» αν κατανοηθεί αποτελεί μια θεμελιακή βάση στην πολιτειολογία του ΑΒ, και δείχνει μια πολύ ευρηματική πολιτική ανάλυση.
Για την διαφορά όμως «ανήκω» και «περιέχομαι» θα τα πούμε  την άλλη φορά.  

Παρασκευή, 7 Ιανουαρίου 2011

Peter Hallward : Badiou a subject of Thruth.Τα κεφαλαια 13,14 και Appendix

Στο θεμελιακό βιβλίο του Peter Hallward "Badiou a subjetc to Truth" υπάρχει η πιο εκτεταμένη παρουσίαση των μαθηματικών του ΑΒ.
Το Google Books επιλέγει να δημοσιοποιεί τα λιγότερο "ελκυστικά" αποσπάσματα, και αυτή η τακτική προσέφερα κατι ενδιαφέρον
Από όλο το βιβλίο επέλεξαν να δημιοσιεύσουν αυτούσια τα κεφάλια 13 14 και Appendix που είναι η "ουσία" των Badioumathematics
Η θεωρία συνόλων, η θεωρία κατηγοριών, η αξία των generics του Cohen, παρουσιάζονται απλά και κατανοητά.

Ολο το απόσπασμα εδώ

Τετάρτη, 5 Ιανουαρίου 2011

Graham Hutton:Introduction to Category Theory

http://www.cs.nott.ac.uk/~gmh/cat.html

Πολυ ενδιαφερον και εκλαικευτικό

Set Theory from Stanford Encyclopedia of Philosophy

Η συνδεση εδω το κείμενο ακολουθει

Set Theory

First published Thu Jul 11, 2002
Set Theory is the mathematical science of the infinite. It studies properties of sets, abstract objects that pervade the whole of modern mathematics. The language of set theory, in its simplicity, is sufficiently universal to formalize all mathematical concepts and thus set theory, along with Predicate Calculus, constitutes the true Foundations of Mathematics. As a mathematical theory, Set Theory possesses a rich internal structure, and its methods serve as a powerful tool for applications in many other fields of Mathematics. Set Theory, with its emphasis on consistency and independence proofs, provides a gauge for measuring the consistency strength of various mathematical statements. There are four main directions of current research in set theory, all intertwined and all aiming at the ultimate goal of the theory: to describe the structure of the mathematical universe. They are: inner models, independence proofs, large cardinals, and descriptive set theory. See the relevant sections in what follows.

1. The Essence of Set Theory

The objects of study of Set Theory are sets. As sets are fundamental objects that can be used to define all other concepts in mathematics, they are not defined in terms of more fundamental concepts. Rather, sets are introduced either informally, and are understood as something self-evident, or, as is now standard in modern mathematics, axiomatically, and their properties are postulated by the appropriate formal axioms.
The language of set theory is based on a single fundamental relation, called membership. We say that A is a member of B (in symbols AB), or that the set B contains A as its element. The understanding is that a set is determined by its elements; in other words, two sets are deemed equal if they have exactly the same elements. In practice, one considers sets of numbers, sets of points, sets of functions, sets of some other sets and so on. In theory, it is not necessary to distinguish between objects that are members and objects that contain members -- the only objects one needs for the theory are sets. See the supplement
Basic Set Theory
for further discussion.
Using the membership relation one can derive other concepts usually associated with sets, such as unions and intersections of sets. For example, a set C is the union of two sets A and B if its members are exactly those objects that are either members of A or members of B. The set C is uniquely determined, because we have specified what its elements are. There are more complicated operations on sets that can be defined in the language of set theory (i.e. using only the relation ∈), and we shall not concern ourselves with those. Let us mention another operation: the (unordered) pair {A,B} has as its elements exactly the sets Aand B. (If it happens that A=B, then the “pair” has exactly one member, and is called a singleton {A}.) By combining the operations of union and pairing, one can produce from any finite list of sets the set that contains these sets as members: {A,B,C,D,...,K,L,M}. We also mention the empty set, the set that has no elements. (The empty set is uniquely determined by this property, as it is the only set that has no elements - this is a consequence of the understanding that sets are determined by their elements.)
When dealing with sets informally, such operations on sets are self-evident; with the axiomatic approach, it is postulated that such operations can be applied: for instance, one postulates that for any sets A and B, the set {A,B} exists. In order to endow set theory with sufficient expressive power one needs to postulate more general construction principles than those alluded to above. The guiding principle is that any objects that can be singled out by means of the language can be collected into a set. For instance, it is desirable to have the “set of all integers that are divisible by number 3,” the “set of all straight lines in the Euclidean plane that are parallel to a given line”, the “set of all continuous real functions of two real variables” etc. Thus one is tempted to postulate that given any property P, there exists a set whose members are exactly all the sets that have property P. As we shall see below, such an assumption is logically inconsistent, and the accepted construction principles are somewhat weaker than such a postulate.
One of the basic principles of set theory is the existence of an infinite set. The concept can be formulated precisely in the language of set theory, using only the membership relation, and the definition captures the accepted meaning of “infinite”. See the supplement on
Basic Set Theory
for further discussion. Using the basic construction principles, and assuming the existence of infinite sets, one can define numbers, including integers, real numbers and complex numbers, as well as functions, functionals, geometric and topological concepts, and all objects studied in mathematics. In this sense, set theory serves as Foundations of Mathematics. The significance of this is that all questions of provability (or unprovability) of mathematical statements can be in principle reduced to formal questions of formal derivability from the generally accepted axioms of Set Theory.
While the fact that all of mathematics can be reduced to a formal system of set theory is significant, it would hardly be a justification for the study of set theory. It is the internal structure of the theory that makes it worthwhile, and it turns out that this internal structure is enormously complex and interesting. Moreover, the study of this structure leads to significant questions about the nature of the mathematical universe.
The fundamental concept in the theory of infinite sets is the cardinality of a set. Two sets A and B have the same cardinality if there exists a mapping from the set A onto the set B which is one-to-one, that is, it assigns each element of A exactly one element of B. It is clear that when two sets are finite, then they have the same cardinality if and only if they have the same number of elements. One can extend the concept of the “number of elements” to arbitrary, even infinite, sets. It is not apparent at first that there might be infinite sets of different cardinalities, but once this becomes clear, it follows quickly that the structure so described is rich indeed.

2. Origins of Set Theory

The birth of Set Theory dates to 1873 when Georg Cantor proved the uncountability of the real line. (One could even argue that the exact birthdate is December 7, 1873, the date of Cantor's letter to Dedekind informing him of his discovery.) Until then, no one envisioned the possibility that infinities come in different sizes, and moreover, mathematicians had no use for “actual infinity.” The arguments using infinity, including the Differential Calculus of Newton and Leibniz, do not require the use of infinite sets, and infinity appears only as “a manner of speaking”, to paraphrase Friedrich Gauss. The fact that the set of all positive integers has a proper subset, like the set of squares {1, 4, 9, 16, 25,...} of the same cardinality (using modern terminology) was considered somewhat paradoxical (this had been discussed at length by Galileo among others). Such apparent paradoxes prevented Bernhard Bolzano in 1840s from developing set theory, even though some of his ideas are precursors of Cantor's work. (It should be mentioned that Bolzano, an accomplished mathematician himself, coined the word Menge (= set) that Cantor used for objects of his theory.)
Motivation for Cantor's discovery of Set Theory came from his work on Fourier series (which led him to introduce ordinal numbers) and on trancendental numbers. Real numbers that are solutions of polynomial equations with integer coefficients are called algebraic, and the search was on for numbers that are not algebraic. A handful of these, called transcendental numbers, was discovered around that time, and a question arose how rare such numbers are. What Cantor did was to settle this question in an unexpected way, showing in one fell swoop that transcendental numbers are plentiful indeed. His famous proof went as follows: Let us call an infinite set A countable, if its elements can be enumerated; in other words, arranged in a sequence indexed by positive integers: a(1), a(2), a(3), … , a(n), … . Cantor observed that many infinite sets of numbers are countable: the set of all integers, the set of all rational numbers, and also the set of all algebraic numbers. Then he gave his ingeneous diagonal argument that proves, by contradiction, that the set of all real numbers is not countable. A consequence of this is that there exists a multitude of transcendental numbers, even though the proof, by contradiction, does not produce a single specific example. See the supplement on
Basic Set Theory
for further discussion.
Cantor's discovery of uncountable sets led him to the subsequent development of ordinal and cardinal numbers, with their underlying order and arithmetic, as well as to a plethora of fundamental questions that begged to be answered (such as the Continuum Hypothesis). After Cantor, mathematics has never been the same.

3. The Continuum Hypothesis

As the Continuum Hypothesis has been the most famous problem in Set Theory, let me explain what it says. The smallest infinite cardinal is the cardinality of a countable set. The set of all integers is countable, and so is the set of all rational numbers. On the other hand, the set of all real numbers is uncountable, and its cardinal is greater than the least infinite cardinal. A natural question arises: is this cardinal (the continuum) the very next cardinal. In other words, is it the case that there are no cardinals between the countable and the continuum? As Cantor was unable to find any set of real numbers whose cardinal lies strictly between the countable and the continuum, he conjectured that the continuum is the next cardinal: the Continuum Hypothesis. Cantor himself spent most of the rest of his life trying to prove the Continuum Hypothesis and many other mathematicians have tried too. One of these was David Hilbert, the leading mathematician of the last decades of the 19th century. At the World Congress of Mathematicians in Paris in 1900 Hilbert presented a list of major unsolved problems of the time, and the Continuum Hypothesis was the very first problem on Hilbert's list.
Despite the effort of a number of mathematicians, the problem remained unsolved until 1963, and it can be argued that in some sense the problem is still unsolved. See Section 7 on Independence Proofs.

4. Axiomatic Set Theory

In the years following Cantor's discoveries, development of Set Theory proceeded with no particular concern about how exactly sets should be defined. Cantor's informal “definition” was sufficient for proofs in the new theory, and the understanding was that the theory can be formalized by rephrasing the informal definition as a system of axioms. In the early 1900s it became clear that one has to state precisely what basic assumptions are made in Set Theory; in other words, the need has arisen to axiomatize Set Theory. This was done by Ernst Zermelo, and the immediate reasons for his axioms were twofold. The first one was the discovery of a paradox in Set Theory. This paradox is referred to as Russell's Paradox. Consider the “set” S of all sets that are not an element of itself. If one accepts the principle that all such sets can be collected into a set, then S should be a set. It is easy to see however that this leads to a contradiction (is the set S an element of itself?)
Russell's Paradox can be avoided by a careful choice of construction principles, so that one has the expressive power needed for usual mathematical arguments while preventing the existence of paradoxical sets. See the supplement on
Zermelo-Fraenkel Set Theory
for further discussion. The price one has to pay for avoiding inconsistency is that some “sets” do not exist. For instance, there exists no “universal” set (the set of all sets), no set of all cardinal numbers, etc.
The other reason for axioms was more subtle. In the course of development of Cantor's theory of cardinal and ordinal numbers a question was raised whether every set can be provided with a certain structure, called well-ordering of the set. Zermelo proved that indeed every set can be well-ordered, but only after he introduced a new axiom that did not seem to follow from the other, more self-evident, principles. His Axiom of Choice has become a standard tool of modern mathematics, but not without numerous objections of some mathematicians and discussions in both mathematical and philosophical literature. The history of the Axiom of Choice bears strong resemblance to that of the other notorious axiom, Euclid's Fifth Postulate.

5. The Axiom of Choice

The Axiom of Choice states that for every set of mutually disjoint nonempty sets there exists a set that has exactly one member common with each of these sets. For instance, let S be a set whose members are mutually disjoint finite sets of real numbers. We can choose in each XS the smallest number, and thus form a set that has exactly one member in common with each XS. What is not self-evident is whether we can make a choice every time, simultaneously for infinitely many sets X, regardless what these abstract sets are. The Axiom of Choice, which postulates the existence of a certain set (the choice set) without giving specific instructions how to construct such a set, is of different nature than the other axioms, which all formulate certain construction principles for sets. It was this nonconstructive nature of the Axiom of Choice that fed the controversy for years to come.
An interesting application of the Axiom of Choice is the Banach-Tarski Paradox that states that the unit ball can be partitioned into a finite number of disjoint sets which then can be rearranged to form two unit balls. This is of course a paradox only when we insist on visualizing abstract sets as something that exists in the physical world. The sets used in the Banach-Tarski Paradox are not physical objects, even though they do exist in the sense that their existence is proved from the axioms of mathematics (including the Axiom of Choice).
The legitimate question is whether the Axiom of Choice is consistent, that is whether it cannot be refuted from the other axioms. (Notice the similarity with the non Euclidean geometry.) This question was answered by Gödel, and eventually the role of the Axiom of Choice has been completely clarified. See Section 7 on Independence Proofs.

6. Inner Models

In the 1930s, Gödel stunned the mathematical world by discovering that mathematics is incomplete. His Incompleteness Theorem states that every axiomatic system that purports to describe mathematics as we know it must be incomplete, in the sense that one can find a true statement expressible in the system that cannot be formally proved from the axioms. In view of this result one must consider the possibility that a mathematical conjecture that resists a proof might be an example of such an unprovable statement, and Gödel immediately embarked on the project of showing that the Continuum Hypothesis might be undecidable in the axiomatic set theory.
Several years after proving the Incompleteness Theorem, Gödel proved another groundbreaking result: he showed that both the Axiom of Choice and the Continuum Hypothesis are consistent with the axioms of set theory, that is that neither can be refuted by using those axioms. This he achieved by discovering a model of set theory in which both the Axiom of Choice and the Continuum Hypothesis are true.
Gödel's model L of “constructible sets” has since served as a blueprint for building so-called inner models. These models form a hierarchy, corresponding to the hierarchy of large cardinals (see Section 8), and provide a glimpse into the as yet hidden structure of the mathematical universe. The advances in Inner Model Theory that have been made in the recent past owe much to the work of Ronald Jensen who introduced the study of the fine structure of constructible sets.

7. Independence Proofs

In 1963, Paul Cohen proved independence of the Axiom of Choice and of the Continuum Hypothesis. This he did by applying the method of forcing that he invented and constructing first a model of set theory (with the axiom of choice) in which the Continuum Hypothesis fails, and then a model of set theory in which the Axiom of Choice fails. Together with Gödel's models, these models show that the Axiom of Choice can neither be proved nor refuted from the other axioms, and that the Continuum Hypothesis can neither be proved nor refuted from the axioms of set theory (including the Axiom of Choice).
Cohen's method proved extremely fruitful and led first to the solution of a number of outstanding problems (Suslin's Problem, the Lebesgue measurability Problem, Borel's Conjecture, Kaplansky's Conjecture, Whitehead's Problem and so on) and soon has become one of the cornerstones of modern set theory. The technique of forcing has to date been applied by hundreds of authors of numerous articles and has enormously advanced our knowledge of Foundations of Mathematics. Along with the theory of large cardinals it is used to gauge the consistency strength of mathematical statements.

8. Large Cardinals

In 1930, while working on the Measure Problem, Stanislaw Ulam discovered an important phenomenon: Assuming that a certain mathematical statement about “small sets” (such as sets of real numbers) is true, one can prove the existence of sets of enormous size (inaccessible). This phenomenon has become more apparent after Dana Scott's celebrated result (1961) that measurable cardinals do not exist in L. Suddenly, large cardinals such as inaccessible, measurable, supercompact etc. have become the main focus of attention of set theorists. What emerged is a hierarchy of properties of infinite sets, the Large Cardinal Theory, that appears to be the basis for the structure of the set theoretical universe. Large cardinal axioms (also referred to as axioms of strong infinity) form a hierarchy whereby a stronger axiom not only implies a weaker axiom but also proves its consistency. To date there are scores of examples of mathematical statements whose consistency strength can be precisely calculated in terms of the hierarchy of large cardinals. (For instance, a negative solution of the Singular Cardinal Problem corresponds to a large cardinal axiom between measurabily and supercompactness.)
Since the pioneering work of Ronald Jensen, Large Cardinal Theory has been closely tied with Inner Model Theory. It turns out that for each large cardinal axiom at lower levels of the hierarchy one can find an appropriate inner model. These inner models shed additional light on the structure of the universe by employing methods of Descriptive Set Theory.

9. Descriptive Set Theory

Descriptive Set Theory traces its origins to the theory of integration by Henri Lebesgue at the beginning of 20th century. Investigations into Borel sets of real numbers led to the theory of projective sets, and more generally, the theory of definable sets of real numbers. Following Gödel's work, it became apparent that many natural questions in Descriptive Set Theory are undecidable in axiomatic set theory. This was further confirmed by a proliferation of independence results following Cohen's invention of the forcing method.
Modern Descriptive Set Theory revolves mostly around the powerful method using infinite games. The branch of Descriptive Set Theory known as Determinateness, developed by D. A. Martin, Robert Solovay and others, brought together methods of, among others, Recursion Theory and Large Cardinal Theory and has been very successful in describing the structure of definable sets. More importantly, Descriptive Set Theory provides strong evidence for the large cardinal axioms.

Bibliography

  • Cantor, G., 1932, Gesammelte Abhandlungen, Berlin: Springer-Verlag.
  • Ulam, S., 1930, ‘Zur Masstheorie in der allgemeinen Mengenlehre’, Fund. Math., 16, 140-150.
  • Gödel, K., 1940, ‘The consistency of the axiom of choice and the generalized continuum hypothesis’, Ann. Math. Studies, 3.
  • Scott, D., 1961, ‘Measurable cardinals and constructible sets’, Bull. Acad. Pol. Sci., 9, 521-524.
  • Cohen, P., 1966, Set theory and the continuum hypothesis, New York: Benjamin.
  • Jensen, R., 1972, ‘The fine structure of the constructible hierarchy’, Ann. Math. Logic, 4, 229-308.
  • Martin, D. and Steel, J., 1989, ‘A proof of projective determinacy’, J. Amer. Math. Soc., 2, 71-125.
  • Hrbacek, K. and Jech, T., 1999, Introduction to Set Theory, New York: Marcel Dekker, Inc.

Other Internet Resources

[Please contact the author with suggestions.]