Σάββατο, 31 Μαρτίου 2012

Βασικά Badioumathematics-Από το "Στο ντιβάνι με το Λακάν"

 
 
Απόσπασμα από το άρθρο Generic sovereignty: the philosophy of Alain Badiou του Peter Hallward.
Mετάφραση : Kraftwerk
 
 
Η οντολογία του Μπαντιού

Η θεωρία των συνόλων έτσι όπως διατυπώθηκε από τον Καντόρ και εμπλουτίστηκε από τους Ζερμέλο, Φράνκελ και Γκέντελ αναπτύσσει την αφηρημένη μορφή του πολλαπλού ως πολλαπλού. Σύμφωνα με τον Μπαντιού τα μαθηματικά είναι ο λόγος της οντολογίας, η περιγραφή του είναι-ως –είναι ή ως καθαρής πολλαπλότητας (πράγμα το οποίο δεν σημαίνει ότι τα μαθηματικά προσφέρουν τον λόγο που ερμηνεύει ή βγάζει νόημα από αυτή την οντολογία). Η μαθηματική απόδειξη εγγυάται απευθείας από το είναι. Αν τα μαθηματικά είναι ένας διαυγής τομέας γνώσης, τελείως άμεσος στο είναι, αυτό οφείλεται στο ότι δεν υπάρχει αυθύπαρκτο μαθηματικό αντικείμενο. Τα μαθηματικά κάνουν ξεκάθαρα τη λογική που παρουσιάζει κάθε διανοητό ( ή αδιανόητο) αντικείμενο, την λογική της παρουσίασης όπως τυποποιείται στα αξιώματα και τα θεωρήματα της θεωρίας των συνόλων.

Ένα πολλαπλό είναι συνώνυμο με ένα σύνολο. Αυτό που η θεωρία των συνόλων περιγράφει είναι η διάκριση μιας απόλυτης πολλαπλότητας στοιχείων χωρίς αναφορά σε οποιεσδήποτε θετικά προσδιορισμένες δομικές μονάδες ή ορισμούς. Η πολλαπλότητα όπως προσδιορίζεται μέσα από την θεωρία των συνόλων είναι “sans-un”. Πρόκειται για μια πολλαπλότητα που συναντάται- ως το μόνο συμπέρασμα συνεκτικό με τον θάνατο του θεού- με σαφήνεια και επάρκεια στο κενό σύνολο ή το κενό. «Εν αρχή ην το κενό». Σύμφωνα με τον Μπαντιού η ατομικότητα δεν μπορεί παρά να είναι το αποτέλεσμα μιας δράσης. Ένα Είναι-μετρημένο σαν ένα. Αυτή η ενότητα ενός οποιουδήποτε δοθέντος στοιχείου ενός συνόλου είναι αποτέλεσμα του γεγονότος ότι ανήκει σε αυτό το σύνολο, όπως η ενότητα ενός μέρους ή υποσυνόλου ενός συνόλου σχετίζεται με τον εγκλεισμό σε αυτό το σύνολο. Παράγεται από ένα ιδιαίτερο μέτρημα ως ένα.

Αυτό που ο Μπαντιού αποκαλεί κατάσταση (situation) είναι συνώνυμο ξανά με ένα σύνολο. Είναι κάθε πολλαπλότητα δομημένη από μια συγκεκριμένη καταμέτρηση, από συγκεκριμένα κριτήρια εγκλεισμού ή αποκλεισμού. Η δομή μιας κατάστασης είναι αυτή που την θεμελιώνει ως συγκεκριμένη κατάσταση. Είναι αυτή που καταμετρά ή διακρίνει τα στοιχεία της ως δικά της στοιχεία. Κάθε κατάσταση είναι το αποτέλεσμα μιας δόμησης. Η δομή μιας κατάστασης πχ το σύνολο της ζωής για παράδειγμα διαχωρίζει τα στοιχεία του συνόλου των ζώντων πραγμάτων από τα στοιχεία από το σύνολο των μη ζώντων, των βιοχημικών στοιχείων. Η δομή της κατάστασης «Γαλλία» διαχωρίζει το εθνικό σύνολο από τους Γάλλους πολίτες κτλ. Είναι πιθανό κάποιος να υποστηρίξει ότι η συνέπεια μιας τέτοιας προσέγγισης είναι ένα είδος αφελούς εμπιστοσύνης σε μια ημι-στατιστική απαρίθμηση. Αυτό θα ίσχυε αν δεν έλεγε κανείς ότι για τον Μπαντιού κάθε ανθρώπινη κατάσταση ή σύνολο (ατομικό ή συλλογικό) χωρίς να σταματά να γίνεται αντιληπτό ως σύνολο συνθέτει ένα μη μετρήσιμο άπειρο. Πάντα αυτό που έχει αυθεντική αξία είναι αυτό που βρίσκεται πέρα από τον αριθμό και διαφεύγει κάθε πιθανής καταμέτρησης.

Τρία στοιχεία μπορούν να θεωρηθούν σημαντικά για την θεμελίωση της οντολογίας του Μπαντιού. Το πρώτο είναι το αξίωμα του άπειρου, η ενεργή θεώρηση ενός ριζικού απείρου πέρα από κάθε πιθανή απόδειξη ή «κατασκευή». Για τον Μπαντιού όπως και για τον Καντόρ το άπειρο είναι το όριο του διανοητού, του ανθρώπινου-του πεπερασμένου. Θεμελιώνοντας την μη συνεκτικότητα μιας «Μεγάλης Ολότητας {Grand Tut} (παρουσιαζόμενη από τον Καντ) ως ένα που τα εγκλείει όλα και ανήκει στον αυτό του (όπως τέθηκε από τον Καντόρ) η θέση της απειρότητας του είναι, είναι αναγκαίως μια οντολογική απόφαση, ή με άλλα λόγια ένα αξίωμα.

Το δεύτερο είναι το αξίωμα της θεμελίωσης ή του κενού. Η θεωρία των συνόλων ξεκινά με την παραδοχή ότι υπάρχει το κενό. Το κενό σύνολο δεν έχει στοιχεία. Η θεωρία των συνόλων υποστηρίζει ότι το κενό ή κενό σύνολο- το σύνολο στο οποίο τίποτα δεν ανήκει- εμπεριέχεται σε κάθε πιθανό σύνολο (περιλαμβανομένου και του εαυτού του). Το κενό είναι το καθολικά εγκλεισμένο υποσύνολο. Αυτό το άδειο υποσύνολο είναι θεμελιώδες με την έννοια ότι για να θεμελιωθεί ένα σύνολο πρέπει να έχει τουλάχιστο ένα στοιχείο που να μην παρουσιάζει τίποτα από αυτά που παρουσιάζει η πολλαπλότητα (το ίδιο το σύνολο). Ο Μπαντιού δίνει ένα παράδειγμα από το σύνολο των ζώντων οργανισμών: αν τα κυτταρικά οργανίδια μπορούν να περιληφθούν σε αυτό το σύνολο , σε ένα συγκεκριμένο σημείο της κυτταρικής οργάνωσης υπάρχουν στοιχεία (πχ μιτοχόνδρια) των οποίων τα στοιχεία (πρωτεϊνικές μεμβράνες, βιοχημικές δομές) δεν είναι οι ίδιες στοιχεία του συνόλου των ζώντων οργανισμών. Τέτοιες δομές είναι «θεμελιώδεις» για το σύνολο των ζώντων οργανισμών με την έννοια ότι πάνω σε αυτές δομούνται τα ζωντανά στοιχεία, αλλά τα ίδια δεν είναι ζωντανά. Στην περίπτωση των μαθηματικών οντοτήτων το κενό είναι αυτός ο θεμελιώδης όρος. Το κενό εγκλείεται σε κάθε μαθηματικό σύνολο αλλά δεν ανήκει σε κανένα. Μια άμεση συνέπεια είναι ότι κανένα θεμελιωμένο σύνολο δεν μπορεί να ανήκει στον εαυτό του. Για παράδειγμα το σύνολο όλων των αριθμών δεν μπορεί να είναι ένας αριθμός. Ένα σύνολο δεν μπορεί να αυτοθεμελιωθεί. Για να το θέσουμε με άλλους όρους το κενό σύνολο δεν μπορεί να δομηθεί αλλά είναι το θεμέλιο όλες τις δυνατές δομήσεις. Το απόλυτα πρωταρχικό σημείο κάθε οντολογίας είναι το όνομα του κενού επειδή σε μια κατάσταση δεν υπάρχει διανοητός τρόπος να συναντήσεις το κενό. Κάθε τι που παρουσιάζεται σε μια κατάσταση απαριθμείται ως ένα. Το κενό είναι αυτό πάνω στο οποίο βασίζεται κάθε καταμέτρηση, εξαιτίας του υπάρχει η παρουσίαση.

Το τρίτο αξίωμα σχετίζεται με την υπέρβαση σε ένα οποιοδήποτε σύνολο (συμπεριλαμβανομένου και το κενό σύνολο) των μερών (υποσυνόλων) έναντι των στοιχείων. Υπάρχουν εμφανώς πολλοί περισσότεροι τρόποι συνδυασμού των στοιχείων ενός συνόλου σε μέρη (ή υποσύνολα) από τον αριθμό των στοιχείων αυτού του συνόλου. Ένα πεπερασμένο σύνολο με ν στοιχεία θα έχει 2 εις την ν υποσύνολα ή μέρη. Ένα σύνολο με άπειρο αριθμό στοιχείων θα έχει ένα απείρως μεγαλύτερο αριθμό από υποσύνολα. Για παράδειγμα το σύνολο με τρία στοιχεία χ,ψ,ζ, έχει 8 υποσύνολα (2 εις την Τρίτη): {χ}. {ψ}, {ζ}, {χ,ψ}, {χ,ζ}. {ζ,ψ}, {χ,ψ,ζ}, {ο}- αυτό το τελευταίο υποσύνολο εγκλείεται σε όλα τα σύνολα. Υπάρχει πάντα – ανεξάρτητα από το τι είναι το α – τουλάχιστο ένα στοιχείο του ρ(α) που δεν είναι στοιχείο του α ακόμη και στην οριακή περίπτωση του κενού συνόλου το οποίο δεν έχει στοιχεία. Αυτό σημαίνει ότι κανένα πολλαπλό δεν είναι σε θέση να κάνει ένα από όλα όσα εγκλείει.

Αυτό που ο Μπαντιού αποκαλεί κράτος (state) μιας κατάστασης ή μιας «μεταδομής μιας κατάστασης» είναι αυτό που παρεμβαίνει για να θέσει υπό έλεγχο αυτή την υπέρβαση, να θεμελιώσει το σύνολο των μερών (υποσυνόλων). Το κράτος οργανώνει τους ποικίλους τρόπους διευθετώντας τα μέρη ενός συνόλου σε ένα ενσωματωμένο όλο. Για την δομή μιας κατάστασης, η αρχή της απαρίθμησής της (απαρίθμηση των στοιχείων της) δεν επαρκεί από μόνη της για να τη διατηρήσει ως δομημένη. Η δομή δεν παρέχει τάξη στην υπέρβαση των μερών πάνω στα στοιχεία. Έτσι αν μια κατάσταση αντιστέκεται- και σύμφωνα με τον Μπαντιού είναι στη φύση των καταστάσεων να αντιστέκονται- πρέπει να υπάρχει συγχρόνως με την δομή της, μια αρχική «μεταδομή» η οποία διευθετεί την σχέση μεταξύ της δομής και των στοιχείων, μεταξύ του συνόλου και αυτού που απαριθμείται. Αυτό που ο Μπαντιού ονομάζει «γνώση» (savoir) (ή η γλώσσα μιας κατάστασης) παρέχει άπειρους τρόπους διευθέτησης των στοιχείων μιας κατάστασης, αλλά δεν μπορεί να παρέχει ενότητα σε αυτές τις διευθετήσεις. Το ότι το σύνολο στην παρουσίαση διαφεύγει της απαρίθμησης απαιτεί κάθε δομή να διπλασιάζεται από μια μεταδομή διαμέσου της οποίας η δομή μιας κατάστασης-κάθε δομημένης παρουσίασης- μετριέται ως ένα. Μια κατάσταση απαριθμεί στοιχεία. Το κράτος μιας κατάστασης απαριθμεί τα μέρη του, τους τρόπους συνδυασμού των στοιχείων. Σε ένα εθνικό σύνολο, για παράδειγμα, τα στοιχεία του οποίου εγκλείουν τον πληθυσμό που απαριθμείται ως εθνικός, το κράτος είναι αυτό που οργανώνει τα μέρη του, όπως οι φορολογούμενοι, οι εκλογείς, εγκληματίες και άλλα.

Με άλλα λόγια, το κράτος διασφαλίζει ότι η εν δυνάμει αναρχική οργάνωση των κοινωνικών συνδυασμών παραμένει δομημένη με τέτοιο τρόπο έτσι ώστε να διατηρείται η κατάσταση. Το κράτος κρατά τα πράγματα στην θέση τους. Είναι ένα είδος πρωτογενούς αντίδρασης στην οντολογική αναρχία. Το κράτος κυριολεκτικά είναι η αρχή μιας εύτακτης αντικειμενικότητας, η βίαιη επιβολή της τάξης είναι εγγενές χαρακτηριστικό της αντικειμενικότητας. Ή ξανά το κράτος απαγορεύει την αποκάλυψη του κενού που είναι θεμελιώδες σε κάθε κατάσταση. Σε μια καπιταλιστική κατάσταση , για παράδειγμα, αυτό το θεμελιωτικό κενό , που εγκλείεται αλλά δεν παρουσιάζεται, δεν ανήκει, είναι το προλεταριάτο, η αόρατη αλλά παραγωγική βάση πάνω στην οποία η κατάσταση υπάρχει ως τέτοια. Το κράτος σε αυτή την κατάσταση απαγορεύει την αποκάλυψη ή την ενδυνάμωση του προλεταριάτου. Στην σύγχρονη γαλλική κατάσταση , το κράτος επιβεβαιώνει έναν παρόμοιο αποκλεισμό μιας αόρατης τάξης μεταναστών.

Πάντα για τον Μπαντιού, το κράτος είναι το σοβαρό ερώτημα, το κεντρικό ερώτημα. Κάθε μεγάλη εξέγερση της εργαζόμενης μάζας, την θέτει ενάντια στην κατάσταση και μια σκέψη (une pensee) δεν είναι τίποτα άλλο από μια επιθυμία για να υπερβούμε το κράτος. Την δεκαετία του 90 όπως και του 60 η από- στατιστικοποίηση της Αλήθειας παραμένει για μας ένα πρόγραμμα σκέψης : η καρδιά του ερωτήματος είναι η εγγύηση του κράτους για την διατήρηση της τάξης, ο διαχωρισμός μεταξύ παρουσίασης και αναπαράστασης, μεταξύ δομής και μεταδομής. Με άλλα λόγια, ο στόχος παραμένει το τέλος της αναπαράστασης (το τέλος της μεταδομής) και την καθολικότητα της απλής παρουσίασης, η ελευθερία των στοιχείων χωρίς την εξαναγκασμένη ενσωμάτωση των συνδυασμών τους, ένα ελεύθερο και ισότιμο ανήκειν χωρίς αναγκαστικούς εγκλεισμούς.

Η παραγωγή γενολογικών αληθειών θα σχετιστεί πρωτίστως και με το πλήρες ρίσκο του κενού, την από- στατιστικοποίηση της σκέψης. Αν θεωρούμε ως statelike (etatique) αυτό που απαριθμεί, ονομάζει και ελέγχει τα μέρη μιας κατάστασης, τότε όταν μια αλήθεια υφαιρείται από το κράτος αυτό σημαίνει ότι είναι εκτός αρίθμησης, πέραν της πρόβλεψης και μη ελεγχόμενη.

Συμβαντικός χώρος είναι ο τόπος από όπου ίσως κάτι καινούργιο συμβεί , κάτι πέρα από την αναγνώριση και τον έλεγχο του κράτους. Σύμφωνα με τον Μπαντιού είναι το κενό που έχει ως αποτέλεσμα την διαραφή (suture) των πολλαπλοτήτων στο είναι τους και αν η φύση του έχει λησμονηθεί αυτό οφείλεται στο ότι το κενό αυτό γεμίζεται (Σπινόζα ή Χάιντεγγερ) ή καλύπτεται (Λάιμπνιτς ή Βιτγκενστάιν) – τόσες πολλές φιλοσοφικές προσπάθειες, θα πει ο Μπαντιού για να αποφύγει κανείς το ερώτημα του κράτους.

Η οντολογία του Μπαντιού περιγράφει με άλλα λόγια τις προϋποθέσεις, που πρέπει να τηρηθούν ώστε να μετακινηθούμε πέρα από το κράτος και τις αναπαραστάσεις του προς μια κατάσταση αγνής παράστασης. Σε αντίθεση με τον Χάιντεγγερ ή με τον Ντελέζ, ο Μπαντιού θεμελιώνει μια οντολογία για να κινηθεί πέρα από αυτή. Η οντολογία του παρέχει μια ακριβή περιγραφή του τι δεν μπορεί να περιληφθεί σε αυτή, αυτού που υπερβαίνει την φύση της αντικειμενικότητας- το σύμπλεγμα συμβάν-αλήθεια-υποκείμενο. Μπορούμε να κατανοήσουμε την ύπαρξη της σκέψης αν κατανοήσουμε πως μπορεί να ξεκινήσει μια ρήξη με τον νόμο του είναι.

Παρασκευή, 30 Μαρτίου 2012

The Limits of The Subject in Badiou’s Being and Event

Brian Anthony Smith

Abstract: This essay is an examination of the limits of the model of the subject that Badiou establishes in Being and Event. This will concentrate on both Being and Event, and the later ethical developments introduced in Ethics: An Essay on the Understanding of Evil. My aim will be to show that there is a possible subjective figure, based on the independence of the Axiom of Choice, which remains unexamined in both these works. The introduction of this new subjective figure not only complicates Badiou’s ethical categories of Good and Evil, but it also raises questions about the nature of the subject in general in his philosophy.
Keywords: Badiou; Axiom of Choice; Subject; Individual; Non-constructible Sets; Temporality

The figure of the subject in Badiou’s Being and Event[1] is key to understanding the link between his revival of a systematic ontology, in the form of set theoretical mathematics, and his wider philosophical and ethical concerns. Through a critical examination of the subject, as it appears in Being and Event, and an evaluation of the categories of subjective Good and Evil, developed in his book Ethics: an Essay on the Understanding of Evil[2], I hope to probe the limits of this subjective model and to propose a new subjective figure that appears possible, but unexamined, in either of these works.
My analysis will focus on two main points: first, Badiou’s use of the Axiom of Choice, as a key factor in his philosophy that allows for the possibility of a subject, and, second, his selective use of set theoretical forcing, which concentrates mainly on the independence of the Continuum Hypothesis.
Badiou’s ethics is based on the capacity of individuals to distinguish themselves from their finite animal nature and to become immortal; to become immortal is to become a subject (E 12, 132). What constitutes this singular ability, our rationality, is the use of mathematics (E 132). Specifically it is the Axiom of Choice that elevates the human animal to the level of a potential subject. This axiom expresses an individual’s freedom, a freedom equivalent to the affirmation of pure chance. [3] It is this capacity that allows an individual to affirm its chance encounter with an event; the moment of this affirmation is called intervention and marks the birth of a subject (BE Meditations 20 and 22).
The importance of the Axiom of Choice is clear; it provides the connection between the individual, the event and the subject. It defines the individual and provides the condition under which subjectivity is possible.

Τρίτη, 20 Μαρτίου 2012

Επερχόμενες εκλογές και η θεωρία συνόλων

Καθώς πλησιάζουν οι εκλογές , είναι φανερό οτι θα διεξαχθούν σε μια βασική συνθήκη:

Γίνονται μετά απο άδεια της τρόικας , η οποία έχει ουσιαστικά έχει ήδη απαξιώσει τους δυνητικους συμμάχους της Σαμαρά και Βενιζέλο.Δεδομένου οτι ο προϋπολογισμός του 12 έχει καταρρεύσει προκαταβολικά ,οτι η εκλογική διαδικασία θα παραλύσει και το υπολείπο του κράτους που λειτουργεί,ότι οι εκλογικες δημόσιες δαπάνες είναι τόσο πενιχρές που καθιστούν τις εκλογές σχεδόν διαβλητες,είναι φανερό ότι πάμε σε πραγματικά ενδιαφέρουσες συνθήκες.

Για να αποκτήσουν οποιαδήποτε αξία οι εκλογές για τους εμπνευστές τους , θα πρέπει να διεξαχθούν σε μια προεκλογική ατμόσφαιρα , όπου το κλασσικό επίδικο για την επόμενη κυβέρνηση θα προβαλλεται εμπλουτιζόμενο με την πιθανότητα ακύρωσης του.Το ζήτημα δεν θα είναι ποιος θα κυβερνήσει , αλλά ποιος, που σήμερα σαφως δεν μπορει να κυβερνήσει, θα επωφεληθεί απο τις σπόντες του αποτέλεσματος.Ψηφίστε κυβέρνηση για να μπορείτε να μην έχετε ακριβώς αυτή τη κυβέρνηση ή ψηφιστε αντιπολίτευση για να γίνει κατά λάθος κυβέρνηση.

Πρόκειται για εκλογές κυριολεκτικής ανασύνθεσης των πάντων.Φαίνεται πως η κυρίαρχη σκέψη είναι μια νέα κυβέρνηση ΝΔ,ΠΑΣΟΚ υπό τον Παπαδήμο,αλλά χωρίς σαφη εξωτερική συμβολική βοήθεια ακόμα και το σενάριο αυτο είναι δύσκολο.

Η ξαφνική υπερφόρτωση του τόξου απο τον τριπλό δεξιό αντιμνημονιακό μπλοκ μάλλον εξουδετερώνει την προφανή αύξηση της Αριστεράς,ενώ μάλλον αναμένεται ελαφρά ανάκαμψη του Βενιζελικου ΠΑΣΟΚ που θα το τοποθετήσει στη φυσιολογική του δεύτερη θέση.

Η αριστερά θα παραμείνει στο εγγενές αριθμητικό παράδοξο της ,καθώς γίνεται ισχυρή επειδή το εσχατολογικο ΚΚΕ επιμένει στον μονήρη δρόμο του,ο οποίος είναι η μοναδικη συνθήκη για να ισχυροποιηθουν οι λιγώτερο λαικοτροπες εκδοχές ΣΥΡΙΖΑ Δημαρ.Χωρίς το ισχυρό ΚΚΕ ,που είναι ισχυρο επειδή είναι " δογματικό" , οι λοιπές δυνάμεις δεν θα είχαν την πολυτέλεια των πολυσυλλεκτικών χαλαρών συγκροτήσεων τους.Η ενωμένη αριστερά ενός ενιαίου 30 % είναι φαντασίωση , γιατί πραγνωρίζει οτι αφ´ ενός μεν τα κόμματα συγκροτούν , δημιουργούν, τα δικά τους target groups,δεν εκπροσωπούν υφιστάμενες τάσεις,αφ´ετέρου το άθροισμα των εκλογικών εκπροσωπήσεων τριων διακριτών target group δεν είναι ένα συμπαγές εκλογικό σώμα.

Το ίδιο θα συμβεί στα δεξιά:

Η δεξιά θα ως σύνολο θα παραμείνει αξιόλογη, παρά το εσωτερικό σχίσμα του μνημονίου , ακριβώς και κυρίως επειδή είναι διασπασμένη.

Οι εκλογές της ανασύνθεσης των πάντων , θα είναι οι εκλογές που ακριβώς θα διατηρήσουν τα πάντα.Το αντιπροσωπευτικό κοινοβουλευτικό σύστημα θα επιδείξει την οργανική σταθερότητα του, ακριβώς γιατί θα φτάσει στα όρια του.Η σταθερότητα του συστήματος οφείλεται ακριβώς στο γεγονός ότι οι εκλογικοί σχηματισμοί δεν έχουν την μόνο την αριθμητική σχέση που τα αθροίζει στο 100% αλλά την σχέση του " συμπεριλαμβάνεσθαι" στο εκλογικό σύστημα που δεν αθροίζει αλλά πολλαπλασιάζει.
Ο μεγάλος αριθμός των κομμάτων θα πολλαπλασιάσει τα εκλογικά διλήμματα,άρα θα καθηλώσει τους ψηφοφόρους μέσω πολλαπλών και συγκρουόμενων διλημμάτων.


Για όποιον έχει όρεξη να ταλαιπωρηθεί λίγο με μερικά περίεργα μαθηματικά απο τη συνολοθεωρία ακολουθεί το απόσπασμα που προσπαθεί να παρουσιάσει πως στην μαθηματικοποίηση του Badiou , τίθεται φορμαλιστικά το ζήτημα της αντιπροσώπευσης :


Ο μαθηματικός φορμαλισμος του ΑΒ (1)για το κράτος και τους μηχανισμους αντιπροσωπευσης είναι ο εξής:

Η κοινωνία θεωρείται συγκεκριμμενο συνολο με στοιχεια του, τους πολιτες ( σχεσεις ανηκειν) δηλαδή ως συγκεκριμενος υπεράπειρος πληθικός αριθμός και σημειωνεται ως σ.

Το κράτος είναι η δύναμη του σ (δηλαδή το συνολο των όλων των δυνατών υποσυνόλων του σ, που διέπονται απο την σχεση του συμπεριλαμβάνεσθαι) και ως εκ τούτου ανώτερος απο τον σ, και σημειώνεται ως ε.

Με βάση την εργασία του Cohen ( για την απροσδιοριστία των γενολογικων υποσυνόλων σε κάθε απειρο σύνολο ) συμπεραίνεται ότι ανωτερότητα του ε σε σχέση με τον σ είναι μαθηματικά απροσδιόριστη.

Εδω θα άξιζε να διευκρινιστεί πως με βάση την αξιωματική συνολοθεωρία , υπάρχουν άπειροι πληθικοί αριθμοί Καντορ οι οποίοι δεν είναι απρσδιόριστοι, αλλά εντάσσονται σε μια μαθηματική διαχείριση.Η ανωτερότητα του ε προς το σ και όχι ο ε , είναι απροσδιόριστη δηλαδή μαθηματικά μη αποδείξιμη .Το ερώτημα " πόσο " το κράτος υπερέχει της κοινωνίας ειναι μαθηματικά μη μετρήσιμο εντος του φορμαλισμού αυτού.Το ότι ,η ανωτερώτητα αυτή δεν είναι προσδιορίσιμη δεν οφείλεται στην φύση των σ και ε που είναι άπειροι πληθικοί αριθμοί, αλλά στην μαθηματική τους σχέση.

Με βάση , λοιπόν, αυτο τον φορμαλισμό αυτό ,ο ΑΒ , συμπεραίνει την πέραν πάσης επιμέτρησης υπεροχή του κράτους έναντι της κοινωνίας.

Το κράτος ως αναπαραστατικό της κοινωνίας είναι υπερτερο της, απροσδιόριστα δηλαδη απροσμέτρητα ακόμη και περαν του λογισμου της αξιωματικης θεωρίας των συνόλων.

Τούτων δοθέντων έχουμε τον συλλογισμό :

1.-Για τον ΑΒ ,η πολιτικη ως διαδικασία " αληθείας " έχει την μοναδική ιδιότητα να αναστρέψει αυτη την μαθηματικά αποδειγμένη απροσδιοριστία , μόνο όταν ασκηθεί εκτός του ε, δηλαδή καταστήσει το ε μετρήσιμο.( δηλαδή η πολιτικη σε απόσταση από το κράτος)

2.-Το πρόταγμα της ισότητας, σημειούμενο συμβολικά ως 1, είναι ασύμβατο με την απροσμέτρητη ανωτερότητα του κράτους ,ε>σ, γιατί η απροσδιοριστία του κράτους εμφανίζεται ως μετρησιμη πραγματικότητα μόνο μέσω των πολιτικών προταγμάτων της ανισότητας.Οι ανεξέλεγκτες ροές του κεφαλαίου εμφανίζονται ως μετρήσιμα αλγεβρικά μεγέθη, γιατί εντος αυτής της άλγεβρας τα προτάγματα ανισότητας είναι λειτουργικά .

3.-Ο μαθηματικός φορμαλισμός επιτάσει πως η πολιτικη εντολή ,σημειούμενη ως π, για να μπορει να επιμετρήσει το ε και να αναδιατάξει την σχέση ε>σ , πρέπει να είναι βασισμένη στο πρόταγμα της ισότητας.

Η πολιτική η οποία ασκείται ως εάν το αναπαραστατικό αντιπροσωπευτικό κράτος είναι μετρήσιμο, είναι μια μαθηματικά λανθασμένη πολιτική η οποία εκφράζεται εμπειρικά ως μια αυταπάτη για τη δυνατότητα του αντιπροσωπευτικού συστήματος να μεταλλαχθεί εκ των έσω με πολιτικό πρόταγμα ισότητας.

Ο ΑΒ διατείνεται οτι δεν είναι ανάγκη κάποιος να κατέχει τον μαθηματικό φορμαλισμό για να προκρίνει πολιτικές ,αλλά ο φορμαλισμός ερμηνεύει με συνεπή τρόπο πολιτικά δεδομένα .πχ η Μπολσεβικη επανάσταση είχε στοιχεία αυταπάτης για την υποτιθέμενη αδυναμία του τσαρικού κράτους, ενω η πολιτιστική επανάσταση διέκρινε πέραν του μαθηματικού λογισμου, την θεμελιακη ανωτερότητα του Κράτους, εξ´ ου και το πρόκριμα για μια ένα διαρκές πρόταγμα απόστασης από αυτό.

Ο φορμαλισμός σημειώνεται ως εξής :

ε>σ : ανωτερότητα του κράτους έναντι της κοινωνίας.

π(ε) : η πολιτικη ως διαδικασία επιμέτρησης του απροσδιόριστου πλεονάσματος του κράτους έναντι της κοινωνίας .

1: το σύμβολο των πολιτικών με πρόταγμα την ισότητα

π(π(ε))=1 : η πολιτική οδηγεί σε προτάγματα ισότητας,αφού προηγουμένως σταθεροποιήσει ως επιμετρούμενο το πλεόνασμα του κράτους

[π(ε) - π(π(ε))=1 ] : η πολιτική γίνεται ως μια συνθέτη πράξη με εσωτερική αλληλουχία .Κατ´ αρχάς ως απόσταση από το κράτος και συνακόλουθα ως επίτευξη των προταγμάτων ισότητας.

(1) Αναλυτικά στο A Badiou Theoretical Writings p 78 ,155-163.


Δεν είναι σίγουρο αν η μαθηματική παρέκβαση θα βοηθήσει το συλλογισμό , αλλά το συμπέρασμα μου είναι σχετικά απλό :

Εντός του εκλογικού συστήματος, ανεξάρτητα απο αποτελέσματα, θα παράγεται μια συγκεκριμμένη σταθερότητα πέραν και πολλαπλάσια της κοινωνικής συνθήκης. Αν τα μαθηματικά του Badiou είναι σωστά , τότε η πιθανότητα η εκλογική διαδικασία να οδηγήσει σε μια σταθερή κυβέρνηση είναι απείρως πολλαπλάσια από ότι μπορούμε να διανοηθούμε.Η δυναμική των εκλογών δημιουργεί τελικά περισσότερη σταθερότητα από όσο είναι εκ πρώτης όψεως φανερό.Την μορφή αυτής της σταθερότητας δεν μπορεί κανεις να προβλέψει,αλλά για όσους ποντάρουν σε εκλογικές ρήξεις και ανατροπές η συνολοθεωρία είναι εναντίον τους.



Εικόνα: C Y Twomply

Κυριακή, 4 Μαρτίου 2012

Πέραν του υποσυνόλου Singleton: Οι Δημοκρατικοί και ο Santoroum

Τον Οκτώβριο του 11 διεξάχθηκαν οι εσωτερικές εκλογές στο Σοσιαλιστικό κόμμα με ανοικτή ψηφοφορία. Το πολύ ενδιαφέρον αριστεροφιλελεύθερο μικρό μόρφωμα Gauche Liberale  ( Προυντονικής κατεύθυνσης) καλεί ανοικτά να υπερψηφιστεί ο Manuel Valls (1).Τυπικά Επρόκειτο για μια προφανή επέμβαση στα εσωτερικά ενός άλλου κόμματος που δεν πήρε και μεγάλη δημοσιότητα κυρίως εξ´ αιτίας του μικρού nano μεγέθους  της Gauche Liberale.

Μερικούς μήνες μετά στις ΗΠΑ γίνεται κάτι παρόμοιο, αλλά με αντίθετη στόχευση. ψηφοφόροι του Δημοκρατικού κόμματος εκμεταλλεύονται την ανοικτή  ψηφοφορία εγγράφονται για μια μέρα στους καταλόγους και ψηφίζουν Σαντόρουμ ως πιο βολικό αντίπαλο του Ομπάμα . Σε αντίθεση με την GL επιλέγουν τον χειρότερο τους αντίπαλο για να προκαλέσουν την κοινή γνώμη εναντίον του.

Και τα δυο περιστατικά εκφράζουν αυθεντικά τα τυπικά όρια της σύγχρονης δημοκρατίας ,και ίσως ανοίγουν δρόμους μιας πιο σύγχρονης οργάνωσης της αντιπροσώπευσης.

Το ζήτημα προκύπτει από το γεγονός ότι ενώ στις σύγχρονες δημοκρατίες αναφύονται πολλαπλά παράλληλα ερωτήματα τελικά στην κάλπη αποτυπώνεται ένα .Κι' όμως οι έρευνες δείχνουν πως άλλοι ψηφίζουν για να βρουν κυβέρνηση άλλοι για να επιλέξουν αντιπολίτευση αλλά πολλοί θα ήθελαν να ψηφίζουν και για τα δυο. Αποτέλεσμα τελικά τα τρία τέταρτα είναι κοψοχέρηδες.

Μια πιο ελκυστική παραλλαγή , θα ήταν να έχουμε δυο κάλπες μια για κυβέρνηση μια για αντιπολίτευση και ανόθευτη αναλογική. Ακόμη παραλλαγές του συστήματος μονοεδρικών , με διπλή ανεξάρτητη ψήφο  κόμμα - βουλευτή , εξυπηρετούν την ίδια ιδέα. Κύριοι  ,θέλω κυβέρνηση Λαος με αξιωματική αντιπολίτευση ΚΚΕ, ή κυβέρνηση Ανταρσυα με αντιπολίτευση Καμένο ,θα ήταν μερικές από τις πιο εκκεντρικές επιλογές.

Εδώ θα είχε ενδιαφέρον να προσεγγίσει το ζήτημα των ψηφοφοριών μέσω της  μπαντιουικής προσέγγισης , όπου τα πάντα σχηματοποιούνται μέσω της Θεωρίας των συνόλων.

Γράφει ο ΑΒ

Το άτομο αντιμετωπίζεται ως υποσύνολο ως singleton , δηλαδή σύνολο με ένα μόνο στοιχείο. πχ Το κράτος δεν αντιμετωπίζει τον Antoine Domblase  εννοούμενο ως όνομα ενός συνόλου αλλά τον  [Antoine Domblase]  μια αδιαφοροποίητη μορφή μιας μονάδας, η οποία συγκροτείται από την από την μετατροπή σε ένα του ονόματος.
Ο ψηφοφόρος , δεν είναι το υποκείμενο John Doe, είναι μάλλον μόνο ένα μέρος από ότι  το Κράτος, ως χωριστή δομή,  αναπαριστά δηλαδή επιμετρά και διαχειρίζεται ως «ένα» .   Αυτό το μέρος είναι ένα σύνολο του οποίου το μοναδικό στοιχείο  είναι ο John Doe,  δεν είναι ένα πολλαπλό  του οποίου το αδιαμεσολάβητο  ένα είναι  ο  John Doe». Το άτομο υπόκειται  , υπομονετικά ή ανυπόμονα, στον θεμελιακό εξαναγκασμό , σε αυτό το άτομο του περιορισμού  που περιλαμβάνει  και τον θάνατο. Αυτός ο εξαναγκασμός δεν αφορά κάποιον ο οποίος ανήκει στην κοινωνία αλλά σε κάποιον ο οποίος συμπεριλαμβάνεται στην κοινωνία. Το Κράτος είναι αδιάφορο στο «ανήκειν» αλλά συστηματικά ανησυχεί με το «συμπεριλαμβάνεσθαι». Το Κράτος επιμετρά και λαμβάνει υπ’ όψιν κάθε συνεπές υποσύνολο , για το καλό και κακό, γιατί είναι το ζήτημα της αντιπροσώπευσης. Από την άλλη , παρά τις διαμαρτυρίες και δηλώσεις , είναι εμφανές  ότι όσο αφορά τις ζωές των ανθρώπων , εννοουμένων ως σύνολα,  το Κράτος δεν ασχολείται με αυτά τα σύνολα. Αυτό είναι  ο απόλυτο  και αναπόφευκτο βάθος του χωρισμού του Κράτους. 
ΒΕ 107-108

Για την κατανόηση του αποσπάσματος μερικά στοιχειώδη από τη θεωρία συνόλων :

Τα στοιχεία ανήκουν στα σύνολα , ενώ τα υποσύνολα εμπεριέχονται σε αυτά.

Ο αριθμός των υποσυνόλων είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό των στοιχείων σε κάθε σύνολο.

Το να επιμετρήσεις ένα αντικείμενο ως στοιχείο ή ως υποσύνολο είναι θεμελιώδης διαφορά τρόπου αντιμετώπισης , χειρισμού. (ΒΕ p83)

Αν το κράτος κατανοηθεί ως σύνολο το οποίο περιέχει τους πολίτες ως στοιχεία ( σχέση ανήκειν) ή ως μοναδιαία υποσύνολα singleton (σχέση συμπεριλαμβάνεσθαι) τότε η διαδικασία ψηφοφορίας είναι ένας χειρισμός ο οποίος ακριβώς εμποδίζει να αναδυθεί η δεδομένη ιδιότητα των συνόλων να δημιουργούνται περισσότερα υποσύνολα από τα στοιχεία. Η αντιπροσωπευτική δημοκρατία μέσω καθολικής γενικής ψηφοφορίας είναι η συστηματική «καθήλωση» , ο «εξαναγκασμός» των υποσυνόλων στην κατάσταση μοναδιαίου συνόλου Singleton.

Είναι πέραν μιας μικρής ανάρτησης να αναλυθεί ότι ο συστηματικός «αντι- αντιπροσωπευτισμός» του Badiou, είναι ελκυστικός από δυνάμεις της ριζοσπαστικής αριστεράς αλλά δυστυχώς για αυτές η θεμελίωση του δεν είναι πολιτική ιδεολογική αλλά μαθηματική - λογική. Η ίδια μαθηματική λογική διάσταση εξοπλίζει τον ΑΒ για να είναι ριζικά αντίθετος στις γενικές εκλογές, την μαρξιστική πολιτική οικονομία κλπ.(*)

Το κράτος ,λοιπόν, δεν επιμετρά τους ψηφοφόρους ως στοιχεία  αλλά ως υποσύνολα με ένα στοιχείο. Δηλαδή ο ψηφοφόρος Κώστας δεν είναι ο Κώστας αλλά το υποσύνολο Κώστας με μοναδικό στοιχείο τον Κώστα.

Το σύγχρονο αντιπροσωπευτικό κράτος, λοιπόν, δεν θεμελιώνεται σε μια λογική κοινωνικού δεσμού την οποία εκφράζει αλλά σε μια λογική απαγόρευσης άλλων υποσυνόλων  την οποία απαγορεύει. Αν το κράτος δεν επιμετρήσει τους ψηφοφόρους ως πολίτες ψηφοφόρους , τότε επειδή αυτοί είναι υποσύνολα και όχι απλά στοιχεία, ως δυναμοσύνολο έχουν μεγαλύτερο πληθάριθμο από τον πληθάριθμο των στοιχείων.

Η κρατική ψηφοφορία ουσιαστικά δεν αντιπροσωπεύει αλλά ουσιαστικά περιορίζει τους  πιθανούς δεσμούς των ψηφοφόρων μεταξύ τους. Ο αριθμός των υποσυνόλων είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό των στοιχείων.

Με την έννοια αυτή , και στεκούμενοι στο αυστηρό μαθηματικό λογικό επίπεδο η συνειδητή συμμετοχή σε ψηφοφορίες άλλων κομμάτων για οποιοδήποτε λόγο, συνιστά μαθηματικολογικά την δημιουργία υποσυνόλων την οποία το κράτος δεν επιθυμεί αλλά και αδυνατεί να ελέγξει

Αν η αποχή είναι, μαθηματικολογικά ,η συνειδητή «καθήλωση» του πολίτη στην μαθηματική μορφή «στοιχείο συνόλου» και όχι «υποσύνολο Singleton» που επιθυμεί το κράτος,  η συμμετοχή σε κομματικές ψηφοφορίες είτε ως άσκηση επιρροής , παράδειγμα Gauch Liberal, είτε ως  προβοκάτσια ,παράδειγμα Δημοκρατικοί Σαντόρουμ , αποτελεί μια άλλη «αντι αντιπροσωπευτική» στρατηγική. Από μαθηματικολογική άποψη είναι η αποδέσμευση από την θέση Singleton  και η δημιουργία ενός νέου συνόλου.Το σύνολο αυτό εμπεριέχει δύο στοιχεία : τον ψηφοφόρο Κώστα για εκλογές και τον ψηφοφόρο Κώστα για εκλογές του αντιπάλου.

Αν λοιπόν οποιοσδήποτε προσπαθεί θετικά ή αρνητικά, παραγωγικά ή προβοκατόρικα, από αίσθηση του κοινού «καλού» ή από χαβαλέ να επηρεάσει ψηφοφορίες άλλου κόμματος , τυπικά παραπλανά το κράτος, και μαθηματικά ασκεί το δικαίωμα του  να αποφύγει την κατάσταση Singleton.


(*) Αποτελεί  ολίγον εκ του πονηρού η παρατεταμένη αποσιώπηση της μαθηματικής λογικής ανάλυσης του έργου του ΑΒ, η οποία αποτελεί και το ισχυρό θεμέλιο της, γιατί αυτή ακριβώς αναδεικνύει το ριζοσπαστικό αντιοικονομισμό τον οποίο έχει ανάγκη η σημερινή συγκυρία.  

Συνδέσεις:

H gauche liberale "ψηφίζει" Valls

Οι δημοκρατικοί ψηφίζουν Santoroum

Εικόνα Georg Cantor (1845-1918) Ιδρυτής της Θεωρίας Συνόλων

Παρασκευή, 2 Μαρτίου 2012

Βιβλιοκριτικη: The concept of Model

Math Matters – On Alain Badiou’s “The Concept of Model”
Following Ray Brassier’s (2005) short paper on Angelaki[1], let us assess how Badiou’s (1966) The Concept of Model advances towards a materialist epistemology of mathematics.
As is well known, Badiou’s work attributes to mathematics something of a paradigmatic position in determining “scientificity”. Already before the well known ‘mathematical turn’ in his thought, leading to the equation between mathematics and ontology in Being and Event, Badiou conceived of mathematics, since the very start of his philosophical oeuvre, as providing something of a standard for the rest of the scientific practices[2]. The closer a theory/discipline is to inscription in the language of mathematics; the more scientific it can be esteemed to be. Mathematics is not subordinated to the scientific interests of the natural sciences, but in a certain way envelops their activity, giving them form and mobilizing their productivity:
‘‘[U]ltimately, in physics, fundamental biology, etc., mathematics is not subordinated and expressive, but primary and productive.’’ This means that mathematics is not a mere means for scientific production; but that its own development is what provides a standard and material support for scientific productivity as such.
We can anticipate here that Badiou’s conception of mathematics concerns challenging its purported status as a mere ‘formal’ discipline, somehow separated from the ‘empirical’ domains otherwise assigned to the natural sciences. By denouncing the ideological separation of science from the empiricist split between formal-empirical/scheme-content, and integrating scientific experimental practice into the experimental interplay within mathematics, Badiou thus seeks to provide a legitimate philosophical estimation of mathematics’ primordial productive function.
If after all, as Badiou came to think, the axiomatic of set-theory can provide the all-enveloping means such that it is equipped to describe a general theory of presentation (and thus of becoming the science which describes conditions of access to any presentable reality), then it is in and through mathematics that Badiou’s materialism must found itself in its theoretical and practical deployment. Thus while the Zermelo-Fraenkel axiomatization of set theory provides an all-encompassing domain for the operation of mathematics at large, all accessible reality must remain within the confines of mathematical susceptibility in its capacity to be underwritten by ontology’s generality, i.e. set-theory as the science of the pure multiple, without qualitative determinations. By the same token, to stand outside mathematics separates thought from the possibility to stratify differences, and so outside the material scientific domain of dynamic production and demonstration. Because of this, Badiou tends to favor physics over biology; insofar as the former mathematically provides the objectified strata of what it structures under its domain.
Ontology, on the other hand, conditions this possible reification insofar as it intrinsically forbids any objectification of the multiple; where the latter is revealed as the result of transitory operations; hence ontology’s capacity to embrace the multiple indistinctly of its domain of operation: it stratifies being by de-objectifying them insofar as it founds itself on denying a primal appearance, i.e. the existential negation of belonging by the axiom of void-set qua the non-being of the One.
Therefore, it seems natural for Badiou to say that the scientific esteem of science must be rooted in its mathematical inscription, since it must be ultimately subject to the sole ‘science of the real’ enveloped by mathematical set-theory, to use Lacan’s well-known phrase. Since, in general, the form of presentation is that of the One (as opposed to ontology), it is the scientific capacity to objectify and axiomatically deploy differences which assigns it to mathematical production.

The most general objection to this approach, Brassier notes, would be to accuse it of an archaic formalism, peculiar to Badiou’s own intransigent variety of discursive Platonism. Only under such a lens could Badiou’s idea that s mathematics could ‘found’ the rest of the sciences, since it is to imperatively disavow the empirical / material (experiential) side, subordinating their practice to the ideal/formal or ‘a priori’ dimensions. However, as we indicated in the beginning, Badiou is precisely looking to undermine the (empiricist, and idealist) distinction between the formal and empirical, to be in turn revealed in their ideologically unquestioned illegitimacy.
Badiou begins by challenging two dominant conceptions of mathematics, as:

1)
A formalist game – An arbitrary manipulation of meaningless symbols.
2) A scientific practice – Granting access to a domain of transcendent objects.
Mathematics is described rather as a productive activity, which consists in the stratification and differentiation of its notional material. Or as Brassier puts it: “Science is the production of stratified differences.” So mathematics is not a formal a priori discipline guaranteeing access to empirical reality; but itself an experimental productive practice inseparable from reality, as in the purported duality of ‘bourgeois epistemology’ between form and content. This latter duality is thereby designated as an ideological notion. To this purpose, Badiou distinguishes between three registers:
1) Philosophical categories.
2) Ideological notions.
3) Scientific concepts.

Badiou thereby proposes to assess the scientific status of the
concept of model to purify it from its notional (ideological) baggage. One can attribute this ideological notional coating of the concept of model present in bourgeois epistemology by diagnosing the latter as being structured around an unexplained differentiation – based on an unquestioned assumption and perfectly incapable of examining their underlying principle. In the case of bourgeois epistemology, this is the distinction between:
a) Theoretical form – The formal theory (mathematics) which has a function.
b) Empirical reality - Which lies independently of formalizations.
The articulation between the two has in turn (at least) two variants: the representationalist idea of theory mirroring pre-given / presented objective reality, or the structuralist thesis governing the idea of an anteriority of a formal apparatus where the theory provides the form of representation for access to reality (no reality without theory). But, as we diagnosed above, these are ideological notions insofar as the differentiation of their terms is presupposed and not transparently accounted for:

‘‘[E]mpiricism and formalism have no other function here besides that of being the terms of the couple they form. What constitutes bourgeois epistemology is neither empiricism, nor formalism, but rather the set of notions through which one designates first their difference, then their correlation.’’

So we must unveil this ideological envelopment in the case of bourgeois epistemology more thoroughly.

Carnap and Quine / Analycity and Synthesis, Form and Content
Brassier takes a brief detour through the history of logical empiricism to pave the way into Badiou’s critique of bourgeois epistemology. He begins by targeting Carnap’s project for a reductionist physicalism in order to neatly separate the physical empirical sciences corresponding to synthetic statements, and the artificial formal sciences corresponding to analytic statements.

But Quine (1951) famously subverts this possibility by attacking the distinction between synthetic/analytic statements, given the latter’s reliance on the notion of synonymy, which presupposes that meaning as intensionally transparent in propositionally/sentential form rather than extensionally defined. The latter is subject to logical transparency, the former presupposes that an entity attaches itself to a sign; in this case propositions are the correlates of sentential statements. But there is nothing ‘self-evident’ about the putative analytic statements such that their meaning could be rendered transparent by their correspondence to signs, so Quine concludes that these purported intensional propositions are noematic entities tethered to linguistic intentionality, which is “what [Aristotelian] essence becomes when it is divorced from the object of reference and wedded to the word.”
Quine doubts this dubious idea can found the notion of Analycity, just like the dogma of reductionism relies on the presupposition that one can neatly divide conceptual schemes between their formal and empirical aspects. With regards to this last dogma, Quine reminds us that theories are intrinsically holistic and so this separation is actually impossible: falsification in theory does not entail always particular statements of the theory to empirical data; considerations of revision evaluate the system as a whole, and there is no clearly demarcable procedure for this besides the evaluation of the pragmatic import of the theory at large, and of its specific premises. Quine thus recognizes that theories are underwritten by empirical evidence, since it is finally evidence which gives theory to revision. In this sense Quine refuses to let go of the last dogma of empiricism, as described by Davidson: the dualism of conceptual scheme and empirical content.
This way Quine refuses to distinguish between ontological speculation and scientific hypothesizing, which in addition to the indeterminacy of translation (the notion of reference is non-intensional, but always relative to a holistically articulated semantic structure) and ontological relativity (to be is to be the value of a variable) leads his subscription to the form/content dualism into an epistemological relativism. Brassier´s formulation is excellent: “the difference between Homeric gods and protons is merely one of degree rather than kind… Whatever superiority the myth of physical objects enjoys over that of the Homeric gods comes down to a question of usefulness.” So the empirical remains by necessity incommensurable to resources extrinsic to a properly defined semantics holistically sustained by the system as a whole: one cannot appeal to the intensional connection between meaning and sign to distinguish between analytic and empirical statements anymore than one can distinguish ontology from science by virtue of the latter’s reliance on the empirical and the former’s a prioricity. This way pragmatism reveals itself as the underlying doctrine behind Quine’s empiricism.
Because of this ultimate neutrality of the empirical, Quine cannot find room for philosophy to investigate how the theoretical ‘cultural posits’ relate to ‘empirical usefulness’, since there would be strictly no such mechanism for verification. This signals blindness to the underlying ideological distinction between form and fact which underwrites the logical empiricism commonly to Carnap and Quine, and the latter can thereby leave empiricism’s underlying condition unquestioned. Badiou says that for Quine it is finally indiscernible to say that the formal is a dimension of the empirical or the reverse. So it follows that philosophical inquiry into science would have to proceed from science’s intrinsic categories: since there is no higher ground of a prioricity discernible from its concrete semantic coordinate system such that it would be commensurable by a ‘transcendental enquiry’ of some sort: science is a cultural posit which presents its enquiry in terms immanent to itself. Only ‘empirical usefulness’ remains transcendent to the immanent interplay of the terms in the theory.
To accomplish this, logicist empiricism will replace the traditional representationalist account where formal theory models the world via representation, to a theory where the empirical models the formal. We will see this in detail as we progress. This allows Quine to relinquish the two dogmas while preserving empiricism. For this, naturalized epistemology it is scientific practice itself which models the epistemological theory of science: it constructs a scientific-model of science’s capacity to model. Mind you, having granted that the choice of theory is empirically pragmatic, epistemology is not set to inquire into the putative reasons for adopting the theory. It merely stipulates that the domain for interpretation of theory (its empirical aspect) already has chosen a domain of objects to be tested with respect to the theory. This way the empirical structure which models a theory of representation is the very realm of scientific theorization as such: a set of unspecified entities/objects. Note that this non-specificity is guaranteed by ontological relativity and, as we will see, delivers the epistemologically construction of the empirical domain in terms of sets. In particular, naturalized epistemology accomplishes this virtuous circularity by designating the domain of neurocomputational processes as the empirical model for scientific representation, while these processes are already a part of science:

“Thus in a surprising empiricist mimesis of the serpent of absolute knowledge swallowing its own tail, naturalized epistemology seeks to construct a virtuous circle wherein the congruence between fact and form is explained through the loop whereby representation is grounded in fact and fact is accounted for by representation [a theory of how science records ‘facts’].” [Pg. 139]
Badiou claims in this regard that ‘‘If science is an imitative artifice [artisanat], the artificial imitation of this artifice is, in effect, Absolute Knowledge.’’ So, Brassier claims, the ideologically coated notion of model, moving from positivism to a pragmatist version of absolute idealism. But for Badiou this anchors Quine’s empiricism in the dogmatic irreflexivity obstructing materialism from properly putting science to the service of revolutionary motifs. The key lies in the concept of representation tout court, which idealizes science as an imitative theory instead of thinking the form of its production. This means we shouldn’t construct a dichotomy between formal theory and a pre-existing empirical reality (here, the pragmatist motivations behind naturalistic epistemology and its construction of scientific practice as a domain of interpretation empirically modeling theory). Rather, we must analyze the interplay of developing demonstrations and proofs which determine a precise historical material reality, whose structural specificity is the object of science [Pg: 139]. This way epistemology can be saved from the historicist variant of empiricism, according to Badiou. This pragmatist naturalization passes over the crucial difference between what Brassier distinguishes thus:

1)
Cognitive production – Emergence of new theoretical practice through experimentation which likewise transforms the domain of interpretation. Domain interplay with axiomatic syntactic logical axioms transforming each other in an ongoing experimental practice which transforms the very reality it simultaneously describes.
2) Technical regulation – The use of models are subservient to strict conditions: Badiou offers the example of economics where the models are always in order to think the existing conditions of production rather than attempting to modify the very formal conditions for the conditions of production themselves. In this sense they merely regulate an existing practice through modelling rather than produce by way of an interplay between a domain of interpretation and a formal system (we will analyze this distinction in fuller detail on the next section).
So in distinction to vulgar empiricism’s blatant representational framework: Quine’s pragmatist version circulates around the closure of the gap between fact and form, both realms are reciprocally presupposed and are thus isomorphic in relation: “No longer inert and passive, the structure of the empirical itself generates the form of representation that will account for it. Here, evolutionary epistemology and ultimately natural history provide the explanatory fulcrum for explaining the relation between empirical fact and theoretical form.” [Pg: 140] We will then see how Badiou proposes to distance himself from naturalism while endorsing the rejection of any foundational ambitions by philosophy’s appeal to a realm of a prioricity. Badiou will reject integrating the sciences into the cognitivist evolutionary guise in which the neurocomputational processes model all scientific representation, and will insist on affirming the irreducible plurality of scientific practices and their discontinuous historicities. Subtracted from the guise of evolutionary history, Brassier nonetheless considers that this aversion to biology appears to overstep the properly Darwinian subversion of cleavage between natural and cultural history which Badiou seems resistant in accepting. But this shall not occupy us for now (we in fact know this is part of what motivates Brassier’s to challenge Badiou’s own subtractive ontology at the point where it lays credence to thought’s disruptive exclusive rights to evental change (arbitrarily allowing subjective decision to mediate between the grounded ontological presentation from the forced non-ontological presentation).
The Concept of Model
Let us proceed to examine Badiou’s reconstruction of the concept of model. For brevity’s sake, we will reconstruct the concept of model in its three essential components:

1)
Formal system (syntactical aspect):
- Finite set of symbols
- Logical operators (negation and implication)
- Individual constants (a, b, c)
- Predicates (P, Q, R)
- Variables (x, y, z…)
- Quantifiers: (Universal, Existential)
- Rules of formation
- Rules of deduction (generalization, separation)
- A list of axioms
2) Structure
- Domain for interpretation (non-empty set V)
- Marks (true/demonstrable, false/non-demonstrable)
3) Rules of correspondence (semantic aspect)
- Correspondence function F mapping individual constants to some element of V, and predicative constants, to some subset of V.
From the syntactical giveness of axioms and rules of deduction one can derive theorems, but it is a requirement that there be at least one expression in the system which is not a theorem (directly deducible from the axioms), to avoid the redundancy of the rules of deduction and ensure the consistency of the system. Next, to establish that the formal system gives a specific deductive structure the rules of correspondence map expressions of the system to expressions which belong to the well defined domain for interpretation. Because semantics deals with these rules, it is defined extensionally. With this in place, the basic requirement for the construction of the concept of model can be given: a model is a formal system for which every deducible expression (theorem) corresponds to a ‘true’ statement in the domain of interpretation. Recall that the label ‘true’ is intended to merely mean ‘demonstrable’, and so it doesn’t carry any additional baggage: it is a mere functional operation of the system. Thus, if all deducible expressions in the system correspond to a true statement on the domain of interpretation the latter is a model for the system. [Pg: 141]
Scientific theory demands consistency, its experimental aspect demands the examination and building of concrete models. So scientific apparatuses are tools for such model building, the formal system is constrained by the model it uses to test the rules of correspondence (on which furthermore the consistency of the system depends) and the syntactical rules, and their interplay is the scientific practice as such. On the tripartite structure of formal systems, Brassier makes three remarks:
1) The specificity of the domain of objects must be defined in a concrete set of objects, which establishes it within mathematics, and thus renders possible the scientific eligibility of semantics.
2) The requirement that the number of symbols be finite means they are denumerable using whole numbers. Every well formed expression needs to have a denumerable number of indecomposable terms. Here the reclusiveness is not to set-theory, but to arithmetic: ’One establishes oneself in science from the start. One does not reconstitute it from scratch. One does not found it.’’
3) There is a crucial distinction between:
-Logical axioms – depending uniquely on the logical connectives and unaffected by the substitution of fixes constants in it.
-Mathematical axioms – Singularizes at least one of the fixed constants by separating it from at least one other. It is thus sensitive to substitution.
We can thus explain the construction of a model as follows: by the set-theoretical of the structure/domain of interpretation and the correspondence function F, one defines the validity and invalidity of a well formed expression of the system relative to the structure. Next, one specifies under what conditions a structure is a model for the system by establishing a correspondence between syntactic deducibility (an expression A is a theorem of the system) and semantic validity (that A is valid for a, the, or every structure). Then we can define a closed instance of expression A when all of its free variables have been replaced by fixed constants: A (a/x), (b/y), (c/z). [Pg: 142-143]
In turn, Validity is defined thus: expression A is valid for a structure if for every closed instance A’ of A, one gets A’ = True[3]. If the axioms of the system are valid for a structure, it will follow the theorems are likewise valid. So via the correspondence function F we can go from deducible theorem to the idea of validity for structure. Finally the concept of model is defined as follows: “A structure is a model for a formal theory if all the axioms of that theory are valid for that structure.” [Pg: 143]

Logical axioms are valid for every structure, mathematical axioms only for particular ones. Logic is thus equivalent for the structural operational consistency, and mathematics differentiates between types of structure. Logic itself is doubly articulated between the syntactic and semantic elements of the system: the axioms are modified for structures and the opposite as well in the experimental construction of logical systems. It follows that a purely logical system has no semantic indication of its models, since it can singularize any as validating it in distinction from other structures and becomes thus equivalent to structure as such. Therefore, mathematical axioms provide the differentiating power in a formal theory for individuation wherein the concept of model becomes relevant or indeed possible, since it is only when a structure is a model but another isn’t that a gap between the syntactic logical machinery and the structural domain can be cashed out in terms of which axioms are logical (purely syntactic) and which are on the other hand mathematical (sensitive to substitution); the former index the unity of the system and structure, the latter their difference. Models are thus centrally constructed around the “…differentiating power of logico-mathematical system.”

“Thus the concept of logic neither transcends nor subsumes mathematics; it remains inseparable from the couple which it forms with the latter. The contrast between the logical and the mathematical is a syntactical redoubling of the semantic distinction between structure and model.” [Ibid]
Experimentation and demonstration
Because the nature of the scientific activity finds itself split within mathematics between experimentation (building systems and models) and demonstration (testing structural validity for systems) in the dual interplay between set-theory and recursive arithmetic, it is misleading to think that the concept of model implies a relation between thought and its empirical exteriority. Structures are only domains for interpretation for systems in accordance to the syntactical axiomatic (syntactic) and the set-theoretical definition of rules for correspondence (semantics) which remain intrinsic to mathematics; arithmetic and set-theory in an endless interplay which is experimentation.
The arithmetic inscription into natural whole numbers stratifies the differences for the experimental practice, allows order and inductive numbering within the parameters for validity established within the system’s syntactic stricture. The concept of structure on the other hand regulates the usage of the experimental operations as produced by set-theory, concretely classifying the mathematical material according to rules of correspondence. It is thus the unified interplay between arithmetic and set theory which regulates the interplay of syntactic and semantic strictly within the mathematical discourse. From this, Badiou concludes the double illegitimacy of logical empiricism [Pg: 144]:
1) The notional distinction between formal syntactic and formal semantics ideologically coats the fundamental interplay of arithmetic and set-theoretical material which is strictly intra-mathematical.
2) The notion encoding the relation model to system as that between empirical fact and formal theory fails to register how the interplay between the modelling of structure serves also as an experimental basis to test/revise the formal system itself. It is thus incapable of distinguishing, as we saw, between the dual interplay which leads to cognitive production from merely technical regulation, where models must ‘conform’ to the underlying principles of the theory. This is especially true in cases where the domain of interpretation serving as structure is not yet entirely formalized in mathematics and so not prone to semantic correspondence by a syntactical system, which leads to transformations within the system.
Thus, against its standard ideological envelopment of scientific modelling, science does not proceed from theory to model or system to structure, at least not necessarily. The directionality is reversible and constitutes the constant interplay of scientific experimentation and production. The historical becoming of production in mathematics is thus not the testing of a theory for a model, but the specification of theories to account for the existing plurality of structures by devising an appropriate formal/syntactic means of inscription. The conceptual demonstrations in a given structure are thus to be inscribed formally into an appropriate syntax; which renders the idea that the model is a mere means for confirmation of the theory obsolete:
‘‘It is precisely because it is itself a materialized theory, a mathematical result, that the formal apparatus is capable of entering into the process of the production of mathematical knowledge; a process in which the concept of model does not indicate an exterior to be formalized but a mathematical material to be tested.” [Pg: 144]
So the system is formalized by the syntactical inscription of the model: semantics does not concern the modelling of the empirical by the formal, but the productive inscription of structural conceptuality into the axiomatic of a formal system, a procedure which amounts to experimental verification of the demonstrative model:
“[T]he philosophical category of effective procedure, of what is explicitly calculable through a series of unambiguous scriptural manipulations, lies at the heart of all mathematical epistemology. This is because this category distils the properly experimental aspect of mathematics, that is to say, the materiality of its inscriptions, the montage of notations. Mathematical demonstration is tested [
s’e´prouve] through the rule-governed transparency of inscriptions. In mathematics, inscription represents the moment of verification.” [Ibid]
Verification is a means of formalization: demonstration and formalization are knit in their mutual implication.
The Historicity of Mathematical Production
Badiou seeks to construct a category of model which can describe within a dialectical-materialist framework the historicity of scientific practice. Materialism, Brassier underlines, is not to be understood in the vulgar sense of an appeal to substantial ‘matter’, but simply as an index of differential stratification of the pure multiple in objectified domains within a formal system. This is what, for Badiou, amounts to a sort of ‘discursive materiality’ or ‘scriptural materiality’, as Brassier calls it. These are thus irreducible to one scriptural domain, or to the order of a signifying operation; it attests to the formal differentiating capacity of logico-mathematical scripture which transforms itself within mathematical productivity, thereby eradicating the primacy of the object or the world proper to empiricism:
“[T]here is no subject of science. Infinitely stratified, adjusting its transitions, science is a pure space, without a reverse or mark or place of what it excludes. It is foreclosure, but foreclosure of nothing, and so can be called the psychosis of no subject, hence of all; fully universal, shared delirium, one only has to install oneself within it to become no-one, anonymously dispersed in the hierarchy of orders. Science is an Outside without a blind-spot.”
So science can stand outside the domain of ideology not because its subject penetrates into the hard core of reality or a realm of transcendent objects, but simply because of the axiomatic differential stricture of mathematics which proceeds without concern for its object, which stratifies pure multiplicities and for which the procedure of experimentation is precisely mobilized insofar as it subverts the very formal stricture in which conceptually determined structures are modeled and inscribed. There are no formal systems without recursive arithmetic and no rigor for experimental protocols without set-theory. This productivity renders science an essentially differential, rather than primordially representational activity, in the dialectic of demonstration and experimentation. A great example here is Gödel’s proof of the consistency of a model for axiomatic set-theory along the coherent integration Axiom of Choice and the Continuum Hypothesis, which does not transform the theory as much as the status of the theory in scientific historical production. So the constant sublation of a system presenting it retroactively as a model for a new experimental production organizes the dialectical movement of science:
“In the history of a science, the experimental transformation of practice via a determinate formal apparatus retrospectively assigns the status of model to those antecedent instances of practice. Conversely, conceptual historicity, which is to say the ‘‘productive’’ value of formalism, derives both from its theoretical dependency as an instrument and from the fact that it possesses models, i.e., that it is integrated into the conditions of the production and reproduction of knowledge.” [Ibid: Pg, 144]
So finally, we can say that Badiou thinks of the materialist category of model as designating the retrospective causality in formalism, in the connection between an object (model) and a usage (system). It modifies its internal systemic conditions to then be capable of registering a structure as being a model for the system. This perpetual movement of science along with its structural breaks and discontinuities can be rendered transparent without recourse to para-theoretical notions of ‘paradigm-shifts’ or anything of that sort: ‘‘Science is precisely that which is ceaselessly cutting itself loose from its own indication in re-presentational space [i.e., ideology]…. ‘‘[T]here are no crises within science, nor can there be, for science is the pure affirmation of difference.’’’’.

[1] BRASSIER, Ray, Badiou’s Materialist Epistemology of Mathematics, Angelaki Volume 10, Number 2, 2005, Pg135-152,
[2] Namely, in his article The Dialectical (Re)Commencement of mathematics (1966), and in his work on The Concept of Model (1969).
[3] I am here unsure about why A must be valid for every closed instance and not just some instance for the structure (for example the expression ‘all monkeys eat bananas’ may be verifiable for some terms in a structure which includes some monkeys and other animals too, so the statement seems valid for those closed instances in which the substitution is by those fixed constants which are monkeys, i.e. True for the structure).

2 comentarios:


Anónimo dijo...
Great write up. Certainly reinforced that I have to read "The concept of Model" as well as Brassier's review. With respect to footnote three, logical validity means true for every interpretation. That is, the truth of a valid formula is formal and thus we can substitute any constant for its variables and it remains true. For example, letting (x) denote "for all x", (x)(f(x) -> f(x)) will be valid since there is no possible model in which it would be false. "All monkeys eat bannanas" would not be logically valid, assuming its logical form to be (x)(Monkey(x) -> EatsBannanas(x)). This formula would be false in a model with domain {a,b,c,d} where Monkey = {a,b} and EatsBannanas = {c,d}.