Badioumathematics: Οδηγός Σπουδών

Εδώ και αρκετούς μήνες στο ιστολόγιο αυτό έχουν σωρευθεί μια σειρά κειμένων με ένα στόχο : πως μπορεί ένας μη μαθηματικός αναγνώστης μπορεί να καταλάβει τα θεμελιακά έργα του A.Badiou :Being & Event και Logic of Worlds.

Αυτά τα  δύο έργα είναι τελικά  εκτεταμένα δοκίμια μαθηματικής λογικής με αναφορές στις πιο ανεπτυγμένες πλευρές της Θεωρίας Συνόλων και της Θεωρίας Κατηγοριών.Οποίος δεν έχει σχέση με τα μαθηματικά αυτά , ουσιαστικά διαβάζει τα έργα αυτά αποσπασματικά.

Μετά από τον  αποθησαυρισμό τόσων κειμένων , εδώ παραθέτω μια   προτάση που θα διευκολύνει ένα μη μαθηματικό να καταλάβει τα θεμελιώδη μαθηματικά του Badiou.

1.-Λοιπόν άρχισε με το " Το μυστήριο του Αλεφ "του Amir Aczel.Μεταφρασμένο θαυμάσια στα ελληνικά σε εισάγει με απλό εύληπτο τρόπο σε εικονοποιημένες έννοιες της θεωρίας συνόλων, στις μαθηματικές θεωρίες για το άπειρο και τους αριθμούς.

2.-Μετά κοίταξε από το ιστολόγιο το video εδώ .Είναι ο καλύτερος τρόπος να καταλάβεις με εικόνες τα επίδικα της συνολοθεωρίας.

3.-Το επόμενο κείμενο ευρίσκεται εδώ.Είναι η πιο απλή εισαγωγή για να δεις πως σχετίζονται τα μαθηματικά και η πολιτική φιλοσοφία

4.-Το επόμενο βήμα είναι να διαβάσεις το " Αφελής Συνολοθεωρία" του Paul Halmos. Είναι για μαθηματικούς , σε ωραία Ελληνικά, αλλά είναι τόσο καλά δομημένο , όπου τα βασικά γίνονται κατανοητά.Είναι τόσο κατανοητή η αρχιτεκτονική της θεωρίας, για το πως "κτίζονται " οι έννοιες σιγά σιγά.

5.-Κατόπιν πάμε  στο "Badiou - A Subject to Truth" του Peter Hallward.Έχει ένα ολόκληρο επεξηγηματικό τμήμα για τα μαθηματικά αυτά. Δεν είναι υποχρεωτικό αλλά βοηθά

Τώρα μπορείς να αρχίσεις το Being and Event 'κάνοντας αναφορές σε όλα τα προηγούμενα.Έτσι θα δεις μερικά εκκεντρικά ζητήματα:

-Είναι δυνατόν να υπάρχει θεωρία του κράτους και των τάξεων με βάση τις θεμελιώδεις μαθηματικές διάφορες του " ανήκειν" και " εγκλείεσθαι";

-Γιατί η μαθηματική τεχνική Forcing , μπορεί να τεκμηριώσει την κοινωνική αλλαγή;

-Γιατί η μαθηματική τεχνική Labelling σηματοδότεί τη σημασία που έχουν τα συνθήματα και ονοματοθεσίες στην πολιτική;

-Πως κατασκευάζονται πολιτικομαθηματικες εξισώσεις;

Και τέλος η έκπληξη
]
Μετά από όλα αυτά, δοκίμασε να διαβάσεις ένα από τα πιο προχωρημένα βιβλία των μαθηματικών: το "The set theory and the continuum hypothesis" του P.Cohen.Η γοητεία οφείλεται στο ότι δομείται επαγωγικά , ως εάν, ο αναγνώστης δεν είναι μαθηματικός.Δεν μπορώ να φανταστώ άλλο ιστορικό τεχνικό κείμενο το οποίο να δομείται με τόσο φιλικό προς τον αναγνώστη τρόπο.Ένα από τα πιο περισπούδαστα βιβλία των μαθηματικών είναι ουσιαστικά για μη μαθηματικούς: αποκάλυψη!

Forcing in Being and Event

Πηγή: Form & Formalism

 

Forcing in Being and Event

Between the theory of forcing presented in ‘Infinitesimal Subversion’ and the one we find in Being and Event, intervenes the a new and decisive condition: a technique developed by Paul J. Cohen in his proof of the independence of the Generalized Continuum Hypothesis and the Axiom of Choice from the axioms of Zermelo-Fraenkel set theory (ZF), which likewise appears under the name of ‘forcing’. Before we address its incorporation into Badiou’s philosophical apparatus, we will take a quick look at forcing in its native, mathematical terrain.

It is, once again, set-theoretical model theory that provides Badiou with the requisite conceptual (scientific) material. Like Robinson’s procedure for the making of ‘non-standard’ models, Cohen’s forcing technique is, at bottom, a systematic way of generating a new model from a model already given. The main thrust of Cohen’s proof is to take a countable, transitive model[4] of ZF and ‘force’ the existence of a new model by supplementing it with a generic element included in, but not belonging to, to initial model—together with all the sets which can be constructed on the supplement’s basis by licensed by the ZF axiomatic. Considered in its logical structure, forcing is a relation of the form ‘a forces P’, where a is a set and P a proposition that will hold in the generic extension of the initial model—provided that a turns out to belong to the generic supplement on which that extension is based. In this respect, forcing resembles a logical inference relation, but one that differs markedly from the inference relation of classical logic—the law of the excluded middle, in particular, does not hold for the forcing relation, and the logic it generates is essentially intuitionistic.[5]

As Cohen has shown, the consequences this supplementation can be quite extraordinary, and go far beyond simply adding a new set’s name to the census. The generic supplement, for instance, may be structured so as to induce a one-to-one correspondence between transfinite ordinals that, in the initial model/situation, counted as distinct orders of infinity, thereby collapsing them onto one another and making them effectively equal. Cohen exploited this possibility to great effect by taking the model that Gödel had built in order to show that the Generalized Continuum Hypothesis (GCH)—the thesis that the size of the set of subsets set of any transfinite cardinal number À_n is equal in size to the next greatest cardinal À_n+1—is consistent with ZF (a model in which the continuum hypothesis holds), and on its basis forcing a generic extension in which the continuum hypothesis fails (the extension being a model in which the set of subsets of À_n is demonstrably equal to almost any cardinal whatsoever, so long as it’s larger than À_n), thereby demonstrating the consistency of GCH’s negation with the theory, and hence the independence, or undecidability, of GCH with respect to ZF.

Being and Event recovers Cohen’s concept and enlists it in a re-articulation of the existing category of forcing: the set underlying the model is now seized upon as the situation that forcing will transform, and faithful Miller’s cartography of change, Badiou adds that the whole procedure—both the articulation of the generic truth and the forcing of its consequences for the situation to come—must in every case proceed from an anomalous occurrence in the ‘utopic point’ of the situation in question, now rechristened ‘evental site’. Though it is now Cohen rather than Robinson whose mathematics condition Badiou’s theory of change, the new category of forcing preserves most of the features familiar to us from “Infinitesimal Subversion.” One crucial difference, however, is that the whole process is now seized as a logic of subjective action: Forcing is now names “the law of the subject” [CITE], the form by which a subject faithful to an event transforms her situation into one to which a still-unknown[6] truth (understood as a generic subset of the initial situation) well and truly belongs, by deriving consequences that the inscription of this new constant will have brought about.

In light of Being and Event’s decision to interpret ZF as the theory of being qua being, and forcing as the form of a subject’s truth-bearing practice, Badiou extracts two lessons from Cohen’s proof of the undecidability of GCH: first, that it demonstrates the existence of a radical ontological gap or ‘impasse’ between infinite multiplicities and the sets of their subsets (to which Badiou associated the notions of ‘representation’ or ‘state of a situation’), the exact measure of which is indeterminate at the level of being-in-itself; second, that this ontological undecidability is nevertheless decidable in practice, but only through the faithful effectuation of a truth, suspended from the anomalous occurrence of an event.

Of Mathematics and Radical Change: Alain Badiou’s Set-Theoretical Ontology

Ένα ενδιαφέρον εκλαικευτικό κείμενο, στο οποίο παρουσιάζονται με απλό κατανοητό τρόπο η Συνολοθεωρία, η Υπόθεση του Συνεχούς και η διαπραγμάτευση του Cohen


Όλο το κείμενο σε PDF εδώ

Απλά μαθήματα Badioumathematics για αρχαρίους και μη μαθηματικούς.Μάθημα τέταρτο :P Cohen ,Forcing,Συμβαν

Είδαμε στα προηγούμενα μαθήματα κατά σειρά

• Απλά στοιχεία της θεωρίας συνόλων
• Το πώς βασικές έννοιες της θεωρίας αυτής αξιοποιούνται από τον ΑΒ
• Και πως ο ΑΒ διατυπώνει πολιτικές θέσεις με την βοήθεια της γλώσσας των μαθηματικών.

Τώρα μπορούμε κάτι πραγματικά πρωτότυπο, κάτι από  ότι  γνωρίζω δεν έχει ξαναγίνει ποτέ.

Μέχρι τώρα η φιλοσοφία, διατυπώνει και διερευνά θέσεις,  δημιουργεί έννοιες και διατυπώνει προβλήματα. Ο ΑΒ όμως κάνει την εξής σύνθεση.

Διατυπώνει τα φιλοσοφικά του θέματα , τα μετατρέπει σε μαθηματική γλώσσα, και διαπιστώνει ότι αυτά τα ζητήματα έχουν λυθεί ως μαθηματικά προβλήματα. Με δεδομένη την μαθηματική λύση , «επανέρχεται» στην φιλοσοφία και αναδιατυπώνει τα ζητήματα.

Ας το  πούμε απλά. Ξέρουμε ότι 1+1 = 2. Αν ένας έχει ένα φιλοσοφικό ζήτημα το οποίο θα μπορούσε να μετασχηματιστεί στην ερώτηση «πόσο κάνουν ένα και ένα;» .Θα μπορούσαμε λοιπόν αφού έχουμε δεδομένη την λύση  το μαθηματικό πρόβλημα, να μετασχηματίσουμε το ζήτημα ανάποδα και να  διατυπώσουμε την φιλοσοφική απάντηση. Η διαδικασία είναι χοντρικά η εξής

Διατύπωση του ζητήματος, μετασχηματισμός σε μαθηματικό πρόβλημα, λύση μέσω μαθηματικών, αντίστροφος μετασχηματισμός , και αναδιατύπωση του ζητήματος .

Βέβαια δεν είναι τόσο απλό, αλλά η βασική αρχή είναι αυτή.

Ο ιδιοφυής λοιπόν ΑΒ , βρίσκει μια προέκταση της θεωρίας των συνόλων, τις μελέτες του μαθηματικού P.Cohen , και ανακαλύπτει ότι σε αυτή την  μαθηματική  θεωρία, ουσιαστικά είναι μετασχηματισμένος όλος ο προβληματισμός του για δύο βασικά προβλήματα που τον απασχολούν. Το ζήτημα της Αληθείας και του Συμβάντος.

Ο ΑΒ ισχυρίζεται ότι ο μαθηματικός P.Cohen , εν αγνοία του, έχει λύσει ένα θεμελιακό φιλοσοφικό πρόβλημα στο μαθηματικό επίπεδο, μέσω μιας σειράς μαθηματικών αποδείξεων.

Φαίνεται ίσως πολύ φορμαλιστικό, αλλά δεν είναι. Αυτό γίνεται γιατί τα μαθηματικά του Cohen δεν είναι τα  υπολογιστικά μαθηματικά που χρησιμοποιούν στην οικονομία και τις πολιτικές επεκτάσεις της, αλλά  τα μαθηματικά του Cohen είναι πολύ ενδιαφέροντα μαθηματικά αφαίρεσης και λογικής.

Ωστόσο τα ζητήματα αυτά δεν είναι και τόσο δυσνόητα αρκεί να παρακολουθήσουμε μερικούς απλούς ορισμούς και συλλογισμούς. Ας δούμε τώρα πως γίνεται αυτή η τοποθέτηση ο μετασχηματισμός και η αναδιατύπωση.

Θα είναι πολύ πιο εύκολο αν προσπαθήσουμε να δούμε τα αρχικά τα μαθηματικά του Cohen  με μερικά απλά παραδείγματα.

Ας υποθέσουμε ότι ευρίσκεσαι σε ένα θεόκλειστο δωμάτιο  με διάφορα αντικείμενα .Έχεις πληροφορίες μόνο για τα αντικείμενα στο εσωτερικό του δωματίου τα οποία είναι αμέτρητα. Το πρόβλημα τίθεται κατά πόσο μπορείς να καταλάβεις ποια αντικείμενα ευρίσκονται εκτός δωματίου μόνο με την γνώση που έχεις για τα άπειρα αντικείμενα του δωματίου .Και προσπαθείς  να καταλάβεις  τι αντικείμενο  υπάρχει εκτός. Προφανώς δεν  μπορώ να το μάθεις  ποτέ. Υπάρχει όμως ένα ζήτημα. Με ποιο τρόπο μπορώ να διατυπώσω τις ερωτήσεις μου έτσι ώστε , τουλάχιστον η αναζήτηση μου να έχει την μεγαλύτερη πιθανότητα να απαντηθεί. Τα μαθηματικά του Cohen ουσιαστικά περιορίζουν ,και συστηματοποιούν τις δυνατές ερωτήσεις  που τίθενται στο λογικό αυτό πρόβλημα.

Ξαναπάμε στο παράδειγμα. Είμαι στο δωμάτιο  άπειρα αμέτρητα αντικείμενα μεταξύ δε  μια καρέκλα και ένα τραπέζι και μου ζητάνε να διατυπώσω ερωτήσεις για το ποια αντικείμενα είναι έξω από το δωμάτιο με τον πιο αποτελεσματικό τρόπο.

Ο οποιοδήποτε λογικός άνθρωπος θα άρχιζε να φαντάζεται και να ρωτάει

-Υπάρχει μια καρέκλα;

-Υπάρχει ένα τραπέζι;

Ο κατάλογος αυτός όμως είναι αμέτρητος και θα αρχίζεις να ρωτάς άπειρες φορές αναμένοντας μια απάντηση ναι όχι.

Τι γίνεται όμως με αντικείμενα που δεν γνωρίζω; Πως θα ρωτήσω;

Χμ, δύσκολο.

Μπορεί να κάνω όμως μια πονηρή ερώτηση ως εξής

Υπάρχει έξω ένα αντικείμενο που δεν γνωρίζω , για το οποίο υπάρχει μια ασφαλής μέθοδος να μου απαντήσετε ναι ή όχι;

 Η ερώτηση είναι πολύ πονηρή, γιατί δεν ζητάω το αντικείμενο απ’ ευθείας , αλλά μετατρέπω την ερώτηση για ένα αντικείμενο σε ερώτηση για μια συνθήκη ύπαρξης του αντικειμένου.

Για να μη χάσουμε τον λογαριασμό, είπαμε  ότι  το ζήτημα μας είναι να κριθούμε κατά πόσο κάνουμε ερωτήσεις που θα μας δώσουν την καλύτερη προσέγγιση για κάτι που δεν μπορούμε να ξέρουμε.

Δες τώρα τι κάνει η πονηρή ερώτηση: Μεταθέτει το ζήτημα του άγνωστου αντικειμένου σε μια ερώτηση για μια προϋπόθεση , μια συνθήκη του αντικειμένου, η οποία μπορεί να απαντηθεί και να γίνει κατανοητή με βάση όσα ξέρω από τον εγκλεισμό μου στο δωμάτιο. Με απλά λόγια εκβιάζουμε την απάντηση ,μέσω μιας συνθήκης. Αυτό είναι το περίφημο forcing  (εκβιασμός, παραβίαση )που δημιούργησε ο Cohen  και υιοθέτησε ο ΑΒ.

Αν κοιτάξουμε προσεκτικά οι ερωτήσεις μέσω εκβιασμού είναι πολύ πιο αποτελεσματικές από τις αρχικές ,και σαφώς κερδίζουν στο μικρό κουίζ.

Εδώ όμως αρχίζει το τρομερό ενδιαφέρον.

Τα μαθηματικά του Cohen  με τα άγνωστα αντικείμενα, τις περίεργες διατυπώσεις, και τους εκβιασμούς μας λένε τελικά πως αυτό που είναι τελείως άγνωστο, δεν είναι ασυνάρτητα άγνωστο, δεν είναι τελείως μη προσπελάσιμο. Επίσης μας λένε ότι υπάρχουν αποδεδειγμένα τρόποι που μπορούμε να έρθουμε σε επαφή με αυτό το άγνωστο.

Αυτά τα παιδικά κουιζ που κάναμε, αντιστοιχούν σε εκατοντάδες σελίδες μαθηματικές αποδείξεις , και δεν είναι τόσο απλοϊκά. Αλλά σύμφωνα με τον ΑΒ  γεφυρώνουν ένα τεράστιο χάσμα μεταξύ σκέψης και γνώσης.

Ας ξαναθυμηθούμε με ένα απλό κουίζ καταλάβαμε πως το εκάστοτε άγνωστο δεν είναι στατικά άγνωστο αλλά μέσω ενός «εκβιασμού» μπορεί να γίνει λιγότερο άγνωστο. Επίσης όλα αυτά γίνονται αποδεικτέα μέσω των αυστηρών μαθηματικών του Cohen.

O  AB ως πολιτικός φιλόσοφος κάνει την εξής  αναλογία.  Αν με τα μαθηματικά αποδεικνύω ότι τελικά υπάρχει πάντα μια λογική σύνδεση γνωστού αγνώστου, τότε η θεωρία για τα μεγάλα αναπάντεχα κοσμοιστορικά συμβάντα μπορεί να τοποθετηθεί αλλιώς. Κάθε πραγματικά αναπάντεχο, άγνωστο ,απρόβλεπτο , μη κατανοητό   Συμβάν έχει μια βαθύτερη σχέση με την πραγματικότητα που το γέννησε ,αλλά προσοχή αυτή η σχέση δεν είναι μηχανική αιτίου αιτιατού.

Ας ξαναγυρίσουμε στο παράδειγμα μας.

Αν οι απλοϊκές πρώτες (υπάρχει τραπέζι , υπάρχει καρέκλα) ερωτήσεις ήταν ικανές να λύσουν το κουίζ , τότε η σχέση του αναπάντεχου Συμβάντος  με την πραγματικότητα θα ήταν καθαρή απλή γραμμική. Το Συμβάν θα ήταν στατιστικά , μηχανικά προβλέψιμο.

Όμως είδαμε ότι η λογική σχέση γνωστού αγνώστου θεμελιώνεται μαθηματικά από μια «πονηρή ερώτηση» ένα συλλογισμό που μεταθέτει το ερώτημα υπάρχει δεν υπάρχει , σε ένα ερώτημα «επαληθεύεται ή όχι μια συνθήκη». Έτσι και το αναπάντεχο συμβάν είναι πάντα αναπάντεχο άγνωστο απροσπέλαστο, αλλά διατηρεί αυστηρά  λογικές και δομημένες σχέσεις με την προ συμβάντος πραγματικότητα που μπορούν να περιγραφούν με τα μαθηματικά του P.Cohen.

Βλέπουμε λοιπόν πως το Συμβάν στον ΑΒ δεν είναι ένα θαύμα αλλά δεν είναι και ένα φυσικό φαινόμενο. Είναι  μυστηριώδες αλλά και λογικά προσπελάσιμο.

Για τον Cohen όμως θα τα ξαναπούμε σε άλλο μάθημα.