Burhanuddin Baki : Badiou's being and event and the mathematics of set theory

Το βιβλίο υπέδειξε ο φίλος Weltschmerzk.K

Πρόκειται για το πιο ολοκληρωμένο βιβλίο που ίσως περατώνει και το σκοπό του ιστολογίου: Την εξοικείωση μη μαθηματικών με τα μαθηματικά του Badiou.

Ο συγγραφέας είναι αναλυτικός , απευθύνεται σε μη μαθηματικούς και τελικά διαυγάζει όλα τα επίδικα για την οντολογία , τα μαθηματικά

Ακολουθεί η περιγραφή των ακδοτών και το βιβλίο από σχετικό σύνδεσμο


Alain Badiou's Being and Event continues to impact philosophical investigations into the question of Being. By exploring the central role set theory plays in this influential work, Burhanuddin Baki presents the first extended study of Badiou's use of mathematics in Being and Event.

Adopting a clear, straightforward approach, Baki gathers together and explains the technical details of the relevant high-level mathematics in Being and Event. He examines Badiou's philosophical framework in close detail, showing exactly how it is 'conditioned' by the technical mathematics. Clarifying the relevant details of Badiou's mathematics, Baki looks at the four core topics Badiou employs from set theory: the formal axiomatic system of ZFC; cardinal and ordinal numbers; Kurt Gödel's concept of constructability; and Cohen's technique of forcing. Baki then rebuilds Badiou's philosophical meditations in relation to their conditioning by the mathematics, paying particular attention to Cohen's forcing, which informs Badiou's analysis of the event. 

Providing valuable insights into Badiou's philosophy of mathematics, Badiou's Being and Event and the Mathematics of Set Theory offers an excellent commentary and a new reading of Badiou's most complex and important work.

Όλο το βιβλίο Εδώ

What are the major critisicm of Badiou's claim that mathematics is ontology

Πηγή : philosophy.stackexchange.com

It seems to me that Badiou is himself providing the criticism or response, specifically to theorists like Heidegger and Deleuze. I'm not sure anyone has published any major criticisms of his arguments. In a way, he's attempting to rescue the idea of objectivity, to rehabilitate truth and the notion of the subject, from the ontological criticisms set forth by the theorists who came before. It's a breath of fresh air for those who think of Deleuze as a "dead-end", not necessarily to be read as a contradiction of that work.

The specific criticisms, as I understand them, would probably go something as follows:

1. Badiou continuously ignores and even refuses to recognize the "suppleness" of power, and its effect on the discourse of alterity. He says that the association of pathos with these forms of alterity is both disruptive and unnecessary, and even attempts to remove alterity and pathos from the equation entirely through the use of mathematical axioms, but this is impossible. Despite the claims made in his works, he is still haunted by an "ineradicable remainder of pathos". Here, you can read the entire earlier works of Emmanuel Levinas (to which Badiou is responding) as themselves indictments of Badiou.
2. Slavoj Žižek is also a critic in some senses (though he possesses an extreme amount of respect for Badiou's thought, describing him as a "giant who walks among us" and likening him to Plato or Hegel), with the primary point of divergence being Žižek's allegiance to Kant and Hegel, contrasted with Badiou's rejection of both. Žižek is very much on the side of "finitude", whereas Badiou attempts to overcome the very problem of finitude. In particular, though Badiou accuses the philosopher's "denial of enjoyment" as making her vulnerable to asceticism, the philosopher can in turn accuse the psychoanalyst (Badiou) as being transfixed by his own enjoyment, particularly since Badiou's argument is that contemporary culture exists almost entirely "under the emblem of enjoyment". Specifically, Bruno Bosteels makes this observation in an article he contributed to Alain Badiou: Key Concepts, edited by Bartlett and Clemens. (Although Bosteels is attempting to clarify and synergize the works of the two theorists, rather than strictly offering a criticism of Badiou.)
3. Gilles Deleuze (and, to a lesser extent, his good buddy, Félix Guattari) is probably Badiou's primary antagonist. Although both interpret philosophy as involving the thinking of the multiplicity, Deleuze stubbornly refuses to give in to Badiou's willingness to cede the thinking of enjoyment to the psychoanalyst. The primary author to consider here is Deleuze's student and contemporary,Eric Alliez. Suggested readings might include his essay "Badiou: the Grace of the Universal" and his contributions to the above-suggested title, Alain Badiou: Key Concepts.
4. Giorgio Agamben also opposes Badiou in his insistence upon the "irreducible remainder". In essence, he argues that the ethic of truth proposed by Badiou actually requires the "occlusion of the remainder", and Agamben's entire understanding of philosophical discourse rests on the potentiality of the remainder, primarily through his central concept of "bare life", which can be interpreted as life which is resting on the very verge of death.

J.Derrida:Oligarchies,Naming ,Enumerating, Counting

Είναι αρκετά ενδιαφέρον ότι το πρώτο κεφάλαιο του βιβλίου του J Derrida , The Politics of Friendship επιγράφεται : Ολιγαρχίες : Ονομασίες, Απαριθμήσεις, Μετρήσεις. Ο τίτλος περιγράφει όντως μια απασχόληση του J  Derrida με μια μαθηματική φιλοσοφική θεματολογία. Παρότι ο JD δεν διαθέτει την μαθηματική αποσκευή του A Badiou εν τούτοις   μέσω της δικής του θεώρησης ασχολείται μερικώς με ένα από τα ζητήματα του Being & Event. Ο JD  διατυπώνει μια διαφορετική απάντηση σε σχέση με τον ΑΒ στο ίδιο θέμα

 Το ζήτημα της αριθμητικής της δημοκρατίας

Η κοινοβουλευτική δημοκρατία συγκροτείται μέσω μιας αριθμητικής διαδικασίας η οποία φαίνεται κατ’ αρχάς απλή: Ο νόμος της πλειοψηφίας όπως  αυτή αποτυπώνεται με τις εκλογές. Τα αδρά μαθηματικά της δημοκρατίας είναι  αμείλικτα. Ωστόσο αναδύεται το θεμελιακό ερώτημα για τη σχέση της δημοκρατικής αριθμητικής με ένα έκαστο υποκείμενο της δημοκρατικής πολιτείας. Ποια είναι αυτή η σχέση, πως οργανώνεται , με ποια προαπαιτούμενα.

Η Μπαντιουική απάντηση   

O AB προσπαθεί να λύσει το ζήτημα μέσω ενός εκκεντρικού τρόπου. Χρησιμοποιεί το αξιωματικό πλέγμα  της συνολοθεωρίας Zermelo Frenkel ως καθολικό εξηγητικό σύστημα :

Τα στοιχεία ανήκουν στα σύνολα , ενώ τα υποσύνολα εμπεριέχονται σε αυτά.

Ο αριθμός των υποσυνόλων είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό των στοιχείων σε κάθε σύνολο.

Το να επιμετρήσεις ένα αντικείμενο ως στοιχείο ή ως υποσύνολο είναι θεμελιώδης διαφορά τρόπου αντιμετώπισης , χειρισμού.

Το κράτος κατανοείται ως σύνολο το οποίο περιέχει τους πολίτες ως στοιχεία ( σχέση ανήκειν) αλλά τα διαχειρίζεται ως μοναδιαία υποσύνολα singleton (σχέση συμπεριλαμβάνεσθαι) . Η  διαδικασία ψηφοφορίας είναι ένας χειρισμός ο οποίος ακριβώς εμποδίζει να αναδυθεί η δεδομένη ιδιότητα των συνόλων να δημιουργούνται περισσότερα υποσύνολα από τα στοιχεία. Η αντιπροσωπευτική δημοκρατία μέσω καθολικής γενικής ψηφοφορίας είναι η συστηματική «καθήλωση» , ο «εξαναγκασμός» των υποσυνόλων στην κατάσταση μοναδιαίου συνόλου Singleton.

Το κράτος ,λοιπόν, δεν επιμετρά τους ψηφοφόρους ως στοιχεία  αλλά ως υποσύνολα με ένα στοιχείο. Δηλαδή ο ψηφοφόρος Κώστας δεν είναι ο Κώστας αλλά το υποσύνολο Κώστας με μοναδικό στοιχείο τον Κώστα.

Το σύγχρονο αντιπροσωπευτικό κράτος, λοιπόν, δεν θεμελιώνεται σε μια λογική κοινωνικού δεσμού την οποία εκφράζει αλλά σε μια λογική απαγόρευσης άλλων υποσυνόλων  την οποία απαγορεύει. Αν το κράτος δεν επιμετρήσει τους ψηφοφόρους ως πολίτες ψηφοφόρους , τότε επειδή αυτοί είναι υποσύνολα και όχι απλά στοιχεία, ως δυναμοσύνολο έχουν μεγαλύτερο πληθάριθμο από τον πληθάριθμο των στοιχείων.

Η κρατική ψηφοφορία ουσιαστικά δεν αντιπροσωπεύει αλλά  περιορίζει τους  πιθανούς δεσμούς των ψηφοφόρων μεταξύ τους. Ο αριθμός των υποσυνόλων είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό των στοιχείων.

Γράφει ο ΑΒ

Το άτομο αντιμετωπίζεται ως υποσύνολο ως singleton , δηλαδή σύνολο με ένα μόνο στοιχείο. πχ Το κράτος δεν αντιμετωπίζει τον Antoine Domblase  εννοούμενο ως όνομα ενός συνόλου αλλά τον  [Antoine Domblase]  μια αδιαφοροποίητη μορφή μιας μονάδας, η οποία συγκροτείται από την από την μετατροπή σε ένα του ονόματος.

Ο ψηφοφόρος , δεν είναι το υποκείμενο John Doe, είναι μάλλον μόνο ένα μέρος από ότι  το Κράτος, ως χωριστή δομή,  αναπαριστά δηλαδή επιμετρά και διαχειρίζεται ως «ένα» .   Αυτό το μέρος είναι ένα σύνολο του οποίου το μοναδικό στοιχείο  είναι ο John Doe,  δεν είναι ένα πολλαπλό  του οποίου το αδιαμεσολάβητο  ένα είναι  ο “John Doe». Το άτομο υπόκειται  , υπομονετικά ή ανυπόμονα, στον θεμελιακό εξαναγκασμό , σε αυτό το άτομο του περιορισμού  που περιλαμβάνει  και τον θάνατο. Αυτός ο εξαναγκασμός δεν αφορά κάποιον ο οποίος ανήκει στην κοινωνία αλλά σε κάποιον ο οποίος συμπεριλαμβάνεται στην κοινωνία. Το Κράτος είναι αδιάφορο στο «ανήκειν» αλλά συστηματικά ανησυχεί με το «συμπεριλαμβάνεσθαι». Το Κράτος επιμετρά και λαμβάνει υπ’ όψιν κάθε συνεπές υποσύνολο , για το καλό και κακό, γιατί είναι το ζήτημα της αντιπροσώπευσης. Από την άλλη , παρά τις διαμαρτυρίες και δηλώσεις , είναι εμφανές  ότι όσο αφορά τις ζωές των ανθρώπων , εννοουμένων ως σύνολα,  το Κράτος δεν ασχολείται με αυτά τα σύνολα. Αυτό είναι  ο απόλυτο  και αναπόφευκτο βάθος του χωρισμού του Κράτους. 

ΒΕ 107-108 (απόδοση Hypothesis)

Για τον ΑΒ δεν υπάρχει «υποκείμενο» εντός της κρατικής αριθμητικής της δημοκρατίας. Η λύση του ζητήματος επιλύεται εντός των ορίων της συνολοθεωρίας μέσω της μαθηματικής έννοιας των γενολογικών συνόλων. Ως γενολογικά ορίζονται τα σύνολα τα οποία «κατασκευάζονται» μέσω της ιδιότητας τους να μην  έχουν καμία ιδιότητα. Αυτά τα σύνολα δεν είναι τα σύνολα της κρατικής διαχείρισης αλλά τα σύνολα μιας εμμενούς απόλυτης δημοκρατίας των «κάτω». Εντός των γενολογικών συνόλων τα «μέλη» εννοούνται ως υποκείμενα. Ως τυπικός υποστηρικτής της «κομμουνιστικής υπόθεσης» ο ΑΒ μπορεί να λύσει το πρόβλημα μέσω μιας «συμβαντικής» επαναθελίωσης των γενολογικών πολιτικών διαδικασιών.

Εντός του μαθηματικού του σύμπαντος ο ΑΒ επιλύει το πρόβλημα.

Η Ντερινταική απάντηση  

Ο Ντεριντά τοποθετεί το ίδιο ζήτημα μέσω των Αριστοτελικών επεξεργασιών για την φιλία. Η φιλία είναι το θέμα των ‘Ηθικών Ευδήμειων». Εκεί ο Αριστοτέλης τοποθετεί το αριθμητικό ζήτημα:

οὐ γάρ ἐστιν ἄνευ πείρας οὐδὲ μιᾶς ἡμέρας ὁ φίλος, ἀλλὰ χρόνου δεῖ. διὸ εἰς παροιμίαν ἐλήλυθεν ὁ μέδιμνος τῶν ἁλῶν: ἅμα δὲ δεῖ μὴ μόνον ἁπλῶς ἀγαθὸν εἶναι, ἀλλὰ καὶ σοί, εἰ δὴ φίλος ἔσται σοὶ φίλος. ἀγαθὸς μὲν γὰρ [5] ἁπλῶς ἐστι τῷ ἀγαθὸς εἶναι, φίλος δὲ τῷ ἄλλῳ ἀγαθός, ἁπλῶς <δ᾽> ἀγαθὸς καὶ φίλος, ὅταν συμφωνήσῃ ταῦτ᾽ ἄμφω, ὥστε ὅ ἐστιν ἁπλῶς ἀγαθόν, τὸ τούτου ἄλλῳ, εἰ καὶ μὴ ἁπλῶς μὲν σπουδαίῳ, ἄλλῳ δ᾽ ἀγαθός, ὅτι χρήσιμος. τὸ δὲ πολλοῖς ἅμα εἶναι φίλον καὶ τὸ φιλεῖν κωλύει: οὐ [10] γὰρ οἷόν τε ἅμα πρὸς πολλοὺς ἐνεργεῖν. 1238^α.

Καθώς η φιλία απαιτεί κοινό βίο, κοινή εμπειρία και βίωμα εντός του χρόνου,  δεν υπάρχει ένας άπειρος αριθμός φίλων. Η αριθμητική της φιλίας είναι αντιφατική. Στον Αριστοτέλη αποδίδεται το απόφθεγμα «Οι φίλοι , ουδείς φίλος» (1), δηλαδή δεν υπάρχει κανένας φίλος όταν αναφερόμαστε στην «αδελφότητα».

Γράφει ο Ντεριντά:

Δεν πρέπει να υποκρινόμαστε ότι γνωρίζουμε την σημασία της έννοιας της αρετής , χωρίς να στοχαστούμε για το αίνιγμα του «φιλείν». Δεν υπάρχει αμφιβολία  ότι είναι το ίδιο και το αυτό.

Τελικά, λόγω ακριβώς αυτής της ποσοτικοποίησης των «ατομικοτήτων» θα υπάρχει πάντα η πολιτική διάσταση της φιλίας,  δηλαδή ένα πολιτικό - γίγνεσθαι της φιλίας.

Αυτό το γίγνεσθαι όμως δεν είναι ούτε  αυθεντικά ούτε αναγκαστικά ούτε εμμενώς πολιτικό.

Αυτό το γίγνεσθαι – πολιτική , θα αντιμετωπίσει όλα τα ανοικτά ζητήματα.

Πρώτο ζήτημα είναι αυτό της αδελφότητας .Έπεται το ζήτημα της δημοκρατίας το οποίο μας οδηγεί την υπόθεση του πολίτη εννοούμενου ως μετρήσιμης ατομικότητας. Τέλος είναι το ζήτημα της «οικουμενικής αδελφότητας».

Δεν υπάρχει δημοκρατία χωρίς σεβασμό στην αυτούσια ατομικότητα ή ετερότητα , αλλά δεν υπάρχει δημοκρατία χωρίς την «κοινότητα των φίλων» (κοινά των φίλων). Δεν υπάρχει δημοκρατία χωρίς τον υπολογισμό των πλειοψηφιών , χωρίς να εννοούμε τα υποκείμενα  ίσα ως ταυτοποιήσιμες , σταθερές, αναπαριστώμενες μονάδες.

Υπάρχουν δύο νόμοι μη αναγώγιμοι ο ένας στον άλλον : Αυτός της μετρήσιμης ατομικότητας , αυτός της αδελφότητας  Οι δύο νόμοι είναι τραγικά ασυμβίβαστοι. Ο  ένας πληγώνει τον άλλο για πάντα.     

Η πληγή ανοίγει με την ανάγκη να μετρήσουμε τους φίλους , να μετρήσουμε και τους μη φίλους. Σε αυτή την οικονομία του ενός όπου κάθε άλλος είναι όλοι οι άλλοι μαζί. Όμως κάθε άλλος είναι εξ’ ίσου όλοι οι άλλοι.

Δεν είναι μια αντίφαση αλλά ένας πλήρης διαχωρισμός .

Πολύ πιο πέρα και πολύ πιο σοβαρά από μια αντίφαση η πολιτική επιθυμία βαρύνεται από τον πλήρη διαχωρισμό από την ολική ρήξη των δύο νόμων.

(J.Derrida : The politics of friendship p.22-Απόδοση Hypothesis)

Ο Ντεριντά σε αντίθεση με τον Μπαντιού αναδύει μια θεμελιακή αντίφαση στο ζήτημα του υποκειμένου εντός της δημοκρατίας. Είναι ένας πλήρης διαχωρισμός.

Ο αδελφός και η αδελφότητα της δημοκρατίας ορίζονται από δύο θεμελιακά ασύμβατους νόμους. Η κατάσταση αυτή είναι εσαεί μη επιλύσιμη ,είναι η θεμελιακή πληγή της δημοκρατίας.

(1)    Ο G.Agamben έχει αποδείξει με εξαντλητική φιλολογική έρευνα την ακριβή διατύπωση του αποφθέγματος . ( What is an apparatus .p.23)

Διαδικασία και Πραγματικότητα

Μεταφράστηκε και δημοσιεύθηκε στα Ελληνικά ένα από τα θεμελιώδη αλλά και ιδιότροπα κείμενα της Ευρωπαϊκής Φιλοσοφίας : Το «Διαδικασία και Πραγματικότητα» του A.N.Whitehead. (εφεξής ΔΠ) Ο Φ.Τερζάκης έκανε ένα μεταφραστικό άθλο μεταφέροντας τις έννοιες του κειμένου, μέσω λεπτεπίλεπτων χειρισμών και επινοήσεων, με απόλυτο σεβασμό στο αρχικό κείμενο σε μια πλούσια ακριβή ελληνική δοκιμιακή γλώσσα.

Το  ΔΠ παρουσιάζει μια μεγάλη συνάφεια με το Being & Event, καθώς διερευνά και εννοιολογεί τις διαδικασίες , τις οποίες θεμελιώνει στο μοριακό επίπεδο  ( έννοια της πραγματικής οντότητας) και ακολούθως συναρθρώνει  τις αφαιρέσεις  ( αιώνια αντικείμενα, εννόηση ,συγκεκριμενοποίηση κλπ)  μέσω των οποίων το ΔΠ γίνεται τελικά ένα συνεκτικό και συγκροτημένο έργο.

Οι ομοιότητες είναι πολλές

Η αξίωση δημιουργίας ενός «μεγάλου» κειμένου φιλοσοφίας με σκόπευση ενός καθολικού οργάνου ερμηνείας του κόσμου, στην ολική του ανάγνωση

Η αρχιτεκτονική του έργου μέσω μιας στέρεας κατασκευής η οποία , ορίζει τις έννοιες της και ακολούθως τεκμηριώνει τα πορίσματα της ως επαγωγική διαδρομή από τα «θεμέλια» στα «ανώτερα»

Η τεκμηρίωση των έργων στα μαθηματικά. Βέβαια το B&E κατασκευάζεται μέσω των μαθηματικών της αξιωματικής συνολοθεωρίας, ενώ στο ΔΠ η μαθηματική τεκμηρίωση είναι επικουρική.

Στα δύο όμως έργα αναδύεται μια ριζική διαφορά

Στο ΔΠ οι διαδικασίες, ορίζονται, αναλύονται εξαντλητικά αλλά από κανένα σημείο του μεγαλειώδους θεωρητικού οικοδομήματος, δεν αναδύεται η έννοια της ρήξης , της τομής που ενυπάρχουν στις διαδικασίες. Όλο το ΔΠ εδράζεται σε μια απεικόνιση του κόσμου, όπου οι άπειρες «πραγματικότητες οντότητες» συνδέονται αενάως και οργανώνονται μέσω της εισρόφησης των «αιωνίων αντικειμένων» και μαγνητίζουν (ορίζοντας ταυτόχρονα) τις άπειρες εννοήσεις/συλλήψεις ( prehensions). Στο ΔΠ ο κόσμος των διαδικασιών ταξινομείται και τελικά εξασφαλίζει τη θεωρητική συνεκτικότητα του μέσω μιας ρευστής διαδικαστικής έννοιας του Θεού. Αυτή η αιώνια ρευστότητα  χωρίς τομές ευρίσκεται στον αντίποδα του B&E

Η διαφορά αυτή με κάποιο τρόπο αναδύεται από τον θεμελιακό τρόπο με τον οποίο ο μαθηματικός φορμαλισμός εισέρχεται στα δύο οικοδομήματα

Στο ΔΠ ο Whitehead ρητά αποφεύγει την αξιωματική συνολοθεωρία η οποία είχε ήδη κατατεθεί από το 1905.Έτσι δεν αναφέρεται καθόλου στο κενό σύνολο, το θεμέλιο της αξιωματικής Zermelo Frenkel. Γράφεται :

«Δεν υπάρχει ένα μοναδικό σύνολο λογικών ελάχιστων χαρακτηριστικών από τα οποία θα μπορούσε να συναχθεί το υπόλοιπο». σ 605

Η αθεμελίωτη αρχιτεκτονική στην αξιωματική συνολοθεωρία  του ΠΔ τον οδηγεί να αναφέρει:

«Η ατομική ενότητα του κόσμου, εκφραζόμενη από μια πολλαπλότητα ατόμων, αντικαθίσταται τώρα από την αρραγή ενότητα του εκτατικού συνεχούς. Αυτή η αρραγής ενότητα όχι μόνο αγκαλιάζει τις συντακτικές υποδιαιρέσεις μέσα σε κάθε ατομική πραγματικότητα αλλά και εκθέτει τις συντακτικές υποδιαιρέσεις όλων των ατομικών πραγματικοτήτων μεταξύ τους σε ένα σχεσιακό σχήμα».

Αυτό το εκτατικό συνεχές που ορίζει ο Whitehead είναι ο πυρήνας της διαφοράς με τον Badiou.

Στον Badiou  το θεωρητικό οικοδόμημα , αρχίζει με την υιοθέτηση του αυστηρού φορμαλισμού της συνολοθεωρίας, και εντός αυτής της αξιωματικής αναδύονται τα παράδοξα άλυτα προβλήματα ( υπόθεση του συνεχούς) . Η μαθηματική λύση του Cohen για το ζήτημα του συνεχούς είναι για τον Badiou  η οντολογική απόδειξη του Συμβάντος , δηλαδή των ρήξεων , των ρηγμάτων των διαδικασιών. Δηλαδή ο Badiou ομοίως ορίζει και επεξεργάζεται διαδικασίες, αλλά η αυστηρή και τελικά πιο σύγχρονη μαθηματική του σκευή , τον οδηγεί σε ένα θεωρητικό οικοδόμημα το οποίο μπορεί να διαπραγματευτεί διαδικασίες και ρήγματα, συμβάντα διαδικασιών.

Έτσι το ΔΠ  με το αέναο πλέγμα, σχέσεων ( nexus) γίνεται περισσότερο ένα σύγχρονο φιλοσοφικό κείμενο για την βιολογία, την κοσμολογία, ενώ μάλλον η αγάπη του Τερζάκη για το κείμενο-εργασία του τον οδηγεί να δει στον Whitehead μια αντικαπιταλιστική χροιά ( σ 741)  

Livingston, Paul :Being and Event: Forcing and the Generic

Being and Event: Forcing and the Generic

As we saw in Chapter 1 , the most central burden of Badiou’s argument in Being and Event is to demonstrate the genuine possibility of the advent of radical novelty beyond being itself in what he calls the “event,” given the ontological theory of being as codified in the axioms of standard, ZF set theory. The undertaking involves Badiou’s exposition in the rarified and complex results of set theory’s investigation of the nature and relations of the immense variety of infinite sets, the “paradise” of infinities to which Cantor first showed the way. An infinite set, according to the definition Cantor drew from Dedekind, is any set whose elements can be put into a one-to-one correspondence with the elements of a proper subset of itself. Thus, for instance, the set of all natural numbers is an infinite one , since it bears a one-to-one relationship to the set of all even natural numbers (to match them up, we just pair each number with its double). The set containing all of the natural numbers, ω (or, as it is also sometimes called, ω0), is then the first infinite set. Its size or “cardinality” is designated א 0. 21 As Cantor already argued, however, there are many more. Recall that, by Cantor’s theorem, the power set of a set is always cardinally bigger (that is, it contains more elements) than the set itself . Thus it is certain that the power set of ω 0 is strictly “bigger” than ω0 itself; this power set essentially exceeds the cardinality of ω0 and cannot be put into one-to-one correspondence with it. The power set of ω 0 can also be identified with the set of all real numbers, or points on a continuous line . The question that then leads to the most complex developments of set theory is one that Cantor also already posed: how much bigger is this power set, the set of points on a continuum, than ω0 itself? Cantor formulated the question as a hypothesis, the so-called “continuum hypothesis,” which he struggled in vain through the last years of his life to prove or disprove . The hypothesis asserts that the cardinality or size of the power set of ω 0 is equal to א 1 , the first cardinal larger than א 0. 22 If the hypothesis holds, there is no third cardinal between the size of ω0 and the size of its power set; if it fails to hold, there may be one such, or infinitely many such cardinals. In its more general form, the hypothesis holds that the cardinality of the power set of any infinite set is equal to the very next cardinality (that, for instance, the cardinality of p(ω1) is א 2 , the cardinality of p(ω2) is א 3 , and so on). The continuum hypothesis may at first seem to represent only a very specialized problem in the development of the peculiar theory of transfinite cardinals, but given Badiou’s assumptions and terminology, it actually marks a question that is essential to the success of his doctrine of the event. Remember that the power set of any set is, for Badiou, the “state” representation of what is presented in the original set. Given this, and if, as seems plausible , the sets of interest to ontology are uniformly infinite, then the continuum hypothesis in its general form, if it holds, establishes that the gap between a situation and its state, in Badiou’s sense, can always be regulated by a uniform system of measure. In particular, if the hypothesis holds, the size of the state is always greater than the size of the original set, but the extent to which it is greater is strictly measurable and controllable through the regular succession of cardinals: א ,0 א ,1 א ,2 א 3, etc. If the continuum hypothesis turns out to be true, therefore, there will always be what Badiou terms a “measure of the state’s excess”; it will always be possible to determine how much “more” a representation contains than what is initially presented, how much novelty it is possible to add to the situation. 23 If it does not , on the other hand, this “state excess” will be unmeasurable, allowing the event full range to “wander” and “err,” introducing its radical consequences in an essentially unpredictable way throughout the situation in which it intervenes. We now know that the continuum hypothesis is neither provable nor refutable from the standard ZF axioms of set theory. That one can neither demonstrate the continuum hypothesis nor its negation means, for Badiou, that although there is no way to prove the doctrine of the event within ontology, there is no way that ontology can rule it out either. Nothing in being necessitates the event, but nothing shows that it cannot take place. And the detailed derivation of this result, Badiou argues, shows a great deal about the conditions under which it is possible to think, or assert, the event. It is to the examination of these conditions that Badiou now turns. Badiou thus takes the set-theoretical result that the continuum hypothesis is neither provable nor refutable from the axioms to have a profound ontological as well as political significance. It was Gödel himself who demonstrated the second half of this result, that it is impossible to refute (or prove the negation of) the continuum hypothesis within the standard axioms of set theory. His method was to exhibit a restricted model of the standard axioms in which, as he demonstrated, the continuum hypothesis in fact holds. 24 In doing so, he made use of a formalized notion of constructability, which is in fact the formal basis of the “constructivism” that Badiou cites as the greatest threat to his own doctrine. The condition of constructability places a restriction, much in the spirit of Russell’s theory of types, on the sets that can exist. In particular, it holds that a set exists only if it can be “constructed” by taking all and only elements of some already existing set that have some particular (first-order specifiable) property, P, which is itself definable solely in terms of the already existing set. That is, P must be such that it is possible to determine its extension solely by considering the elements of this existing set and asking whether or not they belong to this extension; if P satisfies this condition, it is said to predicatively define this extension. 25 For instance (to adapt an example given by Cohen), given the set of all finite integers, ω, it is possible predicatively to define the set of all finite integers having a specific numerical property (such as being even or odd), but it is not possible predicatively to define the set P which contains all n such that there is a partition of ω into n disjoint sets of a certain sort. 26 This is because , in considering whether a particular number, say 5, belongs to P or not, we must consider all possible partitions of ω into 5 sets. The definition thus requires us implicitly to run through the entire set of all sets of integers (including , possibly, the set P itself), which cannot be said to “exist” yet, simply given the existence of ω. It is thus termed an “impredicative” definition and the set P is said to be non-constructible. The restriction to constructible sets yields a hierarchy of sets, the so-called “constructible universe ,” that, although perhaps somewhat restricted with respect to the universe of sets overall, nevertheless contains many (if not all) of the transfinite cardinals and can, as Gödel showed, serve as a model for ZF (that is, all the axioms hold for this “restricted” universe). 27 Moreover , because of the restriction of constructability, the sets within the constructible universe are strictly orderable into a unified and unequivocal hierarchy. It follows that, as Gödel showed, if we assume the constructible universe is the (whole) universe of sets, the cardinality of p(ωx) = the cardinality of (ω x +1); that is, within the constructible universe, the continuum hypothesis in its general form is provably true. 28 The limitation to the constructible universe formulates the natural-seeming thought that a new set can only be said to exist if we can define it predicatively: that is, only if we can say, in terms of “already existing” sets, what defines it. The assumption of the constructible universe thus amounts to a restriction of the axiom schema of separation to allow only properties that are “predicative” in this sense to define a set. Introducing the limitation also introduces a strict measure for the “excess,” in Badiou’s terms, of the state over the situation. Other consequences of significance follow as well. For instance, if we stay within the constructible universe, the axiom of foundation does not have to be held as an axiom, since it now follows directly from the other axioms of set theory; the effect of the restriction to constructability is thus also to require that all sets be well-founded (that is, that their decomposition halts somewhere in a basic, founding element). 29 By demonstrating one model of the ZF axioms (the constructible universe) in which the continuum hypothesis holds true, Gödel thus demonstrated that it is impossible, in the ZF axioms in general, to prove its negation; it is thus impossible to prove that the continuum hypothesis does not hold for ZF set theory in general. The other half of the result, that it is impossible to prove the continuum hypothesis in ZF, was demonstrated by P. J. Cohen in 1963. The complex technique of “forcing” that he used is robust in its formal apparatus and subtle in its conceptual implications. For Badiou, it is significant most of all in that the demonstration that it is impossible to prove the continuum hypothesis shows also that it is impossible to prohibit the event in ontology, and indeed helps to demonstrate how it might, paradoxically, appear there by “subtracting” itself from what ontology can discern. Cohen’s general method, once again, was to construct a model; this time, however, the aim is to develop a model in which the continuum hypothesis is definitely not true . If there is such a model, it will follow that the hypothesis definitely cannot be proven in ZF. The details of the actual construction that Cohen used are complex. I shall therefore try to convey only a sense for the general strategy, pausing on the parts of it that are of particular interest to Badiou.

The intuitive idea is to construct a certain kind of model of ZF and show that within this model, we can make the cardinality of p(ω0) arbitrarily high (i.e., much higher than א 1 if we wish, making the continuum hypothesis false). In order to do so, we must begin with a certain kind of set of cardinality א 0 , the so-called “quasi-complete” set or situation. 30 The strategy will then be to add to such a set a “generic” or “indiscernible” extension; if we can do so, it will be possible to show that we can (essentially by stipulation) make the cardinality of the continuum, or p(ω0), as high as we like. A set is called “discernible” if there is some property specifiable only in terms of existing sets that discerns it; in other words, if a set is discernible within a larger set S , then there is some property definable in terms ranging only over members of S that picks out all, and only, the things in S that are in that set. 31 In this sense , the discernible sets will be all the sets that an “inhabitant” of S (who is restricted to considering only elements of S in defining his terms) can talk about, or have any knowledge about. Now, the demonstration that the continuum hypothesis can fail depends on our demonstrating the existence of an indiscernible (or non-constructible) set, a set that, although real, is definitely not nameable in a language thus restricted, or discerned by any property it can name (Badiou symbolizes the indiscernible set: ‘♀’). We can then add this indiscernible set to an existing quasi-complete situation to produce a “generic extension” of the original set and we will subsequently be able to demonstrate the falsehood of the continuum hypothesis with respect to the thus extended situation. 32 Cohen’s technique for generating the indiscernible set, and subsequently demonstrating its existence, is a complex piece of formalism. Intuitively, however, the idea behind it is this. We construct ♀ by “running through” all the possible properties λ that discern sets. For each discernible property λ, however, we include in ♀ one element that has that property. Once we’ve run through all the properties in this way, we know that the set we’ve created has “a little bit of everything”; since it has one element of each discernible property, there is no discernible property that discerns this set itself. (This is, yet again, an instance of the general “technique” of diagonalization.) 33 Thus we definitely have an indiscernible set. This set will exist, but it will not have any possible determinant (for we have built it in such a way, by running through all the specific determinants, that no one specific determinant can determine it). It is in this sense that it is the “anonymous representative” of the whole range of discernible subsets of the original situation. 34 Its appearance in ontology, according to Badiou, marks the free and immanently indeterminable circulation of the errant consequences of the event. Developing the implications of the formal argument , Badiou draws out the consequences he sees in it for the theory of the subject and the possibility of truth. Art , science, politics, and love are “generic procedures”; their pursuit, by analogy with the construction of a generic extension, progressively adds to the existing situation the indiscernible set of consequences of an event. 35 This addition is conceived as connecting the generic set to the event by means of what Badiou calls an “enquiry”; each member of the existing situation which is “investigated” is indexed positively or negatively as belonging or not belonging to the generic extension, and it is of the essence of the enquiry that it can traverse an infinite number of elements. 36 Such progressive addition, at its infinite limit, constitutes the addition of a “truth” to the existing situation; it is to be strictly distinguished from the discernment within a situation, by means of properties, of what (is not necessarily true) but merely “veridical” in it. 37 In intervening, a subject “forces” a new situation which, like Cohen’s “generic extension,” adds to the original situation a set of consequences which are indiscernible by any concepts or properties formulable within it. 38 Because they are collectively indiscernible, these consequences cannot be picked out by any term of an “encyclopedia” or schematization of possible knowledge accessible from within the situation; the consequences of an event are in this sense “subtracted” from positive knowledge. 39 Nevertheless , as Cohen demonstrated, it is possible to “force” them by successively considering conditional statements about the membership of certain elements in the generic set . Though it is not possible for the inhabitant of the initial situation to determine whether a given element is an element of the generic set, he can say (by means of forcing) that if the element is in the generic set, such -and-such statement about that set will be true (in the extended situation to be created). The elements that are considered as possible elements of the indiscernible generic set are thus treated as “conditions” and these conditions determine , by way of the forcing relation, statements that will be true of the new model created by adding the generic set to the existing one. It is possible in this way to build up a series of consistent conditions such that the entire infinite series of conditions, if thought of as complete, determines a set that cannot be specified by any positive predicate but, in that it contains at least one element discerned by each possible predicate, is “typical” or “generic” of the initial set as a whole. 40 By running through the series of conditions and their consequences, we are in a sense “reading out” the generic set, term by term, in such a way as to preserve its genericity , or its indiscernibility by any internally definable predicate . 41 In so doing, though we are not directly in a position to determine which elements belong to the generic set, we are in a position to determine what statement will hold true of the generic set if a certain element belongs to it (and if it is indeed generic). At the infinite end of the process, we will have the complete specification of a set that is indeed generic and cannot be determined by any internally definable predicate of the language. With the addition of the generic set, various statements that were not formerly accurate or “veridical” in the initial, unextended situation will be so in the new, extended one. It is thus that the subject, as Badiou says, “forces a veracity, according to the suspense of a truth.” 42 The centerpiece of Cohen’s own demonstration is the proof that it is possible with this method to force the truth of a (more or less) arbitrary statement about the cardinality of the power set of ω0; for instance, we can force the truth of p(ω0) = א 35 or p(ω0) = א 117 or whatever we like. This is accomplished by considering an arbitrarily high cardinal ( א 35 or א 117 or whatever) and showing by means of the construction of series of conditions that it is possible to distinguish, in the extended situation formed by adding the generic set, at least as many different subsets of ω0 as there are elements of that (arbitrarily high) cardinal . 43 Thus, in the extended model formed by adding the generic set (which is itself composed entirely of subsets of the unextended situation, though these subsets were initially indiscernible in the unextended situation), these statements become true and the continuum hypothesis fails. From the perspective of the initial situation and its state, these consequences of the addition of the generic set remain random; only the generic procedure itself, in “fidelity” to the event, picks them out. The subject is then definable as anything that can practice this fidelity; the result— and with it Badiou closes the book— is an updated, “post-Cartesian,” and even “post-Lacanian” doctrine of the subject. On this doctrine, the subject is not a thinking substance; it is equally not (in the manner of Lacan) a void point, or (in the manner of Kant) a transcendental function. 44 It is the “faithful operator” of the connection between the event and its infinite consequences, the generic procedure of truth in its coming-to-be.

Some remarks on the philosophy of Alain Badiou: Mathematics, Ontology, Politics

Εδω ολο το μαθημα του Oliver Kullmann

Some remarks on the philosophy of   Alain Badiou:
Mathematics, Ontology, Politics


Oliver Kullmann
Computer Science Department
Swansea University
O.Kullmann@Swansea.ac.uk

http://cs.swan.ac.uk/~csoliver/

Sun Yat-sen University

Institute of Logic & Cognition

April 19, 2011

Η θεωρία συνόλων ως υπόδειγμα για την επιθυμία και τον νόμο

Πηγή: Waltendegewalt

 

 

 

 

Το σημείο εκκίνησής μου μάλλον θα σας φανεί απομακρυσμένο απ’ το θέμα μας. Θα ξεκινήσω λοιπόν μ’ έναν λογικό αστεϊσμό. Ας υποθέσουμε ότι έχετε μια μεγάλη πιατέλα που συνήθως είναι γεμάτη νόστιμα φρούτα — μήλα, αχλάδια, φράουλες, δαμάσκηνα … Όπως αντιλαμβάνεστε, μια τέτοια πιατέλα διεγείρει την επιθυμία σας. Μία μέρα, όμως, χωρίς κανένας να ξέρει γιατί και πώς, το περιεχόμενό της αλλάζει εντελώς: δίπλα στα μήλα, στ’ αχλάδια, στις φράουλες και στα δαμάσκηνα, υπάρχει ένα αποκρουστικό συνονθύλευμα από χαλίκια, σαλιγκάρια, σβώλους λάσπης, ψόφια βατράχια και γαϊδουράγκαθα. Τώρα, όπως καταλαβαίνετε, νιώθετε την παρόρμηση να βάλετε σε τάξη το περιεχόμενο τής πιατέλας· με άλλα λόγια, να ξεχωρίσετε τα καλά απ’ τα αηδιαστικά αντικείμενα. Το πρόβλημα που αντιμετωπίζετε είναι πρόβλημα ταξινόμησης. Έτσι λοιπόν αρχίζει το ανέκδοτό μου. Και το ερώτημα που τίθεται είναι το εξής: ποια ακριβώς είναι τα σωστά μέρη τού περιεχομένου μετά από τη μεταμόρφωση που σας περιέγραψα;

 

Ας θεωρήσουμε το περιεχόμενο ως καθαρό σύνολο. Τα στοιχεία τού συνόλου, ό,τι δηλαδή περιέχει η πιατέλα, είναι βεβαίως τα μήλα, οι φράουλες, τα γαϊδουράγκαθα, οι σβώλοι και τα ψόφια βατράχια. Καμιά αντίρρηση επ’ αυτού. Αλλά ποια είναι τα μέρη ή, αν προτιμάτε, τα υποσύνολα τού συνόλου των περιεχομένων τής πιατέλας; Από τη μια μεριά, έχετε τα μέρη με καθορισμένο όνομα. Πάρτε, για παράδειγμα, το μέρος που περιέχει όλες τις φράουλες: πρόκειται για ένα διακριτό υποσύνολο τής πιατέλας. Μπορείτε επίσης να πάρετε ως υποσύνολο όλα τα ψόφια βατράχια. Αυτό είναι μεν ένα απαίσιο μέρος, αλλά δεν παύει να αποτελεί υποσύνολο τού αρχικού συνόλου, και μάλιστα υποσύνολο με καθορισμένο όνομα. Μπορείτε ομοίως να πάρετε ένα μεγαλύτερο, γενικότερο υποσύνολο, όπως, λόγου χάριν, αυτό που περιέχει όλα τα φρούτα. Και στην περίπτωση αυτή πρόκειται για ένα υποσύνολο με καθορισμένο όνομα. Μπορούμε έτσι να πούμε ότι, από πλευράς γλώσσας, αυτού τού είδους τα υποσύνολα συνδέονται μ’ ένα ευκρινές κατηγόρημα· πρόκειται, αν θέλετε, για κατηγορικά υποσύνολα. Από την άλλη, όμως, μεριά, θα βρείτε και κάποιες ιδιόρρυθμες πολλαπλότητες. Τι μπορούμε να πούμε για ένα υποσύνολο που έχει ως στοιχεία του δύο μήλα, τρία γαϊδουράγκαθα και τρεις σβώλους ξερής λάσπης; Είναι προφανώς μέρος τού περιεχομένου τής πιατέλας. Αλλά, είναι εξίσου προφανές ότι είναι ένα ανώνυμο υποσύνολο, ένα μέρος χωρίς καθορισμένο όνομα. Όταν πρόκειται για τέτοιου είδους υποσύνολα ή συστατικά μέρη, μπορείτε βεβαίως να κάνετε μια λίστα με τα στοιχεία που τους ανήκουν, να πείτε δηλαδή ότι εδώ υπάρχει αυτό κι αυτό κι αυτό. Αλλά για αυτά τα υποσύνολα δεν μπορείτε να βρείτε ένα συνθετικό όνομα. Το μόνο που διαθέτετε είναι μια απαρίθμηση των στοιχείων τους. Μπορούμε να πούμε ότι, σε τέτοιες καταστάσεις, όταν έχετε να κάνετε με τέτοιου είδους υποδιαιρέσεις, ένας νόμος — ό,τι γενικά ονομάζουμε «νόμο» — θα συνιστά προδιαγραφή μιας λογικής και αναμενόμενης τάξης. Θα ταυτίζεται με την απόφαση να δεχτούμε ως πράγματι υπαρκτά ορισμένα υποσύνολα τού υπό εξέταση τμήματος τής συλλογικής ζωής. Βέβαια, η πιο απλή λύση είναι να γίνουν δεκτά αποκλειστικά και μόνον τα υποσύνολα με καθορισμένο όνομα (φράουλες, αχλάδια, φρούτα, γαϊδουράγκαθα, λάσπη) και να απαγορευθούν τα υποσύνολα χωρίς όνομα, για παράδειγμα, ο συνδυασμός από μήλα, γαϊδουράγκαθα και ψόφια βατράχια. Κατ’ αυτόν τον τρόπο, ο νόμος καθορίζει βεβαίως πάντοτε ό,τι επιτρέπεται και ό,τι απαγορεύεται, αλλά, επίσης, και ό,τι υπάρχει έχοντας λάβει συγκεκριμένο όνομα — ό,τι δηλαδή είναι φυσιολογικό — σε αντιδιαστολή προς οτιδήποτε δεν κατονομάζεται και συνεπώς δεν υπάρχει πραγματικά, σε αντιδιαστολή δηλαδή προς κάθε μη φυσιολογικό ή μη κανονικό υποσύνολο τής πρακτικής ολότητας. Είναι πολύ σημαντικό να έχουμε κατά νου ότι, σε τελική ανάλυση, ο νόμος αποτελεί πάντοτε απόφαση ύπαρξης.

 

Το πρόβλημα προέρχεται από το γεγονός ότι, στο πλαίσιο τής νομικής θεώρησης, ένα συγκεκριμένο υποσύνολο τής συλλογικής ολότητας θα στερείται, εκ των πραγμάτων, ύπαρξης. Το ζήτημα επομένως τού νόμου δεν εξαντλείται στα πλαίσια τής κλασσικής δικαιοφιλοσοφικής του αντιμετώπισης, αλλά προσλαμβάνει και οντολογικές διαστάσεις. Πρόκειται για ερώτημα ύπαρξης. Μιλώντας όπως ο Φουκό, θα λέγαμε ότι, σε τελική ανάλυση, άπτεται τής σχέσης που συνδέει τις λέξεις με τα πράγματα: με άλλα λόγια, στο πεδίο τού νόμου αναγνωρίζεται μόνον η ύπαρξη εκείνων των αντικειμένων που ανταποκρίνονται σε μια σαφή περιγραφή. Τώρα όμως το ζήτημα πρέπει να εξεταστεί και από την οπτική τής επιθυμίας. Μπορούμε να δηλώσουμε ανεπιφύλακτα ότι η επιθυμία είναι πάντα επιθυμία για κάτι, κατά κάποιο τρόπο, ανύπαρκτο από πλευράς νόμου. Είναι η αναζήτηση ενός πράγματος επέκεινα τής κανονικότητας τού νόμου. Το πραγματικό της αντικείμενο είναι πάντοτε κάτι που μοιάζει μ’ ένα μήλο, που είναι συνάμα και γαϊδουράγκαθο — η επιθυμία ενός τέρατος. Και γιατί αυτό; Επειδή η επιθυμία συνίσταται, μέσω και πέραν τής κανονικότητας, στην κατάφαση τής καθαρής ενικότητας.

 

Υπάρχει ένα πολύ απλό μαθηματικό παράδειγμα που περιγράφει αυτή τη σύνδεση επιθυμίας και νόμου ως σχέση μεταξύ διαφόρων μορφών ύπαρξης. Υιοθετώντας την οπτική τής θεωρίας των συνόλων — μιας θεωρίας που έχει ως αντικείμενο τη μελέτη τής καθαρής πολλαπλότητας — ας εξετάσουμε ένα οποιοδήποτε σύνολο, μια εντελώς τυχαία πολλαπλότητα. Είναι άξιο προσοχής ότι με βάση το αρχικό σύνολο αναφοράς και με τη χρήση ορισμένων τεχνικών μέσων μπορεί να δοθεί τυπική μορφή στην έννοια ενός υποσυνόλου με συγκεκριμένο όνομα. Στο πλαίσιο επομένως τής μαθηματικής θεωρίας των συνόλων διαθέτουμε μια πιθανή τυποποίηση τού προβλήματος τής σχέσης ανάμεσα στην ύπαρξη και την απόδοση ενός ονόματος. Πιο συγκεκριμένα, το να έχει ένα υποσύνολο συγκεκριμένο όνομα σημαίνει ότι μπορεί να δοθεί ένας σαφής τύπος ορισμού για το υποσύνολο αυτό. Υπεύθυνος για την επινόηση αυτή είναι ο ο Κουρτ Γκέντελ, ο σημαντικότερος επιστήμονας τής λογικής τού 20ού αιώνα. Ο Γκέντελ χαρακτήρισε αυτού τού είδους τα υποσύνολα «κατασκευάσιμα». Ένα υποσύνολο ενός συνόλου ονομάζεται «κατασκευάσιμο», όταν το εν λόγω υποσύνολο ανταποκρίνεται σε μια σαφή περιγραφή. Χρησιμοποιούμε συνήθως τον όρο «κατασκευάσιμο σύνολο» για να αναφερθούμε σ’ ένα κατασκευάσιμο υποσύνολο ενός άλλου συνόλου.

 

Κατ’ αυτόν τον τρόπο μάς παρέχεται η δυνατότητα να εφαρμόσουμε εκείνο που θα χαρακτήριζα ως «ανώτατο ή θεμελιώδη νόμο» — με άλλα λόγια, έναν νόμο των νόμων ή, αν προτιμάτε, έναν νόμον για το τι σημαίνει πραγματικά η δυνατότητα ύπαρξης ενός νόμου. Στα μαθηματικά έχουμε, λοιπόν, ένα παράδειγμα νόμου αυτού τού είδους, που δεν αφορά μόνο τα αντικείμενα ή τα υποκείμενα, αλλά και τους ίδιους τους νόμους. Ο ανώτατος αυτός νόμος παίρνει τη μορφή ενός πολύ απλού αξιώματος. Το αξίωμα αυτό, το οποίο ονομάζεται «αξίωμα τής κατασκευασιμότητας», μας λέει ότι κάθε σύνολο είναι κατασκευάσιμο. Εδώ έχουμε να κάνουμε με μια απόφαση που έχει ως αντικείμενο την ίδια την ύπαρξη: κρίνοντας ότι τα μόνα σύνολα που υπάρχουν είναι αυτά που μπορούν να κατασκευαστούν, καταλήγουμε σε μια απλή διατύπωση που συνιστά συγχρόνως και απόφαση ύπαρξης. Σύμφωνα, λοιπόν, με τον νόμο των νόμων, όλα τα σύνολα είναι κατασκευάσιμα. Εδώ παρουσιάζεται μια αληθινή δυνατότητα επιλογής. Μπορείτε, πράγματι, να αποφασίσετε ότι κάθε σύνολο μπορεί να κατασκευαστεί. Και για ποιο λόγο; Γιατί όλα τα μαθηματικά θεωρήματα που είναι αποδείξιμα στο πλαίσιο τής γενικής θεωρίας των συνόλων είναι αποδείξιμα και σε σχέση με τα κατασκευάσιμα σύνολα. Ό,τι επομένως αληθεύει στο ευρύτερο σύνολο αναφοράς των συνόλων θα αληθεύει και στο σύνολο αναφοράς που αποτελείται αποκλειστικά από τα κατασκευάσιμα σύνολα. Έχουμε έτσι τη δυνατότητα να αποφασίσουμε — και μάλιστα χωρίς καμία απώλεια, πράγμα που έχει μεγάλη σημασία όσον αφορά το γενικό ζήτημα τού νόμου — ότι όλα τα σύνολα είναι κατασκευάσιμα ή ακόμη ότι κάθε πολλαπλότητα διέπεται από τον νόμο: οτιδήποτε αληθεύει γενικά ισχύει επίσης και στην περίπτωση που περιορίσουμε την εφαρμογή του στα κατασκευάσιμα σύνολα. Πράγματι, κάνοντας την παραδοχή αυτή, δεν χάνουμε απολύτως τίποτα, δοθέντος ότι η εφαρμογή τού αξιώματος τής κατασκευασιμότητας κατ’ ουδέν μεταβάλλει το πεδίο τής αλήθειας. Επομένως, καταλήγουμε σε γενικές γραμμές στο συμπέρασμα ότι ο νόμος δεν αποτελεί περιορισμό τής ζωής και τής σκέψης· στο πλαίσιο τού νόμου η ελευθερία τής ζωής και η ελευθερία τής σκέψης είναι ένα και το αυτό. Το μαθηματικό μοντέλο που αντιστοιχεί στην ιδέα αυτή είναι ότι δεν αλλάζει τίποτα, αν δεχτούμε ότι όλα τα σύνολα είναι κατασκευάσιμα, αν δεχτούμε δηλαδή ότι αληθεύει η πρόταση ότι όλα τα υποσύνολα ενός οποιουδήποτε συνόλου είναι κατασκευάσιμα, πράγμα που σημαίνει ότι όλα τα υποσύνολά του έχουν σαφή ορισμό. Είναι έτσι γενικά εφικτή μια λογική ταξινόμηση όλων των υποσυνόλων — κατά κάποιον τρόπο, μια ταξινόμηση τής ίδιας τής κοινωνίας — χωρίς καμία απώλεια όσον αφορά την αλήθεια.

Θα ήθελα εδώ να επιστήσω την προσοχή σας σε ένα ιδιαίτερα σημαντικό σημείο, σ’ ένα απλό γεγονός, στο ότι δηλαδή κανένας μαθηματικός δεν αποδέχεται στην πράξη το αξίωμα τής κατασκευασιμότητας. Ποιος μπορεί να αρνηθεί ότι ένα σύστημα ή ένας κόσμος όπου τα πάντα είναι κατασκευάσιμα δεν είναι πράγματι έξοχος; Κι όμως το εντυπωσιακό αυτό σύστημα δεν διεγείρει τον πόθο ακόμα και τού πιο συντηρητικού μαθηματικού, διότι εκείνο που πραγματικά επιθυμεί ο μαθηματικός είναι να υπερβεί το αποκρυσταλλωμένο σύστημα τού ονομαστικού ορισμού και τής κατασκευασιμότητας. Η επιθυμία τού μαθηματικού είναι η επιθυμία ενός μαθηματικού τέρατος. Δεν παύει μεν να επιθυμεί τον νόμο — δύσκολα μπορεί κανείς να ασχοληθεί συστηματικά με τα μαθηματικά χωρίς να συμμορφώνεται σε κάποιον νόμο —, αλλά η επιθυμία εύρεσης ενός νέου μαθηματικού τέρατος βρίσκεται επέκεινα τού νόμου.

Στο σημείο αυτό συναντώνται τα σύγχρονα μαθηματικά με την κλασσική θεολογία. Γνωρίζετε βεβαίως το περίφημο απόσπασμα από την προς Ρωμαίους Επιστολή τού Αποστόλου Παύλου. Η άμεση σύνδεση νόμου και επιθυμίας εμφανίζεται με το όνομα τής αμαρτίας: «ἀλλὰ τὴν ἁμαρτίαν οὐκ ἔγνων εἰ μὴ διὰ νόμου, τήν τε γὰρ ἐπιθυμίαν οὐκ ᾔδειν εἰ μὴ ὁ νόμος ἔλεγεν· Οὐκ ἐπιθυμήσεις».[1] Η αμαρτία είναι εκείνη η διάσταση τής επιθυμίας που βρίσκει το αντικείμενό της μετά και πέρα από την επιταγή τού νόμου, πράγμα που τελικά σημαίνει ότι εκείνο που βρίσκει είναι το αντικείμενο χωρίς όνομα.

Το παράδειγμα των μαθηματικών είναι ιδιαίτερα εντυπωσιακό. Μετά τον Γκέντελ, μετά τον ορισμό των κατασκευάσιμων συνόλων και την απόρριψη τού αξιώματος τής κατασκευασιμότητας από την πλειοψηφία των μαθηματικών, το ερώτημα τής μαθηματικής επιθυμίας πήρε την εξής μορφή: πώς μπορούμε να εντοπίσουμε ένα μη κατασκευάσιμο σύνολο; Βλέπετε αμέσως ποιο είναι το πρόβλημα και τις τεράστιες πολιτικές του συνέπειες. Η δυσκολία είναι η εξής: πώς μπορούμε να βρούμε ένα μαθηματικό αντικείμενο χωρίς όνομα, χωρίς σαφή περιγραφή, χωρίς θέση στο σύστημα ταξινόμησης; Με άλλα λόγια, πώς μπορούμε να βρούμε ένα αντικείμενο με χαρακτηριστικά γνωρίσματα την ανωνυμία και την μη κατασκευασιμότητα; Στη δεκαετία τού εξήντα τού περασμένου αιώνα, ο Πολ Κοέν βρήκε μια σύνθετη και κομψή λύση στο πώς να ονομάσουμε ή να εντοπίσουμε ένα μη κατασκευάσιμο σύνολο, δηλαδή ένα σύνολο χωρίς όνομα, χωρίς συγκεκριμένο κατηγόρημα, χωρίς θέση στη μεγάλη κατηγορική ταξινόμηση. Κατ’ αυτόν τον τρόπο, η επιθυμία πέτυχε μια μεγάλη νίκη εις βάρος τού νόμου και μάλιστα στο πεδίο των μαθηματικών, το κατεξοχήν πεδίο τής κυριαρχίας τού νόμου. Μαζί με τόσα άλλα, μαζί με τόσες άλλες νίκες αυτού τού είδους, αυτό συνέβη στη δεκαετία τού εξήντα. Ο Κοέν χρησιμοποίησε την εντυπωσιακή ονομασία «γενολογικά σύνολα» για να χαρακτηρίσει τα εν λόγω μη κατασκευάσιμα σύνολα. Η επινόηση αυτή θα πρέπει να συγκαταλεχθεί στις επαναστατικές δράσεις και επιτεύγματα τής δεκαετίας τού εξήντα.

Γνωρίζουμε ότι, για να περιγράψει την κατάσταση κατά την οποία το ανθρώπινο γένος τίθεται σε τροχιά αυτοχειραφέτησης, ο Μαρξ χρησιμοποιεί την έκφραση «γενολογική ανθρωπότητα»[2] και, επιπλέον, ότι «προλεταριάτο» είναι το όνομα που δίνει ο Μαρξ στην καταφατική μορφή τής δυνατότητας ύπαρξης τής γενολογικής αυτής ανθρωπότητας. Στον Μαρξ το γίγνεσθαι τής καθολικότητας τού ανθρώπινου είναι δηλώνεται με τον όρο «γενολογικό», ενώ η ιστορική αποστολή τού προλεταριάτου έγκειται στην αποκάλυψη τής γενολογικής μορφής τού ανθρώπινου είναι. Ο Μαρξ θεωρεί, επομένως, ότι η πολιτική αλήθεια βρίσκεται με το μέρος τής γενολογικότητας και ποτέ με το μέρος τής μερικότητας. Πρόκειται τυπικά για ζήτημα που αφορά την επιθυμία, τη δημιουργία ή την επίνοια και στο οποίο δεν εμπλέκονται καθόλου ο νόμος, η αναγκαιότητα ή η συντήρηση τής καθεστηκυίας τάξης πραγμάτων. Για τον Κοέν, όπως άλλωστε και για τον Μαρξ, η καθαρή καθολικότητα των συνόλων ή τής πολλαπλότητας δεν πρέπει να αναζητηθεί στην ορθότητα τού ορισμού ή στην σαφήνεια τής περιγραφής, αλλά στη μη κατασκευασιμότητα. Η αλήθεια των συνόλων είναι συνεπώς γενολογική.