Τρίτη, 4 Ιανουαρίου 2011

Cantor,Zermelo,Frankel στο Logicomix

(Σημειωματάριο του Logicomix)
Η μελέτη συλλογών αντικειμένων που τις ορίζει κάποια κοινή ιδιότητα - σε κάποιες περιπτώσεις, η ιδιότητα αυτή μπορεί να μην είναι άλλη από το ότι ανήκουν στο ίδιο σύνολο, όπως π.χ. στο αυθαίρετα ορισμένο σύνολο (ξ, χ, ½, 8, 134). Οι οντότητες αυτές μελετήθηκαν για πρώτη φορά από τον Τσέχο μαθηματικό Μπέρναρντ Μπολτσάνο (1781-1848), που εισήγαγε τη χρήση του όρου Menge--τη γερμανική λέξη για το σύνολο, η οποία υιοθετήθηκε στη συνέχεια και από τον Κάντορ--και όρισε την έννοια του πληθαρίθμου, ή «μεγέθους» ενός συνόλου. Όμως, ο φόβος κάποιων παραδόξων, που προέκυπτε από παρατηρήσεις όπως ότι το σύνολο των ακεραίων μπορεί να μπει σε ένα προς ένα αντιστοιχία με το «μισό του», δηλαδή το σύνολο των ζυγών (απλώς πολλαπλασιάζοντας κάθε ακέραιο επί 2, ή διαιρώντας κάθε ζυγό διά 2), οπότε ένα σύνολο να έχει «ίδιο αριθμό στοιχείων» με ένα υποσύνολό του, απέτρεψαν τον Μπολτσάνο από το να ασχοληθεί περισσότερο με το θέμα. Ο Κάντορ όμως προχώρησε, και η γέννηση της θεωρίας ως σημαντικού κλάδου των μαθηματικών σημαίνεται από τις δικές του ιδιοφυείς αποδείξεις. Τοποθετείται, συγκεκριμένα, στις 7 Δεκεμβρίου του 1873, όταν ο Κάντορ έγραψε στον δάσκαλό του, Ρίχαρντ Ντέντεκιντ, περιγράφοντάς του την απόδειξη της μη αριθμησιμότητας των πραγματικών αριθμών, σε αντίθεση με την αριθμησιμότητα των ρητών - όπου αριθμησιμότητα ενός συνόλου είναι, ακριβώς, η ιδιότητα να μπορούν να μπουν τα στοιχεία του σε ένα προς ένα αντιστοιχία με τους φυσικούς αριθμούς, δηλαδή το 1, 2, 3, ... κ.ο.κ. Τα δύο αυτά θεωρήματα οδήγησαν τον Κάντορ στην απορία για την πιθανή ύπαρξη ενός τρίτου είδους απείρου, σε κάποια υποσύνολα των πραγματικών μεταξύ ρητών και πραγματικών, και στη λεγόμενη «Υπόθεση του Συνεχούς» που εικάζει ότι τέτοιο, τρίτο είδος δεν υπάρχει. Η θεωρία συνόλων θεωρήθηκε (και θεωρείται ακόμη) από πολλούς ο πιο θεμελιώδης κλάδος των μαθηματικών, έχοντας εξορίζει από αυτή τη θέση τον παραδοσιακό κάτοχο του τίτλο, την αριθμητική. Μάλιστα, ένα από τα πιο φιλόδοξα μαθηματικά εγχειρήματα του 20ού αιώνα, της ομάδας σπουδαίων γάλλων μαθηματικών που δημοσίευσε με το όνομα «Νικολά Μπουρμπακί», ήταν η προσπάθεια για τη θεμελίωση των μαθηματικών πάνω στα σύνολα. Η έννοια του συνόλου είναι τόσο διαισθητικά απλή που είναι δύσκολο να ορισθεί χωρίς τη χρήση κάποιου συνωνύμου της--εδώ χρησιμοποιήσαμε το «συλλογή». Και ίσως, ακριβώς γι' αυτό το λόγο, η μη αυστηρή (που πάει να πει: μη αξιωματικά θεμελιωμένη) υιοθέτησή της από τον Μπολτσάνο και τον Κάντορ οδήγησε τόσο σύντομα σε προβλήματα, με σημαντικότερο το Παράδοξο του Ράσελ. Για να ξεπεραστεί το παράδοξο αυτό, καθώς και η μη επιτρεπτή -στη σύγχρονη θεωρία συνόλων- έννοια του «συνόλου όλων των συνόλων», χρειάσθηκε να θεμελιωθεί η θεωρία με αυστηρά αξιωματικό τρόπο, απόπειρα που έγινε αρχικά στα Πρινκίπια Ματεμάτικα. Το, μεταγενέστερο αξιωματικό σύστημα που επικρατεί μέχρι σήμερα είναι γνωστό με το ακρωνύμιο ZFC, από τα αρχικά των δύο επινοητών του, του Ζερμέλο (Zermelo) και του Φράνκελ (Frankel), και το C που δηλώνει το πρόσθετο «αξίωμα της επιλογής» (Axiom of Choice), που είναι απαραίτητο για τα απειροσύνολ

Πηγή Logicomix

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου