Δευτέρα, 31 Ιανουαρίου 2011

Πέμπτο Μάθημα Badioumathematics:Τι είναι "generic"

Μια από τις έννοιες κλειδί στα Badioumathematics  είναι η έννοια του generic. .Ο  όρος δημιουργεί μερικά μεταφραστικά προβλήματα, καθώς από τους προερχόμενους από τις ανθρωπιστικές επιστήμες μεταφράζεται ως «γενολογικός» ενώ από δε τους  μαθηματικούς ως «γένιος».  Ο ίδιος όρος  χρησιμοποιείται από την φαρμακολογία όπου έχει αποδοθεί  με τον νεολογισμό «γενόσημο». Στην φαρμακολογία λοιπόν ,αφορά τα φάρμακα που παράγονται με μόνο χαρακτηριστικό την ενεργό ουσία τους, χωρίς αναφορά σε ιδιοκτησιακά δικαιώματα της πατέντας του φαρμάκου.
Σε  όλες τις περιπτώσεις το generic είναι ένα επίθετο που προσδιορίζει κάτι και την σχέση του με το «γένος» του , η οποία, όμως , είναι η απλούστερη δυνατή, ίσα ίσα για να διατηρηθεί αυτή η σχέση γένους. Το φάρμακο είναι το πιο απλό παράδειγμα.
Ένα generic φάρμακο έχει μόνο τα χαρακτηριστικά που απαιτούνται για να είναι δραστικό, και αυτό προφανώς είναι η δραστική ουσία του. Αν η ασπιρίνη έχει ως δραστικό χαρακτηριστικό το ακετυλοσαλυκιλικό  οξύ, τότε όποιο παυσίπονο έχει μόνο αυτήν την ουσία, χωρίς άλλες αναφορές στην εμπορική ονομασία, το πακέτο, τα πνευματικά δικαιώματα, κλπ της ασπιρίνης τότε αυτό είναι generic .
Είδαμε σε προηγούμενο μάθημα πώς τα μαθηματικά του Cohen και η έννοια του forcing (εκβιασμός , παραβίαση) γίνονται κατανοητά μέσω του παραδείγματος του κλειστού δωματίου  και ποια είναι η συμβολή αυτού του μαθηματικού προβληματισμού στην θεωρία του ΑΒ.
Τα ίδια μαθηματικά του στηρίζονται στην έννοια του generic.
Το generic όμως ορίζεται με ένα διαφορετικό και πιο αυστηρό τρόπο από ότι με τα φάρμακα.
Έχοντας δει τα βασικά μαθήματα για τα σύνολα, τότε τα βήματα του Cohen είναι σχετικά απλά και κατανοητά.
Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα σύνολο με άπειρα στοιχεία.Ταυτόχρονα έχουμε την δυνατότητα να δημιουργούμε υποσύνολα αυτού του συνόλου με βάση ένα απλό διατυπωμένο κριτήριο .
Αν πάρουμε το αρχικό παράδειγμα ενός άπειρου συνόλου που όμως περιέχει τα γνωστά σε εμάς στοιχεία Κώστας, Ελένη ,Ανδρέας. Τότε  ας υποθέσουμε ότι έχουμε το κριτήριο ποια στοιχεία του συνόλου έχουν Ελληνικά Ονόματα. Τότε με βάση το κριτήριο αυτό το υποσύνολο αυτό είναι προσδιορίσιμο.
Το πείραμα είναι απλό.
Προσπαθούμε να δημιουργήσουμε υποσύνολα, με βάση ένα απλό κριτήριο , το  οποίο είναι σαφές γλωσσικά και απαντάται με ένα ναι όχι
Στο παράδειγμα μας
Κριτήριο : Τα μέρη του υποσυνόλου έχουν Ελληνικά Ονόματα ναι ή όχι;
Απάντηση: Ναι το υποσύνολο (Κώστας, Ελένη,Αντρέας) έχουν ελληνικά ονόματα.
Αν πάρουμε ένα σύνολο με άπειρα στοιχεία τότε μπορούμε να φανταστούμε ότι αυτά μπορούν να προέρχονται από μια επιλογή μέσω ενός τέτοιου κριτηρίου. Δημιουργούμε άπειρα υποσύνολα με ένα τρόπο επιλογής.
Έρχεται τώρα ο mr.Cohen και αναρωτιέται.
-Υπάρχει περίπτωση να υπάρχουν υποσύνολα για τα οποία δεν μπορεί να έχει προυπάρξει κανένα γλωσσικό κριτήριο προεπιλογής;  Με άλλα λόγια
-Υπάρχουν υποσύνολα για τα οποία η γλώσσα δεν μπορεί να διατυπώσει ένα νόμο, ένα τρόπο «συλλογής» των στοιχείων τους;
Τότε βασιζόμενος σε αυστηρά μαθηματικά και σεβόμενος όλους τους κανόνες της λογικής, μας αποκαλύπτει πως ναι   τέτοια υποσύνολα υπάρχουν στο μαθηματικό σύμπαν. Αυτά τα υποσύνολα ονομάζονται generic.
Αν δούμε το παράδειγμα των φαρμάκων, τα υποσύνολα αυτά σύμφωνα με το κριτήριο του Cohen ΔΕΝ είναι generic γιατί έχουν την ελάχιστη σχέση με το αρχικό σύνολο τους, αλλά αυτή η σχέση έχει τουλάχιστον ένα γλωσσικό προσδιορισμό.
Στα μαθηματικά λοιπόν τα generics σύνολα  υπάρχουν . Σύμφωνα όμως με την οντολογία του ΑΒ ότι υπάρχει στα μαθηματικά υπάρχει και στην πραγματικότητα.
Το συμπέρασμα είναι ότι η γλώσσα δεν είναι δυνατόν να προσδιορίσει κάτι που είναι υπαρκτό, και διέπεται από νόμους αυστηρούς νόμους λογικής. Η αδυναμία της γλώσσας δεν είναι αγνωστικισμός. Τα generic υποσύνολα υπάρχουν , για αυτό είμαστε σίγουροι !, η απόδειξη του Cohen είναι στέρεα , άρα έχουμε μια λογική συνεκτική απόδειξη ότι η γλώσσα δεν μπορεί να ορίσει εκ των προτέρων  όλη την  πραγματικότητα.
Τα generics σύνολα του Cohen είναι μια άλλη απόδειξη , ότι η Αλήθεια και το Συμβάν του ΑΒ, που προέρχονται αναδύονται από την απτή πραγματικότητα, δεν μπορούν να περιγραφούν εκ των προτέρων με την γλώσσα, αλλά αυτό δεν είναι παραδοξότητα, δεν είναι αδυναμία, δεν είναι αγνωστικισμός. Τα generics  σύνολα υπάρχουν   άρα γνωρίζουμε με τρόπο απλό λογικό, μαθηματικό, αποδεδειγμένο, τους περιορισμούς της γλώσσας. Ταυτόχρονα  μέσω των generics, όπως και με την έννοια του forcing , δηλαδή μέσω μιας μαθηματικής γλώσσας και μέσω αυστηρών ορισμών μπορούμε να προσπελάσουμε κάτι που είναι εκτός μιας απλής μηχανιστικής ανάλυσης, να περιγράψουμε αυστηρά το αναπάντεχο, ριζικά νέο, ιστορικό Συμβάν και την Αλήθεια που αναδύεται μαζί του.

Τετάρτη, 26 Ιανουαρίου 2011

Κριτική για το Concept of Model

Στο σύνδεσμο που ακολουθεί σύνδεση με κριτική για το πρώιμο (1966) Concept of Model
Περιέχει πολλά χρήσιμα στοιχεία για τα Badioumathematics


Math matters "on alain badious concept of model"

Δευτέρα, 17 Ιανουαρίου 2011

Badiou for idiots! στο Facebook

Facebook group:Badiou for Idiots

Τα μαθήματα του Public School New York για το Being and Event

Η σχετική ανακοίνωση με πλήθος παράπλευρες αναφορές εδώ

Τι είναι Generic Democracy

Εδώ ένα σημείωμα για την έννοια της Generic Democracy

Μια εφαρμογή των Badioumathematics στην Αρχιτεκτονική

Εδώ ένα σημείωμα για εφαρμογή της έννοιας του generic στην Aρχιτεκτονική

Τα Badioumathematics ως μοντέλα ανάλυσης της Φιλοσοφίας του Δικαίου

Εδώ μια ερεθιστική απόπειρα μεταφοράς όλων των μαθηματικών μοντέλων και όρων των Badioumathematics στην φιλοσοφία του Δικαίου!!!

A.Badiou:Generic, Set Theory

Εδώ μια συνέντευξη με διακριτές αναφορές στην έννοια του Generic

Generic Set

O όρος generic είναι βασικός στα Badioumathematics
Ενα επεξηγηματικό κείμενο εδώ

Παρασκευή, 14 Ιανουαρίου 2011

Απλά μαθήματα Badioumathematics για αρχαρίους και μη μαθηματικούς.Μάθημα τέταρτο :P Cohen ,Forcing,Συμβαν

Είδαμε στα προηγούμενα μαθήματα κατά σειρά
  • Απλά στοιχεία της θεωρίας συνόλων
  • Το πώς βασικές έννοιες της θεωρίας αυτής αξιοποιούνται από τον ΑΒ
  • Και πως ο ΑΒ διατυπώνει πολιτικές θέσεις με την βοήθεια της γλώσσας των μαθηματικών.
Τώρα μπορούμε κάτι πραγματικά πρωτότυπο, κάτι από  ότι  γνωρίζω δεν έχει ξαναγίνει ποτέ.
Μέχρι τώρα η φιλοσοφία, διατυπώνει και διερευνά θέσεις,  δημιουργεί έννοιες και διατυπώνει προβλήματα. Ο ΑΒ όμως κάνει την εξής σύνθεση.
Διατυπώνει τα φιλοσοφικά του θέματα , τα μετατρέπει σε μαθηματική γλώσσα, και διαπιστώνει ότι αυτά τα ζητήματα έχουν λυθεί ως μαθηματικά προβλήματα. Με δεδομένη την μαθηματική λύση , «επανέρχεται» στην φιλοσοφία και αναδιατυπώνει τα ζητήματα.
Ας το  πούμε απλά. Ξέρουμε ότι 1+1 = 2. Αν ένας έχει ένα φιλοσοφικό ζήτημα το οποίο θα μπορούσε να μετασχηματιστεί στην ερώτηση «πόσο κάνουν ένα και ένα;» .Θα μπορούσαμε λοιπόν αφού έχουμε δεδομένη την λύση  το μαθηματικό πρόβλημα, να μετασχηματίσουμε το ζήτημα ανάποδα και να  διατυπώσουμε την φιλοσοφική απάντηση. Η διαδικασία είναι χοντρικά η εξής
Διατύπωση του ζητήματος, μετασχηματισμός σε μαθηματικό πρόβλημα, λύση μέσω μαθηματικών, αντίστροφος μετασχηματισμός , και αναδιατύπωση του ζητήματος .
Βέβαια δεν είναι τόσο απλό, αλλά η βασική αρχή είναι αυτή.
Ο ιδιοφυής λοιπόν ΑΒ , βρίσκει μια προέκταση της θεωρίας των συνόλων, τις μελέτες του μαθηματικού P.Cohen , και ανακαλύπτει ότι σε αυτή την  μαθηματική  θεωρία, ουσιαστικά είναι μετασχηματισμένος όλος ο προβληματισμός του για δύο βασικά προβλήματα που τον απασχολούν. Το ζήτημα της Αληθείας και του Συμβάντος.
Ο ΑΒ ισχυρίζεται ότι ο μαθηματικός P.Cohen , εν αγνοία του, έχει λύσει ένα θεμελιακό φιλοσοφικό πρόβλημα στο μαθηματικό επίπεδο, μέσω μιας σειράς μαθηματικών αποδείξεων.
Φαίνεται ίσως πολύ φορμαλιστικό, αλλά δεν είναι. Αυτό γίνεται γιατί τα μαθηματικά του Cohen δεν είναι τα  υπολογιστικά μαθηματικά που χρησιμοποιούν στην οικονομία και τις πολιτικές επεκτάσεις της, αλλά  τα μαθηματικά του Cohen είναι πολύ ενδιαφέροντα μαθηματικά αφαίρεσης και λογικής.
Ωστόσο τα ζητήματα αυτά δεν είναι και τόσο δυσνόητα αρκεί να παρακολουθήσουμε μερικούς απλούς ορισμούς και συλλογισμούς. Ας δούμε τώρα πως γίνεται αυτή η τοποθέτηση ο μετασχηματισμός και η αναδιατύπωση.
Θα είναι πολύ πιο εύκολο αν προσπαθήσουμε να δούμε τα αρχικά τα μαθηματικά του Cohen  με μερικά απλά παραδείγματα.
Ας υποθέσουμε ότι ευρίσκεσαι σε ένα θεόκλειστο δωμάτιο  με διάφορα αντικείμενα .Έχεις πληροφορίες μόνο για τα αντικείμενα στο εσωτερικό του δωματίου τα οποία είναι αμέτρητα. Το πρόβλημα τίθεται κατά πόσο μπορείς να καταλάβεις ποια αντικείμενα ευρίσκονται εκτός δωματίου μόνο με την γνώση που έχεις για τα άπειρα αντικείμενα του δωματίου .Και προσπαθείς  να καταλάβεις  τι αντικείμενο  υπάρχει εκτός. Προφανώς δεν  μπορώ να το μάθεις  ποτέ. Υπάρχει όμως ένα ζήτημα. Με ποιο τρόπο μπορώ να διατυπώσω τις ερωτήσεις μου έτσι ώστε , τουλάχιστον η αναζήτηση μου να έχει την μεγαλύτερη πιθανότητα να απαντηθεί. Τα μαθηματικά του Cohen ουσιαστικά περιορίζουν ,και συστηματοποιούν τις δυνατές ερωτήσεις  που τίθενται στο λογικό αυτό πρόβλημα.
Ξαναπάμε στο παράδειγμα. Είμαι στο δωμάτιο  άπειρα αμέτρητα αντικείμενα μεταξύ δε  μια καρέκλα και ένα τραπέζι και μου ζητάνε να διατυπώσω ερωτήσεις για το ποια αντικείμενα είναι έξω από το δωμάτιο με τον πιο αποτελεσματικό τρόπο.
Ο οποιοδήποτε λογικός άνθρωπος θα άρχιζε να φαντάζεται και να ρωτάει
-Υπάρχει μια καρέκλα;
-Υπάρχει ένα τραπέζι;
Ο κατάλογος αυτός όμως είναι αμέτρητος και θα αρχίζεις να ρωτάς άπειρες φορές αναμένοντας μια απάντηση ναι όχι.
Τι γίνεται όμως με αντικείμενα που δεν γνωρίζω; Πως θα ρωτήσω;
Χμ, δύσκολο.
Μπορεί να κάνω όμως μια πονηρή ερώτηση ως εξής
Υπάρχει έξω ένα αντικείμενο που δεν γνωρίζω , για το οποίο υπάρχει μια ασφαλής μέθοδος να μου απαντήσετε ναι ή όχι;
 Η ερώτηση είναι πολύ πονηρή, γιατί δεν ζητάω το αντικείμενο απ’ ευθείας , αλλά μετατρέπω την ερώτηση για ένα αντικείμενο σε ερώτηση για μια συνθήκη ύπαρξης του αντικειμένου.
Για να μη χάσουμε τον λογαριασμό, είπαμε  ότι  το ζήτημα μας είναι να κριθούμε κατά πόσο κάνουμε ερωτήσεις που θα μας δώσουν την καλύτερη προσέγγιση για κάτι που δεν μπορούμε να ξέρουμε.
Δες τώρα τι κάνει η πονηρή ερώτηση: Μεταθέτει το ζήτημα του άγνωστου αντικειμένου σε μια ερώτηση για μια προϋπόθεση , μια συνθήκη του αντικειμένου, η οποία μπορεί να απαντηθεί και να γίνει κατανοητή με βάση όσα ξέρω από τον εγκλεισμό μου στο δωμάτιο. Με απλά λόγια εκβιάζουμε την απάντηση ,μέσω μιας συνθήκης. Αυτό είναι το περίφημο forcing  (εκβιασμός, παραβίαση )που δημιούργησε ο Cohen  και υιοθέτησε ο ΑΒ.
Αν κοιτάξουμε προσεκτικά οι ερωτήσεις μέσω εκβιασμού είναι πολύ πιο αποτελεσματικές από τις αρχικές ,και σαφώς κερδίζουν στο μικρό κουίζ.
Εδώ όμως αρχίζει το τρομερό ενδιαφέρον.
Τα μαθηματικά του Cohen  με τα άγνωστα αντικείμενα, τις περίεργες διατυπώσεις, και τους εκβιασμούς μας λένε τελικά πως αυτό που είναι τελείως άγνωστο, δεν είναι ασυνάρτητα άγνωστο, δεν είναι τελείως μη προσπελάσιμο. Επίσης μας λένε ότι υπάρχουν αποδεδειγμένα τρόποι που μπορούμε να έρθουμε σε επαφή με αυτό το άγνωστο.
Αυτά τα παιδικά κουιζ που κάναμε, αντιστοιχούν σε εκατοντάδες σελίδες μαθηματικές αποδείξεις , και δεν είναι τόσο απλοϊκά. Αλλά σύμφωνα με τον ΑΒ  γεφυρώνουν ένα τεράστιο χάσμα μεταξύ σκέψης και γνώσης.
Ας ξαναθυμηθούμε με ένα απλό κουίζ καταλάβαμε πως το εκάστοτε άγνωστο δεν είναι στατικά άγνωστο αλλά μέσω ενός «εκβιασμού» μπορεί να γίνει λιγότερο άγνωστο. Επίσης όλα αυτά γίνονται αποδεικτέα μέσω των αυστηρών μαθηματικών του Cohen.
O  AB ως πολιτικός φιλόσοφος κάνει την εξής  αναλογία.  Αν με τα μαθηματικά αποδεικνύω ότι τελικά υπάρχει πάντα μια λογική σύνδεση γνωστού αγνώστου, τότε η θεωρία για τα μεγάλα αναπάντεχα κοσμοιστορικά συμβάντα μπορεί να τοποθετηθεί αλλιώς. Κάθε πραγματικά αναπάντεχο, άγνωστο ,απρόβλεπτο , μη κατανοητό   Συμβάν έχει μια βαθύτερη σχέση με την πραγματικότητα που το γέννησε ,αλλά προσοχή αυτή η σχέση δεν είναι μηχανική αιτίου αιτιατού.
Ας ξαναγυρίσουμε στο παράδειγμα μας.
Αν οι απλοϊκές πρώτες (υπάρχει τραπέζι , υπάρχει καρέκλα) ερωτήσεις ήταν ικανές να λύσουν το κουίζ , τότε η σχέση του αναπάντεχου Συμβάντος  με την πραγματικότητα θα ήταν καθαρή απλή γραμμική. Το Συμβάν θα ήταν στατιστικά , μηχανικά προβλέψιμο.
Όμως είδαμε ότι η λογική σχέση γνωστού αγνώστου θεμελιώνεται μαθηματικά από μια «πονηρή ερώτηση» ένα συλλογισμό που μεταθέτει το ερώτημα υπάρχει δεν υπάρχει , σε ένα ερώτημα «επαληθεύεται ή όχι μια συνθήκη». Έτσι και το αναπάντεχο συμβάν είναι πάντα αναπάντεχο άγνωστο απροσπέλαστο, αλλά διατηρεί αυστηρά  λογικές και δομημένες σχέσεις με την προ συμβάντος πραγματικότητα που μπορούν να περιγραφούν με τα μαθηματικά του P.Cohen.
Βλέπουμε λοιπόν πως το Συμβάν στον ΑΒ δεν είναι ένα θαύμα αλλά δεν είναι και ένα φυσικό φαινόμενο. Είναι  μυστηριώδες αλλά και λογικά προσπελάσιμο.
Για τον Cohen όμως θα τα ξαναπούμε σε άλλο μάθημα.

Πέμπτη, 13 Ιανουαρίου 2011

Απλά μαθήματα Badioumathematics για αρχαρίους και μη μαθηματικούς.Μάθημα τρίτο,τι αντιπροσωπεύει μια μαθηματική-πολιτική εξίσωση

Είδαμε λοιπόν ότι η διάκριση «ανήκω» και «εμπεριέχομαι» είναι πολύ μεγάλη αλλά ταυτόχρονα  κρυμμένη συνεχώς. Στην γλώσσα της θεωρίας συνόλων  το ανήκω και το περιέχομαι αναγράφονται με διαφορετικό σύμβολο .Πρέπει  όμως  κάθε φορά που έχουμε μια συλλογή να την βλέπουμε και ως στοιχεία που ανήκουν σε αυτή και   ως υποσύνολα που περιέχονται.
Στον ΑΒ αυτή η διάκριση γενικεύεται και δημιουργεί ένα από τα θεμέλια της πολιτικής του σκέψης.
Η γενίκευση ίσως γίνεται  κατανοητή με ένα απλό παράδειγμα
Έχουμε την συλλογή του προηγούμενου μαθήματος των τροφίμων του Σουπερ Μάρκετ. Τα τρόφιμα κατά την συλλογή τους είναι στοιχεία αλλά κατά την καταμέτρηση τους στο ταμείο είναι υποσύνολα. Τα τρόφιμα είναι τα ίδια ,δεν αλλάζουν εκείνο που αλλάζει είναι ο τρόπος που τα αντιμετωπίζουμε ως συλλογή.  είναι μια συλλογή με γνωστά στοιχεία που ευρίσκεται μπροστά μας, άλλη είναι η ίδια συλλογή όταν την επεξεργαζόμαστε. Στην πρώτη περίπτωση βλέπουμε στοιχεία που της ανήκουν, στην δεύτερη επεξεργαζόμαστε υποσύνολα που επεξεργαζόμαστε.
Τότε μπορούμε να πούμε ότι τα τρόφιμα «παρουσιάζονται» ως στοιχεία και «αναπαρίστανται» ως υποσύνολα. Η καταμέτρηση στο ταμείο είναι μια διαχείριση αυτών  των στοιχείων που «παρουσιάζονται»  ως συλλογή δηλαδή «ανήκουν» σε μια συλλογή.
Σύμφωνα με τον ΑΒ το να «ανήκεις» σχετίζεται με την παρουσία, το να «εμπεριέχεσαι» σχετίζεται με την αναπαράσταση.
Η  κλασσική περίπτωση όπου ο ΑΒ χρησιμοποιεί τις έννοιες αυτές είναι  η ανάλυση του για το κράτος.
Για να δούμε αυτήν την ανάλυση ,ας επαναλάβουμε
Τα πάντα μπορούν μα ειδωθούν ως συλλογές, και όλες οι συλλογές είναι ταυτόχρονα συλλογές στοιχείων ( τα οποία ανήκουν)  και συλλογές υποσυνόλων ( τα οποία περιέχονται).
Σύμφωνα με την γενική πεποίθηση το κράτος αναφέρεται σε άτομα και πολίτες και ρυθμίζει τις σχέσεις τους. Αν όμως σκεφτούμε τους πολίτες ως στοιχεία ενός συνόλου, τότε ξέρουμε από την θεωρία συνόλων ότι ταυτόχρονα αυτοί γίνονται  πολλαπλάσια υποσύνολα , δηλαδή γίνονται περιεχόμενα που μπορούμε να διαχειριστούμε. Αν σε ένα κράτος πχ ανήκουν τρεις πολίτες όπως είδαμε και στο παράδειγμα του πρώτου μαθήματος τα υποσύνολα είναι πολλά περισσότερα.
Ο ΑΒ λοιπόν μας λέει ότι το κράτος λειτουργεί, διαχειρίζεται, επεξεργάζεται, αναφέρεται όχι σε στοιχεία αυτού του συνόλου, αλλά στα υποσύνολα.  Όπως έχουμε πει και στο πρώτο ότι ο αριθμός των υποσυνόλων είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό των στοιχείων. Πχ σε κράτος με τρεις πολίτες (Κώστας , Ελένη, Ανδρέας) το κράτος διαχειρίζεται τους τρεις ατομικά (Κώστας, Ελένη, Ανδρέας)  αλλά και τους συνδυασμούς τους πχ (Κώστας-Ελένη, Ελένη –Ανδρέας, Κώστας –Ανδρέας, τον τριπλό συνδυασμό Κώστας-Ελένη-Ανδρέας κλπ) .Το κράτος λοιπόν είναι «αναπαράσταση» και το κατανοούμε με  όρους  «περιεχομένου» και δεν είναι «παρουσίαση» την οποία κατανοούμε με  όρους του «ανήκω». Επειδή το κράτος διαχειρίζεται υποσύνολα και όχι στοιχεία, τότε αυθαίρετα ομαδοποιεί, ταξινομεί . Αυτό που ο Μαρξ ανακάλυψε ότι το κράτος είναι το κράτος μιας τάξης, γίνεται τώρα κατανοητό (ελπίζω) από μια μαθηματική οπτική. Οι τάξεις του Μαρξ γίνονται κατανοητές ως υποσύνολα. Κράτος σημαίνει  διαχείριση υποσυνόλων ,ομάδων , συσπειρώσεων, αλλά και ατόμων νοουμένων ως υποσύνολα. Κράτος  δεν σημαίνει μόνο διαχείριση ατόμων ως στοιχείων.
Αν υποθέσουμε ότι αυτή η θεώρηση του ΑΒ είναι ορθή τότε καταλαβαίνουμε ότι μπορούμε να αναλύσουμε όλα τα ζητήματα της πολιτικής και του κράτους ,αφού πρώτα τα αποτυπώσουμε με τα μαθηματικά σύμβολα της θεωρίας των συνόλων.
Για να το κάνουμε το ζήτημα κάπως πιο παραστατικό και ανεκδοτολογικό παραθέτω μια «πολιτική»  εξίσωση του ΑΒ  σε  μαθηματική γλώσσα.
π(π(ε))→1
Στην εξίσωση το  Π σημαίνει πολιτική λειτουργία , ε σηματοδοτεί ως ένας ειδικός αριθμός (άπειρος πληθικός)  την υπερβάλλουσα ισχύ του κράτους και το 1 την ισότητα. Το νόημα της εξίσωσης είναι ότι η πολιτική για να επιτύχει  μια πολιτική ισότητας τότε αυτή πρέπει να γίνει σε δύο στάδια. Κατ’ αρχάς η πολιτική να ασκηθεί σε απόσταση από το κράτος π(ε) και αφού δημιουργηθεί αυτό το χάσμα τότε η πολιτική που περιλαμβάνει αυτό το χάσμα π(π(ε)) θα οδηγήσει στην ισότητα 1
Προφανώς είναι αδύνατο τώρα να εξηγήσουμε σε ανάλυση το ακριβές νόημα των συμβόλων και την αντιστοιχία τους , γιατί περιλαμβάνει μερικές πιο σύνθετες έννοιας της θεωρίας συνόλων, αλλά το παράδειγμα τίθεται για να δείξει το τι τελικά επιτυγχάνεται.
Το πλεονέκτημα αυτής της  μεθοδολογίας είναι ότι βασίζεται  σε μια πολύ αυστηρή μαθηματική θεωρία η  οποία θεμελιώνεται σε  αξιώματα ,και μπορεί να αναδείξει κοινωνικά φαινόμενα με ένα μαθηματικό τρόπο ακριβή  και σαφή.


    

Μαθηματικές έννοιες και φυσικές επιστήμες

Σημειώσεις για την κατανόηση των διατακτικών αριθμών (ordinal numbers)

Oι σημειώσεις εδώ

Τρίτη, 11 Ιανουαρίου 2011

Αφελής συνολοθεωρία

Ένα πολύ ενδιαφέρον βιβλίο που εισάγει με σχετική ευκολία σε αρχαρίους με έφεση στα μαθηματικά, τα βασικά στοιχεία της θεωρίας συνόλων  είναι το

"Αφελής Συνολοθεωρία " του Paul Halmos
O μαθηματικός Γ.Κολέτσος το έχει μεταφράσει στα Ελληνικά

Τα τεσσερα πρώτα κεφάλαια του βιβλίου εδώ

Στοιχεία για την Ελληνική Μετάφραση εδώ

Απλά μαθήματα Badioumathematics για αρχάριους και μη μαθηματικούς.Μάθημα δεύτερο

Η θεμελιώδης διάκριση του "ανήκω" και "εμπεριέχομαι"
Είδαμε στο προηγούμενο μάθημα πως είναι δυνατόν να αντιλαμβανόμαστε τον κόσμο ως «συλλογές». Αυτό αφορά τα πάντα , δηλαδή ότι μπορεί να διανοηθούμε και να σκεφτούμε και να έχουμε ως εμπειρία.
Είδαμε και το παράδειγμα της συλλογής με στοιχεία Κώστας Ελένη Ανδρέας
Είδαμε και την μαγική ιδιότητα των συλλογών να έχουν πάντα και παντού τον αριθμό των στοιχείων μικρότερο από τον αριθμό των υποσυνόλων και τέλος σημειώσαμε ότι αυτή η διαφορά έχει μια βαθύτερη σημασία. Γιατί είναι άλλη η σχέση των στοιχείων με το σύνολο και άλλη η σχέση των υποσυνόλων με το σύνολο.
Τα στοιχεία «ανήκουν» σε σύνολα τα υποσύνολα «εμπεριέχονται»
Αυτήν την διαφορά του «να ανήκεις» και «να εμπεριέχεσαι» πρέπει να δούμε καλύτερα, γιατί η κατανόηση της, μας οδηγεί σύμφωνα με τα BMCS σε μερικά ενδιαφέροντα πολιτικά αποτελέσματα. Αλλά ταυτόχρονα είναι μια  θεμελιώδης διαφορά στην θεωρία των συνόλων.
Βέβαια στην γλώσσα της καθημερινότητας φαίνεται το να «ανήκω» κάπου και να «περιέχομαι» κάπου να είναι σχεδόν ταυτόσημα. Προσοχή όμως στα BMCS  έχουν θεμελιακή διαφορά, τόση όση η διαφορά πρόσθεσης αφαίρεσης , ή πολλαπλασιασμού διαίρεσης. Φαίνεται τόσο παράξενο αλλά νομίζω ότι θα το ξεκαθαρίσουμε με ένα απλό παράδειγμα.
Σήμερα το πρωί λοιπόν πάς στο σούπερ μάρκετ
Παίρνεις ένα καλάθι και το γεμίζεις με τρόφιμα. Κάθε φορά που βάζεις ένα τρόφιμο στο καλάθι το μετράς από μέσα σου, το θυμάσαι . Στο τέλος της διαδρομής έχει μια συλλογή από τρόφιμα. Το κάθε τρόφιμο ανήκει στην συλλογή αυτή.
 Όταν πας στο ταμείο τότε ο ταμίας παίρνει ένα ένα τρόφιμο ,ή δυο δύο, ανακατεμένα ανεξάρτητα από την σειρά που εσύ τα αγόρασες, και τα σκανάρει για να βγάλει τον λογαριασμό.
Τα τρόφιμα που είναι στοιχεία της συλλογής σου, που «ανήκουν»  στην συλλογή για τον ταμία είναι κάτι παραπάνω. Ο ταμίας διαχειρίζεται την ίδια συλλογή , την καταγράφει, την κωδικοποιεί με ένα άλλο τρόπο από ότι εσύ. Για τον ταμία , για την συγκεκριμένη δουλειά τα τρόφιμα είναι «περιεχόμενα» της συλλογής.
Δηλαδή «περιεχόμενο»  γίνεται ένα στοιχείο μιας συλλογής  όταν το διαχειριζόμαστε ως μονάδα, αφού βέβαια από πριν, το έχουμε καταστήσει μέλος της συλλογής.
 Όταν κάτι ανήκει σε μια συλλογή έχει ήδη μετρηθεί, αλλά όταν κάτι είναι περιεχόμενο μιας συλλογής γίνεται αντικείμενο μιας επιμέτρησης, μιας διαχείρισης της αρχικής μέτρησης.
Το περίεργο είναι ότι στα μάτια του ταμία, κατά την διάρκεια του σκαναρίσματος , δημιουργείται μια συλλογή με στοιχεία που «ανήκουν», δηλαδή γίνεται «η συλλογή των τροφίμων του πελάτη τάδε που σκανάρω τώρα» .Αυτό σημαίνει ότι κάθε συλλογή ανά πάσα στιγμή αποτελείται από στοιχεία και υποσύνολα, αλλά αυτό εξαρτάται από την διαδικασία που έχουμε.
Για να είναι κάπως καθαρό ας υποθέσουμε ότι να «ανήκεις» προηγείται του να είσαι «περιεχόμενο» χρονικά.
Στην καθημερινότητα όμως κυρίως διαχειριζόμαστε, επιμετρούμε, πράγματα ως περιεχόμενα συλλογών  και μόνο θεωρητικά σκεφτόμαστε για την έννοια του «ανήκω» που προηγείται. Ε οι αυστηροί μαθηματικοί της θεωρίας των συνόλων έχουν αποδεχθεί ένα αξίωμα, δηλαδή μια αναπόδεικτη αλήθεια που μας χρειάζεται για να φτιάξουμε το μαθηματικό οικοδόμημα, και το αξίωμα αυτό μας λέει. Ότι ευρίσκεται στην εμπειρία σου ως περιεχόμενο μιας συλλογής , αναγκαστικά «ανήκει» στην συλλογή.
Ας το δούμε με ένα άλλο παράδειγμα
Κοιτάς στο παράθυρο και βλέπεις όσα αυτοκίνητα περνάνε από μπροστά σου για πέντε λεπτά. Τότε σχηματίζεις την συλλογή «τα αυτοκίνητα που βλέπω στο διάστημα 9:55-10::00 πμ» Τα αυτοκίνητα αυτά «ανήκουν» στην συλλογή σου
Δεν ξέρεις όμως ότι στην γωνία του σπιτιού σου υπάρχει η τροχαία που ελέγχει αυτοκίνητα  ακριβώς την ίδια ώρα 9:55-10:00 .
Τα ίδια αυτοκίνητα που μέτραγες υφίστανται έλεγχο από την τροχαία.
Η τροχαία ελέγχοντας τα ίδια αυτοκίνητα κάνει και αυτή μια συλλογή αυτοκινήτων δηλαδή την συλλογή «αυτοκίνητα που ελέγχω μεταξύ 09:55-10:00» . Για την τροχαία τα αυτοκίνητα «ανήκουν»  στην συλλογή της, αλλά τα ίδια αυτοκίνητα πλέον είναι και «περιεχόμενα» της συλλογής σου τα οποία διαχειρίζεται και ελέγχει η τροχαία.
Με ένα μαγικό τρόπο τα ίδια αυτοκίνητα «ανήκουν» σε δύο διαφορετικές ίσες συλλογές,(την δική σου και της αστυνομίας)  αλλά αν  σκεφτούμε την αλληλουχία, η τροχαία ελέγχει «τα περιεχόμενα» της συλλογής σου, και αν υποθέσουμε ότι κόβει κλήσεις σε όλους τότε διαχειρίζεται και τα «περιεχόμενα» της δικής της συλλογής.
Η κατάταξη του να «ανήκεις» και να είσαι «περιεχόμενο» αλλάζει διαρκώς για τα ίδια πράγματα, αλλά το να είσαι «περιεχόμενο» προϋποθέτει ότι «ανήκεις» και όταν κάποιος διαχειρίζεται επιμετρά στοιχεία συλλογών τότε μιλάμε για «περιεχόμενο»
Αν αυτό είναι καθαρό τότε μπορούμε να μιλήσουμε για μια ευρεσιτεχνία του ΑΒ. Ο τύπος αρχίζει να σκέφτεται για την κοινωνία και την πολιτική όχι όπως ένας τυπικός φιλόσοφος, αλλά χρησιμοποιώντας το περίεργο αλλά τελικά σαφές (ελπίζω…) κριτήριο του «να ανήκω» ή του «να είμαι περιεχόμενο»
Αλλά αυτά στο επόμενο μάθημα BMCS.  

Δευτέρα, 10 Ιανουαρίου 2011

Το πρώτο από 37 + 3 απλά μαθήματα Badioumathematics για αρχαρίους και μη μαθηματικούς

Αφού δημιουργήσαμε μια μικρή βιβλιοθήκη αναφορών για τα Βadioumathematics (BMCS), τώρα θα κάνουμε το επόμενο βήμα.
Θα μετατρέψουμε όλη αυτήν την πολύπλοκη και συμβολική γνώση σε απλές γνώσεις κατανοητές ακόμη και για κάποιον που δεν έχει σχέση με μαθηματικά. Η ελπίδα είναι να καταδειχθούν αφ’ ενός η ιδιοφυής σύνθεση φιλοσοφίας πολιτικής και μαθηματικών , αλλά και να αξιοποιηθούν αυτές οι μεθοδολογίες ευρύτερα.
Αναγκαστικά οι σημειώσεις θα είναι διδακτικές , ας πούμε απλοϊκές, σαν   να απευθύνεται σε κάποιον με βασικές γνώσεις αριθμητικής. Οι σπασίκλες μαθηματικών και φιλοσοφίας ας μας αδειάσουν την γωνιά γιατί σήμερα «θα παίξουμε με τα κουβαδάκια μας»
Α.- Η θεωρία των συνόλων και η αξία τους στα BMCS
Ας υποθέσουμε ότι ένα πρωί ξυπνάς και αποκτάς ξαφνικά το χόμπι του συλλέκτη. Αλλά το παρακάνεις. Βλέπεις τα πάντα ως συλλογές. Αν ένας συλλέκτης πινάκων τέχνης συλλέγει ας πούμε μόνο πίνακες ζωγραφικής, εσύ βλέπεις τα πάντα ως συλλογές
Πας στην κουζίνα και βλέπεις την συλλογή των αντικειμένων του νεροχύτη ως «συλλογή». Παράδειγμα το σύνολο των άπλυτων πιάτων είναι μια συλλογή. Το σύνολο των πλυμένων πιάτων μια άλλη συλλογή. Βλέπεις από το παράθυρο τα παρκαρισμένα αυτοκίνητα στον δρόμο και αυτά αποτελούν μια συλλογή. Αλλά και τα αυτοκίνητα που περνούν τον δρόμο την ώρα που τα χαζεύεις είναι μια άλλη συλλογή. Τέλος  βλέπεις τον υπολογιστή και τον αντιλαμβάνεσαι ως συλλογή εξαρτημάτων και όχι ως μηχάνημα. Βλέπεις ακόμα τον γείτονα σου και τον αντιλαμβάνεσαι ως συλλογή κυττάρων και όχι σαν άνθρωπο. Ακόμα  φαντάζεσαι  μια σειρά από βιβλία που δεν έχεις γράψει και παρότι δεν υπάρχουν παρά μόνο  φευγαλέα στο μυαλό σου , εσύ τα καταλαβαίνεις ως συλλογή. Ο κατάλογος είναι δαιμονικά άπειρος γιατί έχεις προσβληθεί από αυτήν την περίεργη ασθένεια να τα βλέπεις όλα ως συλλέκτης.
Ο ιδρυτής της θεωρίας των συνόλων , ο Cantor,μας απενοχοποιεί πλήρως. Ότι περνάει από το μυαλό μας και μπορεί να κατανοηθεί ως συλλογή διακεκριμένων στοιχείων αποτελεί ένα σύνολο .Αρκεί να μιλάμε για διακεκριμένα πράγματα, αντικείμενα, ανεξάρτητα πως που πότε και αν υπάρχουν, ανεξάρτητα και αν η καθημερινή συμβατική γνώση δεν τα αντιλαμβάνεται ως συλλογές.
Παράδειγμα: Οι πρωταγωνιστές όλων των ταινιών επιστημονικής φαντασίας, που έχουν κινηματογραφηθεί το 1067 πχ στην έρημο Σαχάρα από την ιστορική φυλή των  Βίκινγκ αποτελεί μια συλλογή, ένα σύνολο. Προφανώς το 1067 πχ δεν μπορεί να έχουν κινηματογραφηθεί , είναι πρακτικά αδύνατο, αλλά αυτό δεν έχει καμία σημασία. Αν εγώ γράψω ή φανταστώ μια τέτοια πραγματικότητα, και παρατάξω διακριτά στοιχεία (δηλαδή ονόματα     πρωταγωνιστές όλων των ταινιών επιστημονικής φαντασίας, που έχουν κινηματογραφηθεί το 1067 πχ στην έρημο Σαχάρα από την ιστορική φυλή των  Βίκινγκ) τότε έχω ένα σύνολο.
Δηλαδή μπορώ να αφήσω την φαντασία μου να οργιάσει και να βλέπω τα «Πάντα Όλα» ως σύνολα.
Το ενδιαφέρον είναι ότι ο μεν Cantor δημιούργησε μια ολόκληρη μαθηματική επιστήμη που έχει ως βάση όχι τους αριθμούς αλλά τα σύνολα, και ο ΑΒ χρησιμοποιεί αυτήν την επιστήμη για να στοχαστεί για την ζωή, την πολιτική και  την κοινωνία.
Β.-Οι περίεργες ιδιότητες των συνόλων
Αφού προσβληθήκαμε από την περίεργη ασθένεια του «συλλέκτη» τότε καταλαβαίνουμε ότι αν σκεφτούμε τα «πάντα όλα» ως σύνολα, τότε τα σύνολα μόνα τους και σχετιζόμενα μεταξύ τους έχουν κάτι σχεδόν μαγικές ιδιότητες.
Ας πούμε πάω στην παιδική χαρά και βλέπω να παίζουν 10 παιδάκια. Επειδή εγώ είμαι άρρωστος επειδή έτσι μου αρέσει φτιάχνω αυθαίρετα το ένα σύνολο από τρία παιδάκια, ας πούμε του Κώστα, της Ελένης, και του Ανδρέα
Τότε το σύνολο μου αποτελείται από τρία στοιχεία : τον Κώστα , την Ελένη, τον Ανδρέα
Καθώς όμως λειτουργώ αυθαίρετα και σύμφωνα με την αρχή που περιέγραψα παραπάνω γουστάρω να σκεφτώ και τις εξής συλλογές
Την συλλογή Κώστα Ελένη,
Την συλλογή Ελένη Ανδρέα
Την συλλογή Ανδρέα Κώστα
Την συλλογή Κώστας ( με ένα μόνο στοιχείο)
Την συλλογή Ελένη ( με ένα μόνο στοιχείο)
Την συλλογή Ανδρέας ( με ένα μόνο στοιχείο)
Και τέλος επειδή ο Cantor  με έχει απενοχοποιήσει και σκέφτομαι μια συλλογή με κανένα στοιχείο .Βέβαια αυτό το σύνολο με κανένα στοιχείο έχει μια μικρή ιστορία, αλλά για την ώρα ας το θεωρήσουμε προϊόν της «ασθένειας του συλλέκτη»
Τότε παρατηρώ ότι ενώ το αρχικό σύνολο έχει τρία στοιχεία, βλέποντας την πραγματικότητα ως σύνολα, τότε το αρχικό σύνολο περιλαμβάνει  πολύ περισσότερα υποσύνολα .
Κάτι περίεργο συμβαίνει!! Ο κόσμος ,όταν τον βλέπεις ως σύνολα, έχει μια θεμελιώδη διαφορά που καθορίζεται πως βλέπεις τα στοιχεία του. Τα στοιχεία όταν τα αντιλαμβάνεσαι ως στοιχεία του συνόλου , είναι αριθμητικά μικρότερα από τα υποσύνολα  που δικαιωματικά και αυθαίρετα μπορείς να δεις.
Αυτό το περίεργο φαινόμενο ο ΑΒ μας καλεί να το εμβαθύνουμε και να το καταλάβουμε. Μας λέει  ότι ενώ οι αριθμοί μας δείχνουν μια διαφορά (ο αριθμός των στοιχείων είναι  μικρότερος  από  τον αριθμό των υποσυνόλων)  αυτό είναι μια επιφανειακή γνώση, γιατί αυτό που τελικά συμβαίνει δεν είναι μια απλή διαφορά αρίθμησης αλλά μια διαφορά σχέσης.
Τα στοιχεία ανήκουν στα σύνολα, αλλά τα υποσύνολα δεν ανήκουν αλλά περιέχονται στα σύνολά.
Όσο και να φαίνεται περίεργο , αυτή η διαφορά του «ανήκω»  και του «περιέχομαι» αν κατανοηθεί αποτελεί μια θεμελιακή βάση στην πολιτειολογία του ΑΒ, και δείχνει μια πολύ ευρηματική πολιτική ανάλυση.
Για την διαφορά όμως «ανήκω» και «περιέχομαι» θα τα πούμε  την άλλη φορά.  

Παρασκευή, 7 Ιανουαρίου 2011

Peter Hallward : Badiou a subject of Thruth.Τα κεφαλαια 13,14 και Appendix

Στο θεμελιακό βιβλίο του Peter Hallward "Badiou a subjetc to Truth" υπάρχει η πιο εκτεταμένη παρουσίαση των μαθηματικών του ΑΒ.
Το Google Books επιλέγει να δημοσιοποιεί τα λιγότερο "ελκυστικά" αποσπάσματα, και αυτή η τακτική προσέφερα κατι ενδιαφέρον
Από όλο το βιβλίο επέλεξαν να δημιοσιεύσουν αυτούσια τα κεφάλια 13 14 και Appendix που είναι η "ουσία" των Badioumathematics
Η θεωρία συνόλων, η θεωρία κατηγοριών, η αξία των generics του Cohen, παρουσιάζονται απλά και κατανοητά.

Ολο το απόσπασμα εδώ

Τετάρτη, 5 Ιανουαρίου 2011

Graham Hutton:Introduction to Category Theory

http://www.cs.nott.ac.uk/~gmh/cat.html

Πολυ ενδιαφερον και εκλαικευτικό

Set Theory from Stanford Encyclopedia of Philosophy

Η συνδεση εδω το κείμενο ακολουθει

Set Theory

First published Thu Jul 11, 2002
Set Theory is the mathematical science of the infinite. It studies properties of sets, abstract objects that pervade the whole of modern mathematics. The language of set theory, in its simplicity, is sufficiently universal to formalize all mathematical concepts and thus set theory, along with Predicate Calculus, constitutes the true Foundations of Mathematics. As a mathematical theory, Set Theory possesses a rich internal structure, and its methods serve as a powerful tool for applications in many other fields of Mathematics. Set Theory, with its emphasis on consistency and independence proofs, provides a gauge for measuring the consistency strength of various mathematical statements. There are four main directions of current research in set theory, all intertwined and all aiming at the ultimate goal of the theory: to describe the structure of the mathematical universe. They are: inner models, independence proofs, large cardinals, and descriptive set theory. See the relevant sections in what follows.

1. The Essence of Set Theory

The objects of study of Set Theory are sets. As sets are fundamental objects that can be used to define all other concepts in mathematics, they are not defined in terms of more fundamental concepts. Rather, sets are introduced either informally, and are understood as something self-evident, or, as is now standard in modern mathematics, axiomatically, and their properties are postulated by the appropriate formal axioms.
The language of set theory is based on a single fundamental relation, called membership. We say that A is a member of B (in symbols AB), or that the set B contains A as its element. The understanding is that a set is determined by its elements; in other words, two sets are deemed equal if they have exactly the same elements. In practice, one considers sets of numbers, sets of points, sets of functions, sets of some other sets and so on. In theory, it is not necessary to distinguish between objects that are members and objects that contain members -- the only objects one needs for the theory are sets. See the supplement
Basic Set Theory
for further discussion.
Using the membership relation one can derive other concepts usually associated with sets, such as unions and intersections of sets. For example, a set C is the union of two sets A and B if its members are exactly those objects that are either members of A or members of B. The set C is uniquely determined, because we have specified what its elements are. There are more complicated operations on sets that can be defined in the language of set theory (i.e. using only the relation ∈), and we shall not concern ourselves with those. Let us mention another operation: the (unordered) pair {A,B} has as its elements exactly the sets Aand B. (If it happens that A=B, then the “pair” has exactly one member, and is called a singleton {A}.) By combining the operations of union and pairing, one can produce from any finite list of sets the set that contains these sets as members: {A,B,C,D,...,K,L,M}. We also mention the empty set, the set that has no elements. (The empty set is uniquely determined by this property, as it is the only set that has no elements - this is a consequence of the understanding that sets are determined by their elements.)
When dealing with sets informally, such operations on sets are self-evident; with the axiomatic approach, it is postulated that such operations can be applied: for instance, one postulates that for any sets A and B, the set {A,B} exists. In order to endow set theory with sufficient expressive power one needs to postulate more general construction principles than those alluded to above. The guiding principle is that any objects that can be singled out by means of the language can be collected into a set. For instance, it is desirable to have the “set of all integers that are divisible by number 3,” the “set of all straight lines in the Euclidean plane that are parallel to a given line”, the “set of all continuous real functions of two real variables” etc. Thus one is tempted to postulate that given any property P, there exists a set whose members are exactly all the sets that have property P. As we shall see below, such an assumption is logically inconsistent, and the accepted construction principles are somewhat weaker than such a postulate.
One of the basic principles of set theory is the existence of an infinite set. The concept can be formulated precisely in the language of set theory, using only the membership relation, and the definition captures the accepted meaning of “infinite”. See the supplement on
Basic Set Theory
for further discussion. Using the basic construction principles, and assuming the existence of infinite sets, one can define numbers, including integers, real numbers and complex numbers, as well as functions, functionals, geometric and topological concepts, and all objects studied in mathematics. In this sense, set theory serves as Foundations of Mathematics. The significance of this is that all questions of provability (or unprovability) of mathematical statements can be in principle reduced to formal questions of formal derivability from the generally accepted axioms of Set Theory.
While the fact that all of mathematics can be reduced to a formal system of set theory is significant, it would hardly be a justification for the study of set theory. It is the internal structure of the theory that makes it worthwhile, and it turns out that this internal structure is enormously complex and interesting. Moreover, the study of this structure leads to significant questions about the nature of the mathematical universe.
The fundamental concept in the theory of infinite sets is the cardinality of a set. Two sets A and B have the same cardinality if there exists a mapping from the set A onto the set B which is one-to-one, that is, it assigns each element of A exactly one element of B. It is clear that when two sets are finite, then they have the same cardinality if and only if they have the same number of elements. One can extend the concept of the “number of elements” to arbitrary, even infinite, sets. It is not apparent at first that there might be infinite sets of different cardinalities, but once this becomes clear, it follows quickly that the structure so described is rich indeed.

2. Origins of Set Theory

The birth of Set Theory dates to 1873 when Georg Cantor proved the uncountability of the real line. (One could even argue that the exact birthdate is December 7, 1873, the date of Cantor's letter to Dedekind informing him of his discovery.) Until then, no one envisioned the possibility that infinities come in different sizes, and moreover, mathematicians had no use for “actual infinity.” The arguments using infinity, including the Differential Calculus of Newton and Leibniz, do not require the use of infinite sets, and infinity appears only as “a manner of speaking”, to paraphrase Friedrich Gauss. The fact that the set of all positive integers has a proper subset, like the set of squares {1, 4, 9, 16, 25,...} of the same cardinality (using modern terminology) was considered somewhat paradoxical (this had been discussed at length by Galileo among others). Such apparent paradoxes prevented Bernhard Bolzano in 1840s from developing set theory, even though some of his ideas are precursors of Cantor's work. (It should be mentioned that Bolzano, an accomplished mathematician himself, coined the word Menge (= set) that Cantor used for objects of his theory.)
Motivation for Cantor's discovery of Set Theory came from his work on Fourier series (which led him to introduce ordinal numbers) and on trancendental numbers. Real numbers that are solutions of polynomial equations with integer coefficients are called algebraic, and the search was on for numbers that are not algebraic. A handful of these, called transcendental numbers, was discovered around that time, and a question arose how rare such numbers are. What Cantor did was to settle this question in an unexpected way, showing in one fell swoop that transcendental numbers are plentiful indeed. His famous proof went as follows: Let us call an infinite set A countable, if its elements can be enumerated; in other words, arranged in a sequence indexed by positive integers: a(1), a(2), a(3), … , a(n), … . Cantor observed that many infinite sets of numbers are countable: the set of all integers, the set of all rational numbers, and also the set of all algebraic numbers. Then he gave his ingeneous diagonal argument that proves, by contradiction, that the set of all real numbers is not countable. A consequence of this is that there exists a multitude of transcendental numbers, even though the proof, by contradiction, does not produce a single specific example. See the supplement on
Basic Set Theory
for further discussion.
Cantor's discovery of uncountable sets led him to the subsequent development of ordinal and cardinal numbers, with their underlying order and arithmetic, as well as to a plethora of fundamental questions that begged to be answered (such as the Continuum Hypothesis). After Cantor, mathematics has never been the same.

3. The Continuum Hypothesis

As the Continuum Hypothesis has been the most famous problem in Set Theory, let me explain what it says. The smallest infinite cardinal is the cardinality of a countable set. The set of all integers is countable, and so is the set of all rational numbers. On the other hand, the set of all real numbers is uncountable, and its cardinal is greater than the least infinite cardinal. A natural question arises: is this cardinal (the continuum) the very next cardinal. In other words, is it the case that there are no cardinals between the countable and the continuum? As Cantor was unable to find any set of real numbers whose cardinal lies strictly between the countable and the continuum, he conjectured that the continuum is the next cardinal: the Continuum Hypothesis. Cantor himself spent most of the rest of his life trying to prove the Continuum Hypothesis and many other mathematicians have tried too. One of these was David Hilbert, the leading mathematician of the last decades of the 19th century. At the World Congress of Mathematicians in Paris in 1900 Hilbert presented a list of major unsolved problems of the time, and the Continuum Hypothesis was the very first problem on Hilbert's list.
Despite the effort of a number of mathematicians, the problem remained unsolved until 1963, and it can be argued that in some sense the problem is still unsolved. See Section 7 on Independence Proofs.

4. Axiomatic Set Theory

In the years following Cantor's discoveries, development of Set Theory proceeded with no particular concern about how exactly sets should be defined. Cantor's informal “definition” was sufficient for proofs in the new theory, and the understanding was that the theory can be formalized by rephrasing the informal definition as a system of axioms. In the early 1900s it became clear that one has to state precisely what basic assumptions are made in Set Theory; in other words, the need has arisen to axiomatize Set Theory. This was done by Ernst Zermelo, and the immediate reasons for his axioms were twofold. The first one was the discovery of a paradox in Set Theory. This paradox is referred to as Russell's Paradox. Consider the “set” S of all sets that are not an element of itself. If one accepts the principle that all such sets can be collected into a set, then S should be a set. It is easy to see however that this leads to a contradiction (is the set S an element of itself?)
Russell's Paradox can be avoided by a careful choice of construction principles, so that one has the expressive power needed for usual mathematical arguments while preventing the existence of paradoxical sets. See the supplement on
Zermelo-Fraenkel Set Theory
for further discussion. The price one has to pay for avoiding inconsistency is that some “sets” do not exist. For instance, there exists no “universal” set (the set of all sets), no set of all cardinal numbers, etc.
The other reason for axioms was more subtle. In the course of development of Cantor's theory of cardinal and ordinal numbers a question was raised whether every set can be provided with a certain structure, called well-ordering of the set. Zermelo proved that indeed every set can be well-ordered, but only after he introduced a new axiom that did not seem to follow from the other, more self-evident, principles. His Axiom of Choice has become a standard tool of modern mathematics, but not without numerous objections of some mathematicians and discussions in both mathematical and philosophical literature. The history of the Axiom of Choice bears strong resemblance to that of the other notorious axiom, Euclid's Fifth Postulate.

5. The Axiom of Choice

The Axiom of Choice states that for every set of mutually disjoint nonempty sets there exists a set that has exactly one member common with each of these sets. For instance, let S be a set whose members are mutually disjoint finite sets of real numbers. We can choose in each XS the smallest number, and thus form a set that has exactly one member in common with each XS. What is not self-evident is whether we can make a choice every time, simultaneously for infinitely many sets X, regardless what these abstract sets are. The Axiom of Choice, which postulates the existence of a certain set (the choice set) without giving specific instructions how to construct such a set, is of different nature than the other axioms, which all formulate certain construction principles for sets. It was this nonconstructive nature of the Axiom of Choice that fed the controversy for years to come.
An interesting application of the Axiom of Choice is the Banach-Tarski Paradox that states that the unit ball can be partitioned into a finite number of disjoint sets which then can be rearranged to form two unit balls. This is of course a paradox only when we insist on visualizing abstract sets as something that exists in the physical world. The sets used in the Banach-Tarski Paradox are not physical objects, even though they do exist in the sense that their existence is proved from the axioms of mathematics (including the Axiom of Choice).
The legitimate question is whether the Axiom of Choice is consistent, that is whether it cannot be refuted from the other axioms. (Notice the similarity with the non Euclidean geometry.) This question was answered by Gödel, and eventually the role of the Axiom of Choice has been completely clarified. See Section 7 on Independence Proofs.

6. Inner Models

In the 1930s, Gödel stunned the mathematical world by discovering that mathematics is incomplete. His Incompleteness Theorem states that every axiomatic system that purports to describe mathematics as we know it must be incomplete, in the sense that one can find a true statement expressible in the system that cannot be formally proved from the axioms. In view of this result one must consider the possibility that a mathematical conjecture that resists a proof might be an example of such an unprovable statement, and Gödel immediately embarked on the project of showing that the Continuum Hypothesis might be undecidable in the axiomatic set theory.
Several years after proving the Incompleteness Theorem, Gödel proved another groundbreaking result: he showed that both the Axiom of Choice and the Continuum Hypothesis are consistent with the axioms of set theory, that is that neither can be refuted by using those axioms. This he achieved by discovering a model of set theory in which both the Axiom of Choice and the Continuum Hypothesis are true.
Gödel's model L of “constructible sets” has since served as a blueprint for building so-called inner models. These models form a hierarchy, corresponding to the hierarchy of large cardinals (see Section 8), and provide a glimpse into the as yet hidden structure of the mathematical universe. The advances in Inner Model Theory that have been made in the recent past owe much to the work of Ronald Jensen who introduced the study of the fine structure of constructible sets.

7. Independence Proofs

In 1963, Paul Cohen proved independence of the Axiom of Choice and of the Continuum Hypothesis. This he did by applying the method of forcing that he invented and constructing first a model of set theory (with the axiom of choice) in which the Continuum Hypothesis fails, and then a model of set theory in which the Axiom of Choice fails. Together with Gödel's models, these models show that the Axiom of Choice can neither be proved nor refuted from the other axioms, and that the Continuum Hypothesis can neither be proved nor refuted from the axioms of set theory (including the Axiom of Choice).
Cohen's method proved extremely fruitful and led first to the solution of a number of outstanding problems (Suslin's Problem, the Lebesgue measurability Problem, Borel's Conjecture, Kaplansky's Conjecture, Whitehead's Problem and so on) and soon has become one of the cornerstones of modern set theory. The technique of forcing has to date been applied by hundreds of authors of numerous articles and has enormously advanced our knowledge of Foundations of Mathematics. Along with the theory of large cardinals it is used to gauge the consistency strength of mathematical statements.

8. Large Cardinals

In 1930, while working on the Measure Problem, Stanislaw Ulam discovered an important phenomenon: Assuming that a certain mathematical statement about “small sets” (such as sets of real numbers) is true, one can prove the existence of sets of enormous size (inaccessible). This phenomenon has become more apparent after Dana Scott's celebrated result (1961) that measurable cardinals do not exist in L. Suddenly, large cardinals such as inaccessible, measurable, supercompact etc. have become the main focus of attention of set theorists. What emerged is a hierarchy of properties of infinite sets, the Large Cardinal Theory, that appears to be the basis for the structure of the set theoretical universe. Large cardinal axioms (also referred to as axioms of strong infinity) form a hierarchy whereby a stronger axiom not only implies a weaker axiom but also proves its consistency. To date there are scores of examples of mathematical statements whose consistency strength can be precisely calculated in terms of the hierarchy of large cardinals. (For instance, a negative solution of the Singular Cardinal Problem corresponds to a large cardinal axiom between measurabily and supercompactness.)
Since the pioneering work of Ronald Jensen, Large Cardinal Theory has been closely tied with Inner Model Theory. It turns out that for each large cardinal axiom at lower levels of the hierarchy one can find an appropriate inner model. These inner models shed additional light on the structure of the universe by employing methods of Descriptive Set Theory.

9. Descriptive Set Theory

Descriptive Set Theory traces its origins to the theory of integration by Henri Lebesgue at the beginning of 20th century. Investigations into Borel sets of real numbers led to the theory of projective sets, and more generally, the theory of definable sets of real numbers. Following Gödel's work, it became apparent that many natural questions in Descriptive Set Theory are undecidable in axiomatic set theory. This was further confirmed by a proliferation of independence results following Cohen's invention of the forcing method.
Modern Descriptive Set Theory revolves mostly around the powerful method using infinite games. The branch of Descriptive Set Theory known as Determinateness, developed by D. A. Martin, Robert Solovay and others, brought together methods of, among others, Recursion Theory and Large Cardinal Theory and has been very successful in describing the structure of definable sets. More importantly, Descriptive Set Theory provides strong evidence for the large cardinal axioms.

Bibliography

  • Cantor, G., 1932, Gesammelte Abhandlungen, Berlin: Springer-Verlag.
  • Ulam, S., 1930, ‘Zur Masstheorie in der allgemeinen Mengenlehre’, Fund. Math., 16, 140-150.
  • Gödel, K., 1940, ‘The consistency of the axiom of choice and the generalized continuum hypothesis’, Ann. Math. Studies, 3.
  • Scott, D., 1961, ‘Measurable cardinals and constructible sets’, Bull. Acad. Pol. Sci., 9, 521-524.
  • Cohen, P., 1966, Set theory and the continuum hypothesis, New York: Benjamin.
  • Jensen, R., 1972, ‘The fine structure of the constructible hierarchy’, Ann. Math. Logic, 4, 229-308.
  • Martin, D. and Steel, J., 1989, ‘A proof of projective determinacy’, J. Amer. Math. Soc., 2, 71-125.
  • Hrbacek, K. and Jech, T., 1999, Introduction to Set Theory, New York: Marcel Dekker, Inc.

Other Internet Resources

[Please contact the author with suggestions.]

Τα σύμβολα της θεωρίας συνόλων

Set Theory Symbols

List of set symbols of set theory and probability.

Table of set theory symbols


SymbolSymbol NameMeaning / definitionExample
{ }seta collection of elementsA={3,7,9,14}, B={9,14,28}
A Bintersectionobjects that belong to set A and set BA B = {9,14}
A Bunionobjects that belong to set A or set BA B = {3,7,9,14,28}
A Bsubsetsubset has less elements or equal to the set{9,14,28}{9,14,28}
A Bproper subset / strict subsetsubset has less elements than the set{9,14}{9,14,28}
A Bnot subsetleft set not a subset of right set{9,66}{9,14,28}
A Bsupersetset A has more elements or equal to the set B{9,14,28}{9,14,28}
A Bproper superset / strict supersetset A has more elements than set B{9,14,28}{9,14}
A Bnot supersetset A is not a superset of set B{9,14,28}{9,66}
2Apower setall subsets of A
Ƥ (A)power setall subsets of A
A = Bequalityboth sets have the same membersA={3,9,14}, B={3,9,14}, A=B
Accomplementall the objects that do not belong to set A
A \ Brelative complementobjects that belong to A and not to BA={3,9,14},     B={1,2,3}, A-B={9,14}
A - Brelative complementobjects that belong to A and not to BA={3,9,14},     B={1,2,3}, A-B={9,14}
A ∆ Bsymmetric differenceobjects that belong to A or B but not to their intersectionA={3,9,14},     B={1,2,3}, A ∆ B={1,2,9,14}
A Bsymmetric differenceobjects that belong to A or B but not to their intersectionA={3,9,14},     B={1,2,3}, A B={1,2,9,14}
aAelement ofset membershipA={3,9,14}, 3 A
xAnot element ofno set membershipA={3,9,14}, 1 A
(a,b)ordered paircollection of 2 elements
A×Bcartesian productset of all ordered pairs from A and B
|A|cardinalitythe number of elements of set AA={3,9,14}, |A|=3
#Acardinalitythe number of elements of set AA={3,9,14}, #A=3
אalephinfinite cardinality
Øempty setØ = { }C = {Ø}
Uuniversal setset of all possible values
natural numbers set= {1,2,3,4,...}6 ∈ ℕ
integer numbers set= {...-3,-2,-1,0,1,2,3,...}-6 ∈ ℤ
rational numbers set= {x | x=a/b, a,b∈ℕ}2/6 ∈ ℚ
real numbers set= {x | -∞ < x <∞}6.343434 ∈ ℝ
complex numbers set= {z | z=a+bi, -∞<a<∞,      -∞<b<∞}6+2i ∈ ℂ


Statistical symbols

Θεωρια Συνολων: Οι σημειώσεις του Γ.Κολετσου

Οι σημειώσεις σε μορφη PDF ευρίσκονται εδώ

Το Being and Event σε 18 μαθηματα με εμφαση στον μαθηματικό φορμαλισμό




Αυτό είναι το πρωτο από 18 μαθήματα με κύριο ενδιαφέρον στον μαθηματικό φορμαλισμό του Being & Event

Μετά το πρωτο μαθημα στο Youtube αναφαίνονται κια τα υπολοιπα

Τρίτη, 4 Ιανουαρίου 2011

Θεωρία Κατηγοριών: Σημειώσεις του Χ.Σκιαδά

Η Θεωρία Κατηγοριών και η θέση της στα σύγχρονα Μαθηματικά
Η Θεωρία Κατηγοριών είναι μια σύγχρονη μαθηματική θεωρία που αναπτύχθηκε τα τελευταία πενήντα χρόνια με σκοπό να λύσει προβλήματα άλλων θεωριών ή να θέσει κάποια συμπεράσματά τους σε ένα γενικότερο πλαίσιο. Ξεκίνησε λίγο πολύ σαν μια γλώσσα για τα Μαθηματικά, αλλά σύντομα πήρε το δρόμο της σαν μια Μαθηματική θεωρία.
Αλλά τι είναι τελικά η Θεωρία Κατηγοριών; Με απλά λόγια είναι η θεωρία που ασχολείται με ιδιότητες των μορφισμών (των “καλών” απεικονίσεων) κάθε άλλης μαθηματικής θεωρίας. Ας προσπαθήσουμε να γίνουμε πιο συγκεκριμένοι. Καταρχήν έχουμε τα σύνολα και τις απεικονίσεις μεταξύ τους. Αν όμως θεωρήσουμε σύνολα με κάποια συγκεκριμένη δομή (για παράδειγμα διανυσματικοί χώροι ή τοπολογικοί χώροι), τότε δεν μας ενδιαφέρουν όλες οι απεικονίσεις μεταξύ των συνόλων, αλλά μόνο αυτές που “σεβονται”, που διατηρούν τη δεδομένη δομή (για παράδειγμα οι γραμμικές απεικονίσεις ή οι συνεχείς απεικονίσεις αντίστοιχα). Η Θεωρία Κατηγοριών μελετά ακριβώς αυτή τη συλλογή όλων των αντικειμένων με μια συγκεκριμένη δομή και των απεικονίσεων που διατηρούν τη δομή αυτή, των λεγόμενων μορφισμών. Όλη αυτή η συλλογή (μαζί με την οριζόμενη φυσιολογικά πράξη σύνθεσης) καλείται μια κατηγορία. Έτσι για παράδειγμα έχουμε την κατηγορία των ομάδων με τους αντίστοιχους μορφισμούς ομάδων, την κατηγορία των διανυσματικών χώρων με τους αντίστοιχους μορφισμούς τους, τις γραμμικές απεικονίσεις, και ούτω καθεξής.
Στην πραγματικότητα η θεωρία κατηγοριών (τουλάχιστον σε πρώτη φάση) δε λαμβάνει υπ’ όψη της το γεγονός ότι σε κάθε αντικείμενο βρίσκεται υποκείμενο ένα σύνολο. Αντιθέτως μια κατηγορία ονομάζεται μια συλλογή από αντικείμενα μαζί με κάποια “βελάκια” μεταξύ τους, ονομαζόμενα μορφισμοί, έτσι ώστε κάθε μορφισμός να έχει ένα “πεδίο ορισμού” και ένα “πεδίο τιμών” (απλώς δύο αντικείμενα της συλλογής μας) και να έχει ορισθεί μια πράξη σύνθεσης μορφισμών, έτσι ώστε ένας μορφισμός από το Α στο Β και ένας από το Β στο Γ να μας δίνουν ένα μορφισμό από το Α στο Γ, ενώ για κάθε αντικείμενο Α της κατηγορίας υπάρχει ένας μορφισμός 1Α από το Α στο Α, ο οποίος συντιθέμενος με οποιονδήποτε άλλο μορφισμό β μας δίνει τον ίδιο το β και λέγεται ταυτοτικός. Αυτά είναι τα μόνα εφόδια που έχει (αρχικά) κανείς.
Κατόπιν η θεωρία αρχίζει να πλουτίζεται, καθώς προσπαθεί κανείς να βάλει επιπλέον ιδιότητες στους μορφισμούς. Το πρόβλημα είναι ότι η ιδιότητα αυτή δεν θα πρέπει να έχει να κάνει με κάποια στοιχεία που θα “ανήκουν” στο αντικείμενο, αφού το αντικείμενο δεν είναι απαραίτητα σύνολο. Εύλογα λοιπόν αναρωτιέται κανείς, πώς θα μπορούσε να εκφράσει σε αυτό το πλαίσιο έναν ορισμό όπως της 1-1 απεικόνισης μεταξύ συνόλων. Το εντυπωσιακό είναι πως μπορεί (!) και μάλιστα με δύο (!!) διαφορετικούς τρόπους.
Αυτό οφείλεται στην ακόλουθη πρόταση που αποδεικνύεται στη θεωρία συνόλων:
Έστω f:X® Y συνάρτηση μεταξύ των συνόλων Χ και Υ. Τότε τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα:
α)Η f είναι 1-1
β)Υπάρχει μία g:Y® X με gf=1X (Δηλαδή η f έχει αριστερό αντίστροφο)
γ)Για κάθε ζεύγος συναρτήσεων α,β:Υ® Ζ (Ζ τυχαίο) με αff, έχουμε ότι α=β (Δηλαδή η f είναι όπως λέμε από δεξιά διαγράψιμη)
Παρατηρεί κανείς άμεσα ότι στις ισοδυναμίες β και γ εμφανίζεται μόνο η έννοια του μορφισμού συνόλων (της απλής απεικόνισης). Έτσι οι δύο αυτές προτάσεις μπορούν να χρησιμοποιηθούν στο πλαίσιο της θεωρίας Κατηγοριών. Έτσι σε μια κατηγορία ένας μορφισμός λέγεται μονομορφισμός, αν είναι από δεξιά διαγράψιμος, ενώ λέγεται διασπώμενος μονομορφισμός, αν έχει αριστερό αντίστροφο. Οι δύο αυτοί ορισμοί δεν είναι εν γένει ισοδύναμοι, αν και στην κατηγορία των συνόλων συμπίπτουν. (Στην κατηγορία των ομάδων διασπώμενοι μονομορφιμοί είναι αυτοί που όταν το πεδίο ορισμού τους θεωρηθεί σαν υποομάδα του πεδίου τιμών τους, αυτή είναι κανονική, η ισοδύναμα πυρήνας ενός μορφισμού)
Με παρόμοιο τρόπο μεταφέρονται οι έννοιες της ένωσης και τομής συνόλων, της εικόνας και της αντίστροφης εικόνας μιας απεικόνισης, του πυρήνα ενός μονομορφισμού, του καρτεσιανού γινομένου συνόλων καθώς και του ευθέως αθροίσματος ομάδων ή του καρτεσιανού γινομένου διανυσματικών χώρων. Παράλληλα όμως δημιουργούνται και καινούργιοι, συγκεκριμένα οι δυϊκοί τους. Ας δούμε τι σημαίνει αυτό.
Αν ξεκινήσουμε από μια κατηγορία, μπορούμε να φτιάξουμε μια καινούργια κατηγορία με το ακόλουθο “τρικ”: Η καινούργια κατηγορία έχει τα ίδια αντικείμενα με την αρχική, μόνο που τώρα οι μορφισμοί έχουν αλλάξει φορά. Δηλαδή αν στην αρχική κατηγορία υπήρχε ένας μορφισμός α:Α® Β, τότε η καινούργια κατηγορία έχει ένα μορφισμό α:Β® Α. Η πράξη της σύνθεσης ρυθμίζεται ανάλογα. Αυτή η κατηγορία λέγεται δυϊκή της πρώτης. Με τον τρόπο αυτό μπορούμε από κάθε ορισμό σε μια κατηγορία να φτιάξουμε ένα καινούργιο ορισμό, αντιστρέφοντας στην ουσία τη φορά των μορφισμών-βελών (Θεωρώντας δηλαδή τον αντίστοιχο ορισμό στην δυϊκή της κατηγορίας). Έτσι για παράδειγμα ένας μορφισμός λέγεται επιμορφισμός, αν είναι μονομορφισμός στη δυϊκή κατηγορία, δηλαδή αν είναι από δεξιά διαγράψιμος στην δυϊκή κατηγορία, ή ισοδύναμα (από τον ορισμό της σύνθεσης στη δυϊκή κατηγορία) αν είναι από αριστερά διαγράψιμος στην αρχική κατηγορία. Έτσι για κάθε έννοια της θεωρίας κατηγοριών υπάρχει η δυϊκή της, και κάθε πρόταση έχει μια αντίστοιχη δυϊκή, που στην ουσία προκύπτουν αν αντιστρέψουμε τη φορά των βελών. Έτσι κάθε απόδειξη μιας πρότασης από κάποιες υποθέσεις μας δίνει μια απόδειξη της δυϊκής της πρότασης από τις δυϊκές των υποθέσεων. Στην ουσία κάθε φορά αποδεικνύουμε δύο προτάσεις μαζί (!).
Μέχρι τώρα είδαμε τα αντικείμενα της θεωρίας Κατηγοριών, τις κατηγορίες. Όμως η θεωρία Κατηγοριών είναι μια μαθηματική θεωρία, άρα εκτός από αντικείμενα έχει και μορφισμούς μεταξύ τους, δηλαδή απεικονίσεις μεταξύ κατηγοριών που σέβονται τη δομή των κατηγοριών. Πιο συγκεκριμένα ένας συναρτητής μεταξύ των κατηγοριών Α και Β είναι μία απεικόνιση που αντιστοιχεί σε κάθε αντικείμενο της Α ένα αντικείμενο της Β και σε κάθε μορφισμό μεταξύ δύο αντικειμένων της Α έναν μορφισμό μεταξύ των αντίστοιχων αντικειμένων της Β. Η αντιστοίχιση γίνεται με τέτοιο τρόπο ώστε η εικόνα της σύνθεσης δύο μορφισμών να είναι η σύνθεση των εικόνων τους και η εικόνα του ταυτοτικού μορφισμού ενός αντικειμένου να είναι ο ταυτοτικός της εικόνας του αντικειμένου.
Σημαντικότατο παράδειγμα συναρτητών είναι οι λεγόμενοι “ξεχασιάρηδες” συναρτητές, που “ξεχνάνε” την επιπλέον δομή κάποιων συνόλων. Έτσι για παράδειγμα υπάρχει ένας συναρτητής που αντιστοιχεί σε κάθε διανυσματικό χώρο (ή τοπολογικό χώρο κλπ) το υποκείμενο σύνολό του (“ξεχνώντας” την επιπλέον δομή διανυσματικού χώρου που έχειτο σύνολο) και σε κάθε μορφισμό ομάδων την αντίστοιχη απεικόνιση μεταξύ των υποκείμενων συνόλων. Μια άλλη κλάση συναρτητών είναι οι λεγόμενοι συναρτητές ομολογίας, που (για κάθε φυσικό ν) σε κάθε τοπολογικό χώρο αντιστοιχούν τη λεγόμενη ν-οστή ομάδα ομολογίας του χώρου και σε κάθε συνεχή απεικόνιση μεταξύ δύο τοπολογικών χώρων έναν επαγόμενο μορφισμό μεταξύ των αντίστοιχων ομάδων. Με τη βοήθεια αυτών των συναρτητών αποδεικνύεται το περίφημο θεώρημα του Brouwer, που λέει ότι κάθε συνεχής συνάρτηση f από τη σφαίρα Dn={x Rn ||x||<1ή||x||=1} στον εαυτό της έχει τουλάχιστον ένα σταθερό σημείο, δηλαδή υπάρχει x με f(x)=x.
Τι σημασία έχουν λοιπόν αυτοί οι συναρτητές; Καταρχάς μας επιτρέπουν να μεταφέρουμε προβλήματα μιας θεωρίας σε προβλήματα μιας άλλης, όπου ελπίζουμε ότι θα είναι πιο εύκολα στη λύση τους, μας προσφέρουν δηλαδή μια σύνδεση μεταξύ των μαθηματικών θεωριών. Έτσι για παράδειγμα ας υποθέσουμε ότι έχουμε δύο τοπολογικούς χώρους Χ και Υ και θέλουμε να αποφανθούμε αν είναι ομοιομορφικοί, δηλαδή ισόμορφοι στην κατηγορία των τοπολογικών χώρων. Ας υποθέσουμε ακόμα ότι έχουμε τον “ξεχασιάρη” συναρτητή, έστω U, από την κατηγορία των τοπολογικών χώρων στην κατηγορία των συνόλων. Τότε, αν οι Χ και Υ είναι ομοιομορφικοί μέσω ενός α:Χ® Υ, τότε ο U(α):U(X)® U(Y) είναι ισομορφισμός στην κατηγορία των συνόλων, δηλαδή τα υποκείμενα σύνολα των Χ και Υ είναι ισοπληθικά. Οπότε αν τα υποκείμενα σύνολα των Χ και Υ δεν είναι ισοπληθικά, προκύπτει ότι οι χώροι Χ και Υ δεν είναι ομοιομορφικοί. Βέβαια δεν χρειαζόμαστε τη Θεωρία Κατηγοριών για να μας το πει αυτό, όμως η Θεωρία Κατηγοριών μας επιτρέπει να δούμε το συμπέρασμα σε ένα γενικότερο πλαίσιο, ότι δηλαδή αν οι εικόνες μεταξύ ενός συναρτητή δύο αντικειμένων είναι μη ισόμορφες, τότε και τα αντικείμενα είναι μη ισόμορφα. Αν οι εικόνες είναι ισόμορφες, δεν μπορούμε εν γένει να πούμε τίποτα.
Χρησιμοποιώντας τους συναρτητές ομολογίας που αναφέραμε παραπάνω, μπορούμε να πούμε πολύ περισσότερα πράγματα για το αν δύο τοπολογικοί χώροι είναι ομοιομορφικοί. Έτσι αν δύο τοπολογικοί χώροι είναι ομοιομορφικοί, τότε οι ν-οστές ομάδες ομολογίας τους είναι ισόμορφες (για κάθε ν). Υπολογίζοντας αυτές τις ομάδες μπορούμε συχνά να αποφανθούμε αν δύο χώροι είναι ομοιομορφικοί. Έτσι για παράδειγμα μπορούμε να αποδείξουμε ότι R Rnαν και μόνο αν m=n (όπου Rm ο συνήθης m-διάστατος ευκλείδειος χώρος). Και πάλι θα μπορούσαμε να αποδείξουμε το παραπάνω θεώρημα χωρίς ρητή αναφορά σε κατηγορίες και συναρτητές, αλλά αυτό θα ήταν το ίδιο σαν να χρησιμοποιούσαμε στην απόδειξη ενός θεωρήματος τις γραμμικές πράξεις που τυγχάνει να έχει ένα σύνολο, χωρίς να αναφερόμαστε ρητώς στο γεγονός ότι το σύνολο έχει τη δομή διανυσματικού χώρου. Δεν είναι πιο κομψό (ίσως πιο σωστό, αν μπορούσαμε να πούμε ότι κάτι είναι σωστό ή όχι) να αναφέρουμε ότι το σύνολο υπό μελέτη είναι ένας διανυσματικός χώρος;
Ενώ λοιπόν, ενώ μπορεί κανείς να ισχυριστεί ότι η Θεωρία Κατηγοριών είναι απλώς μια γλώσσα και μπορούμε να κάνουμε Μαθηματικά χωρίς αυτήν, εντούτοις τα πράγματα δεν είναι έτσι. Υπάρχουν θεωρήματα τα οποία ισχύουν στη Θεωρία Κατηγοριών και μας βοηθούν στην καθημερινή ενασχόλησή μας με τα Μαθηματικά. Ας κάνουμε έναν παραλληλισμό. Ας υποθέσουμε ότι δεν έχουμε δημιουργήσει τη θεωρία ομάδων. Ας υποθέσουμε ακόμα ότι στη δουλειά μας συναντάμε ένα σύνολο στο οποίο έχουμε μια πράξη που ικανοποιεί τα αξιώματα μιας ομάδας. Αν πάρουμε ένα υποσύνολό του που είναι κλειστό ως προς την πράξη, μπορούμε να αποδείξουμε ότι η τάξη του (το πλήθος των στοιχείων του) διαιρεί την τάξη του δεδομένου συνόλου (θυμηθείτε ότι δεν έχουμε το θεώρημα του Lagrange, αφού δεν έχουμε θεωρία ομάδων). Αν πάρουμε ένα άλλο υποσύνολο του αρχικού, μπορούμε πάλι να αποδείξουμε ότι η τάξη του διαιρεί την τάξη του αρχικού, είναι όμως κάτι το οποίο πρέπει να αποδείξουμε. Μπορούμε να πούμε ότι αποδεικνύεται παρόμοια, όμως αυτό είναι το ίδιο με το να ορίσουμε ότι λέμε ένα σύνολο ομάδα, αν έχει μια πράξη που ικανοποιεί τα γνωστά αξιώματα της ομάδας, να δείξουμε τι ιδιότητες έχει μια τυχούσα ομάδα, και μετά απλώς να παρατηρήσουμε ότι τα άλλα σύνολα που προκύπτουν στη δουλειά μας είναι ομάδες, να θεμελιώσουμε με λίγα λόγια τη Θεωρία Ομάδων. Το ίδιο συμβαίνει και με τη Θεωρία Κατηγοριών.
Η Θεωρία Κατηγοριών εμφανίζεται πλέον σε πάρα πολλές περιπτώσεις, ειδικά όταν προσπαθούμε να συνδέσουμε διάφορους κλάδους των Μαθηματικών. Είναι μέρος της καθημερινής μας πρακτικής (στην πραγματικότητα τα περισσότερα πράγματα που έχουμε ορίσει μπορούν να εκφραστούν με τη γλώσσα της Θεωρίας Κατηγοριών, απλώς δεν το γνωρίζουμε ή δεν μας ενδιαφέρει). Μας βοηθάει να λύσουμε κάποια προβλήματα, ή να τα δούμε σε άλλο πλαίσιο, αλλά από την άλλη έχει και αυτή τα προβλήματά της, όπως για παράδειγμα πότε δύο κατηγορίες είναι κατ’ ουσία ίδιες (όχι έναν ορισμό, αλλά σε συγκεκριμένα παραδείγματα), ή πότε μια κατηγορία μπορεί να θεωρηθεί ως κατηγορία που τα αντικείμενά της είναι σύνολα (με κάποια ενδεχομένως δομή). Η απάντηση σε αυτά τα ερωτήματα, από ότι ξέρω τουλάχιστον, είναι πολύ μακριά.
Σκιαδάς Χαρίλαος
Βιβλιογραφία:
Νασόπουλος: “Στοιχεία Θεωρίας Κατηγοριών”, Σημειώσεις Παραδόσεων, Πανεπιστήμιο Αθηνών, 1986
Mitchell: “Theory of Categories” Academic Press, 1965